3-2 梯度与反向传播

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梯度的含义

可以看到红色区域的变化率较大，梯度较大；绿色区域的变化率较小，梯度较小。
在二维情况下，梯度向量的方向指向函数增长最快的方向，而其大小表示增长的速率。
梯度的计算


当然我们不必学太深的纯运算，来看看python是怎么解决的

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp
def gradient(f, variables, point):gradients = [sp.diff(f, var) for var in variables]gradient_at_point = [grad.evalf(subs=dict(zip(variables, point))) for grad in gradients]return gradient_at_point# 定义变量
x, y = sp.symbols('x y')# 定义函数 f(x, y)
f = x**2 + y**2# 定义点
point = (3, 4)# 计算梯度
grad = gradient(f, [x, y], point)# 函数表达式转换为可计算的 lambda 函数
f_lambda = sp.lambdify((x, y), f, 'numpy')# 创建 x, y 数据
X = np.linspace(-5, 5, 400)
Y = np.linspace(-5, 5, 400)
X, Y = np.meshgrid(X, Y)# 计算 z 数据
Z = f_lambda(X, Y)# 创建图形
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')# 绘制表面图
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', alpha=0.7)# 绘制梯度向量
# 在 point 点绘制梯度
ax.quiver(point[0], point[1], f_lambda(point[0], point[1]),grad[0], grad[1], 0, color='r', length=1.5, arrow_length_ratio=0.2)# 标记点
ax.scatter(point[0], point[1], f_lambda(point[0], point[1]), color='r', s=100)# 设置标签
ax.set_xlabel('X axis')
ax.set_ylabel('Y axis')
ax.set_zlabel('Z axis')# 标题
ax.set_title('Surface plot of f(x, y) = x^2 + y^2 with gradient vector at (3, 4)')plt.show()

反向传播