点集

基础

• $设E_1,E_2是R中的非空点集，且E_2^{\prime }\ne \varnothing ,试证明{\bar{E}}_1+E_2^{\prime }\subset (E_1+E_2{)}^{\prime }$
  1. E 2 ′ ≠ ∅ = > ∀ b ′ ∈ E 2 ′ ， E 2 中存在互异点列 { b k } ∈ E 2 使得 lim ⁡ k → ∞ ∣ b k − b ′ ∣ = 0 2. E 1 中存在互异点列 { a k } lim ⁡ k → ∞ ∣ b k + a k − ( b ′ + a k ) ∣ = 0 a k ∈ E 1 ⊂ R , b ′ ∈ E 2 ′ ⊂ R lim ⁡ k → ∞ ∣ b k + a k − ( b ′ + a k ) ∣ = 0 = > ( b ′ + a k ) ∈ ( E 1 + E 2 ) ′ ( b ′ + a k ) ∈ ( E 1 + E 2 ′ ) ⊂ ( E 1 + E 2 ) ′ 3. E 1 ′ = ∅ = > ( b ′ + a k ) ∈ ( E 1 + E 2 ′ ) = E ˉ 1 + E 2 ′ ⊂ ( E 1 + E 2 ) ′ 4. E 1 ′ ≠ ∅ = > a ′ ∈ R , E 1 中存在互异点列 { a k } ∈ E 1 , lim ⁡ k → ∞ ∣ a k − a ′ ∣ = 0 , a ′ ∈ E 1 ′ 5. lim ⁡ k → ∞ ∣ a k + b ′ − ( a ′ + b ′ ) ∣ = 0 = > ( a ′ + b ′ ) ∈ E 1 ′ + E 2 ′ ⊂ ( E 1 + E 2 ) ′ lim ⁡ k → ∞ ∣ b k + a k − ( b ′ + a k ) ∣ = 0 = > ( b ′ + a k ) ∈ E 1 + E 2 ′ ⊂ ( E 1 + E 2 ) ′ ( E 1 ′ + E 2 ′ ) ∪ ( E 1 + E 2 ′ ) ∈ E ˉ 1 + E 2 ′ ⊂ ( E 1 + E 2 ) ′ 1.E_2'\ne \emptyset=>\forall b' \in E_2'，E_2中存在互异点列\{b_k\}\in E_2 \\使得\lim_{k\rightarrow\infty}|b_k-b'|=0 \\2.E_1中存在互异点列\{a_k\} \\\lim_{k\rightarrow\infty}|b_k+a_k-(b'+a_k)|=0 \\a_k\in E_1 \subset R,b'\in E_2' \subset R \\\lim_{k\rightarrow\infty}|b_k+a_k-(b'+a_k)|=0 \\=>(b'+a_k)\in (E_1+E_2)' \\(b'+a_k)\in (E_1+E_2') \subset (E_1+E_2)' \\3.E_1'=\emptyset=>(b'+a_k)\in (E_1+E_2') =\bar E_1+E_2' \subset (E_1+E_2)' \\4.E_1'\ne \emptyset=>a' \in R,E_1中存在互异点列\{a_k\}\in E_1,\lim_{k\rightarrow\infty}|a_k-a'|=0,a' \in E_1' \\5.\lim_{k\rightarrow\infty}|a_k+b'-(a'+b')|=0=>(a'+b')\in E_1' +E_2'\subset (E_1+E_2)' \\\lim_{k\rightarrow\infty}|b_k+a_k-(b'+a_k)|=0=>(b'+a_k)\in E_1+E_2'\subset(E_1+E_2)' \\(E_1' +E_2')\cup(E_1+E_2')\in\bar E_1+E_2'\subset (E_1+E_2)' 1.E2′​=∅=>∀b′∈E2′​，E2​中存在互异点列{bk​}∈E2​使得k→∞lim​∣bk​−b′∣=02.E1​中存在互异点列{ak​}k→∞lim​∣bk​+ak​−(b′+ak​)∣=0ak​∈E1​⊂R,b′∈E2′​⊂Rk→∞lim​∣bk​+ak​−(b′+ak​)∣=0=>(b′+ak​)∈(E1​+E2​)′(b′+ak​)∈(E1​+E2′​)⊂(E1​+E2​)′3.E1′​=∅=>(b′+ak​)∈(E1​+E2′​)=Eˉ1​+E2′​⊂(E1​+E2​)′4.E1′​=∅=>a′∈R,E1​中存在互异点列{ak​}∈E1​,k→∞lim​∣ak​−a′∣=0,a′∈E1′​5.k→∞lim​∣ak​+b′−(a′+b′)∣=0=>(a′+b′)∈E1′​+E2′​⊂(E1​+E2​)′k→∞lim​∣bk​+ak​−(b′+ak​)∣=0=>(b′+ak​)∈E1​+E2′​⊂(E1​+E2​)′(E1′​+E2′​)∪(E1​+E2′​)∈Eˉ1​+E2′​⊂(E1​+E2​)′
• E = { n 3 − m 3 : n , m ∈ N } 在 R 中稠密。 E=\{\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}:n,m \in N\}在R中稠密。 E={3n ​−3m ​:n,m∈N}在R中稠密。
  a , b ∈ R , R 中存在互异点列 { m k } 和 { n k } , lim ⁡ k → ∞ ∣ n k 3 − m k 3 − ( a 3 − b 3 ) ∣ = 0 lim ⁡ k → ∞ ∣ n k 3 − a 3 − ( m k 3 − b 3 ) ∣ = 0 a , b ∈ R , ( a 3 − b 3 ) ∈ E ′ ⊂ R ∀ a , b ∈ R , R ⊂ ( a 3 − b 3 ) ∈ E ′ E ⊂ R , E ′ = R , E ˉ = E ∪ E ′ = R a,b \in R,R中存在互异点列\{m_k\}和\{n_k\}, \\\lim_{k\rightarrow\infty}|\sqrt[3]{n_k}-\sqrt[3]{m_k}-(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})|=0 \\\lim_{k\rightarrow\infty}|\sqrt[3]{n_k}-\sqrt[3]{a}-(\sqrt[3]{m_k}-\sqrt[3]{b})|=0 \\a,b \in R,(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}) \in E' \subset R \\\forall a,b \in R,R \subset (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}) \in E' \\E \subset R,E'=R,\bar E=E\cup E'=R a,b∈R,R中存在互异点列{mk​}和{nk​},k→∞lim​∣3nk​ ​−3mk​ ​−(3a ​−3b ​)∣=0k→∞lim​∣3nk​ ​−3a ​−(3mk​ ​−3b ​)∣=0a,b∈R,(3a ​−3b ​)∈E′⊂R∀a,b∈R,R⊂(3a ​−3b ​)∈E′E⊂R,E′=R,Eˉ=E∪E′=R
• 正数列 { a n } : a 1 < a 2 < . . . . < a n < . . . . 正数列\{a_n\}:a_1\lt a_2 \lt ....\lt a_n \lt .... 正数列{an​}:a1​<a2​<....<an​<....满足
  lim ⁡ n → ∞ a n = + ∞ , lim ⁡ n → ∞ a n / a n + 1 = 1 数集 E = { a m / a n ： 1 ≤ n ≤ m } 在（ 1 ， + ∞ ) 稠密。 \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=+\infty,\lim_{n\rightarrow \infty}a_n/a_{n+1}=1 \\数集E=\{a_m/a_n：1 \le n \le m\}在 （1，+\infty)稠密。 n→∞lim​an​=+∞,n→∞lim​an​/an+1​=1数集E={am​/an​：1≤n≤m}在（1，+∞)稠密。
  1. ∀ δ > 0 ( B ( a m a n , δ ) \ { a m a n } ) ∩ E ≠ ∅ = > a m a n ∈ E ′ 2. a n < a m = > a m a n > 1 , n → + ∞ 时， a m a n → + ∞ 3. E ⊂ （ 1 ， + ∞ ) , E ′ ⊂ （ 1 ， + ∞ ) ， E ˉ = E ∪ E ′ ⊂ （ 1 ， + ∞ ) 1.\forall \delta>0 \\(B(\frac {a_m} {a_n},\delta)\backslash \{\frac {a_m}{a_n}\} )\cap E \ne \empty=>\frac {a_m}{a_n} \in E' \\2.a_n \lt a_m=>\frac {a_m} {a_n}>1,n\rightarrow +\infty时，\frac {a_m} {a_n} \rightarrow +\infty \\3.E \subset （1，+\infty),E' \subset（1，+\infty)，\bar E=E\cup E' \subset（1，+\infty) 1.∀δ>0(B(an​am​​,δ)\{an​am​​})∩E=∅=>an​am​​∈E′2.an​<am​=>an​am​​>1,n→+∞时，an​am​​→+∞3.E⊂（1，+∞),E′⊂（1，+∞)，Eˉ=E∪E′⊂（1，+∞)
• $设E\subset R^n，则\bar{E}是包含E的一切闭集F之交：\bar{E}={\cap }_{f\supset E}F$
  $$\begin{gathered} 1.F\supset E=>{\cap }_{F\supset E}F\supset E \\ F是闭集=>{\cap }_{F\supset E}F\supset \bar{E} \\ 2.F是闭集=>E\subset F=>\bar{E}\subset {\cap }_{F\supset E}F \end{gathered}$$

