四波混频
四波混频是由约瑟夫森电感的类克尔非线性引起的，满足 L J − 1 （ ϕ ） ≈ （ 1 − γ ′ ϕ 2 ） L J 0 − 1 L_J^{-1}（\phi）\approx（1-\gamma'\phi^2）L_{J0}^{-1} LJ−1（ϕ）≈（1−γ′ϕ2）LJ0−1，这个式子源于约瑟夫森电流的正弦形电流-相位关系 I = I c s i n ϕ I=I_csin\phi I=Icsinϕ的泰勒级数展开。四波混频对应的是四个连续波在频率 ω 1 、 ω 2 、 ω 3 和 ω 4 ω_1、ω_2、ω_3和ω_4 ω1、ω2、ω3和ω4振荡，并沿同一轴x线性极化而产生的总极化场的 P N L P_{NL} PNL三阶极化项，其中E为电场， P N L P_{NL} PNL为诱导的非线性极化。一般来说，四波混频的基本条件为 ω 1 + ω 2 = ω 3 + ω 4 \omega_1+\omega_2=\omega_3+\omega_4 ω1+ω2=ω3+ω4，这个过程中相位匹配的基本要求为 Δ k = 0 \Delta k=0 Δk=0，满足 Δ k = β 3 + β 4 − β 1 − β 2 \Delta k=\beta_3+\beta_4-\beta_1-\beta_2 Δk=β3+β4−β1−β2，也就是说只有当相位失配几乎消失的时候，才会出现明显的FWM现象。
三波混频
（1）基本的参数关系： ω s + ω i = ω p \omega_s+\omega_i=\omega_p ωs+ωi=ωp
（2）对应的类克尔非线性表述为 L J − 1 （ ϕ ） ≈ （ 1 − β ′ ϕ 2 ） L J 0 − 1 L_J^{-1}（\phi）\approx（1-\beta'\phi^2）L_{J0}^{-1} LJ−1（ϕ）≈（1−β′ϕ2）LJ0−1，β’是非中心对称非线性的系数，LS和LS0表示有限小信号和极小信号的电感。
（3）几乎没有SPM（自相位调制）和XPM（交叉相位调制）
故而在3WM下其信号对应的波数 k i ， k s ， k p k_i，k_s，k_p ki，ks，kp不受到功率的影响，所以这个特征确保了基本的相位匹配： Δ k = k p − k s − k i ≈ 0 Δk=k_p-k_s-k_i≈0 Δk=kp−ks−ki≈0
SPM和XPM
自相位调制（SPM）：在高频信号上叠加恒定的、0到2 π \pi π之间的相位变化，从而实现光信号的调制。
交叉相位调制（XPM）：当两个或者更多光信号在非线性介质中交叉且存在足够高的光强度时，会产生交叉调制信号。这种调制方法与介质的非线性强相关。3WM的非线性相对FWM更小，3WM的相位差接近于0，则根据功率因数=有功功率/视在功率= c o s ϕ cos\phi cosϕ，可以得出在视在功率一定的情况下，在JTWPA中传输的信号功率不会受到相位变化产生的影响，故而3WM是更好的选择。
