向量叉乘的方向

最近在百度上看到这样一个帖子：

可以根据这个判断是顺时针还是逆时针的

a×b的方向：四指由a开始，指向b，拇指的指向就是a×b的方向，垂直于a和b所在的平面；

b×a的方向：四指由b开始，指向a，拇指的指向就是b×a的方向，垂直于b和a所在的平面；

a×b的方向与b×a的方向是相反的，且有：a×b=-b×a。
 感觉讲的不是很详细，就来拓展一下。

向量叉乘是一种常见的向量运算,它可以用来计算两个向量所确定的平面的法向量。理解向量叉乘的方向是非常重要的,因为它在许多物理和几何问题中扮演着关键的角色。

首先,让我们回顾一下向量叉乘的定义。对于两个向量a和b,它们的叉乘记作a×b,定义为:

a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

其中a = (a1, a2, a3)，b = (b1, b2, b3)。

向量叉乘的结果是一个新的向量,它垂直于a和b所确定的平面。这个新向量的方向可以通过"右手定则"来确定:将右手的拇指、食指和中指分别指向a、b和a×b的方向,则拇指、食指和中指所确定的方向就是a×b的方向。

更直观地说,如果我们将a和b看作两个向量,那么a×b的方向就是从a指向b的方向,再按逆时针旋转90度所得到的方向。这个方向垂直于a和b所确定的平面。

下面我们来详细分析向量叉乘方向的一些性质:

1. 垂直性质:
a×b是垂直于a和b的向量。这是因为a×b的定义中包含了减法运算,而减法运算会产生一个垂直于被减数和减数的向量。
从几何上来看,a×b垂直于a和b所确定的平面,因为它是这个平面的法向量。

2. 反向性质:
b×a = -(a×b)
这意味着如果我们交换a和b的位置,则a×b的方向会发生改变,变为相反的方向。这是因为右手定则中,拇指、食指和中指的顺序发生了改变。

3. 反交换性质:
a×b ≠ b×a
这是因为a×b和b×a的方向是相反的,所以它们不相等。

4. 分配律:
a×(b+c) = a×b + a×c
这个性质说明向量叉乘满足分配律,这在许多应用中非常有用。

5. 平行性质:
如果a和b是平行的,那么a×b = 0
这是因为如果a和b是平行的,那么它们确定的平面就是一条直线,其法向量为0向量。

6. 缩放性质:
k(a×b) = (ka)×b = a×(kb)
这说明向量叉乘对于标量的缩放是线性的。

7. 混合积性质:
a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)
这个性质在物理学中很有用,比如在计算力矩、角动量等物理量时。

总的来说,向量叉乘的方向是通过右手定则来确定的,它始终垂直于两个向量所确定的平面。理解向量叉乘方向的这些性质对于解决许多几何和物理问题非常重要。比如在计算力矩、扭矩、角动量等物理量时,都需要用到向量叉乘的方向性质。在计算曲面的法向量、求解平面方程等几何问题中,向量叉乘的方向性质也是不可或缺的。

此外,向量叉乘的方向性质在计算机图形学中也有广泛应用,比如在光线追踪、阴影计算、纹理映射等领域。总之,理解向量叉乘的方向性质是非常重要的,它为我们解决许多实际问题提供了有力的数学工具。