理论

点集稠密

点集稠密是数学中的一个概念，特别是在度量空间和偏序集中经常被讨论。以下是对点集稠密的详细解释：

一、度量空间中的稠密性

在度量空间（如实数集R）中，点集的稠密性通常定义为：如果E是度量空间R中的点集，A也是R中的点集，且E中的任何一点的任何邻域（或环境）都含有A中的点，则称A在E中稠密。这里的“邻域”或“环境”通常指的是以该点为中心、某个正数为半径的开球（在实数集中即开区间）。

二、偏序集中的稠密性

在偏序集（如自然数集N、有理数集Q、实数集R等，带有自然的≤关系）中，稠密性有不同的定义。具体来说，如果偏序集(A;≤)满足对任意a,b∈A（且a<b），存在c∈A使得a≤c≤b，则称(A;≤)是（序）稠密的。对于偏序集的子集B，如果B满足上述条件（即对于A中的任意两个元素a和b，只要a<b，就能在B中找到一个元素c使得a≤c≤b），则称B在A中稠密，或称B是A的稠密子集。

三、具体例子

• 有理数集Q：在实数集R中，有理数集Q是稠密的。这意味着对于任意两个不相等的实数a和b（a<b），总能在有理数集中找到一个数c，使得a<c<b。
• 自然数集N：自然数集N在实数集R中不是稠密的，因为两个相邻的自然数之间没有其他的自然数。
• 实数集R：实数集R在其自身中是稠密的，因为对于任意两个不相等的实数a和b（a<b），总能在实数集中找到一个数c，使得a<c<b。

四、稠密性的重要性

稠密性在数学中具有重要意义，它反映了集合在度量空间或偏序集中的填充程度。在实分析、拓扑学、测度论等领域中，稠密性经常用于证明定理、构建反例或描述集合的性质。

五、结论

点集稠密是数学中的一个基本概念，它描述了集合在特定空间中的填充程度。在度量空间和偏序集中，稠密性有不同的定义和性质，但都反映了集合在相应空间中的紧密性。

参考文献

1.文心一言
2.《实变函数解题目指南》