罗德里格斯旋转公式证明。

设旋转向量为$(n,\theta )$，设其对应的旋转矩阵为$R$，

如何证明？
$$R=cos\theta I+n^{\wedge }sin\theta +(1-cos\theta )n{n}^T$$
证明过程如下：

如图所示，设旋转向量为$\hat{A}$，记为$n$，设三维中的点$r$绕$n$旋转$\theta$后得到$r^{{}^{\prime }}$，其中$n$为单位方向向量，向量$n$的起点为坐标原点。

$r_3$为r在$n$上的投影，则
$$r_3=(r\cdot n)n\text{\hspace{1em}(1)}$$
$r_1$为r减去r在$n$上面的分量$r_3$，则
$$r_1=r-r_3\text{\hspace{1em}(2)}$$
$r_2$为$n$与$r_1$的叉乘结果向量，则
$$r_2=n\times r_1\text{\hspace{1em}(3)}$$
因此，$r_1，r_2，r_3$构成了两两垂直的坐标系，但是模长不等于1，$r_1$与$r_2$模长相等。

由上图所示，$r^{{}^{\prime }}$在$r_1和r_2$所在的平面上的投影为$r^{{}^{\prime }}-r_3$，则将其用$r_1和r_2$表示有
$$r^{{}^{\prime }}-r_3=r_{1}cos\theta +r_{2}sin\theta$$
则，
$$r^{{}^{\prime }}=r_{1}cos\theta +r_{2}sin\theta +r_3\text{\hspace{1em}(4)}$$
综上所述，将(1)(2)(3)代入(4)式，则
$$\begin{array}{rl}{r}^{{}^{\prime }}& =(r-r_3)cos\theta +(n\times r_1)sin\theta +r_3\\ & =rcos\theta +(n\times r_1)sin\theta +(1-cos\theta )r_3\\ & =rcos\theta +(n\times (r-r_3))sin\theta +(1-cos\theta )r_3\\ & =rcos\theta +(n\times r-n\times r_3)sin\theta +(1-cos\theta )r_3(由于n\times r_3=0)\\ & =rcos\theta +n\times rsin\theta +(1-cos\theta )r_3\\ & =rcos\theta +n^{\wedge }sin\theta \cdot r+(1-cos\theta )(r\cdot n)n\\ & =Icos\theta \cdot r+n^{\wedge }sin\theta \cdot r+(1-cos\theta )n{n}^T\cdot r\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
设旋转矩阵为R，则$r^{{}^{\prime }}=R\cdot r$，由公式(5)可知
$$R=Icos\theta +n^{\wedge }sin\theta +(1-cos\theta )n{n}^T$$
证明完毕。

参考链接：

1、https://wuli.wiki/online/RotA.html

2、https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula

3、https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/resources/GAMES101_Lecture_04_supp.pdf