熵的最初来源于热力学。在热力学中，熵代表了系统的无序程度或混乱程度，也可以理解为系统的热力学状态的一种度量。后来被广泛引用于各个领域中，如信息学、统计学、AI等，甚至社会学当中。接下来将大家领略一下深度学习中熵的应用。

1. 熵（信息熵）

信息熵：Entropy，信息论中的概念，用来衡量信息的不确定性或随机性。信息熵越高，表示信息的不确定性越大。

1.1 自信息

自信息表示某一事件发生时所带来的信息量的多少，当事件发生的概率越大，则自信息越小。如何理解呢？如：某动物园猴子会说话这件事发生的概率很小，但是发生了，这一定是一个爆炸新闻，信息量很大，所以概率越小，信息量越大；相反，猴子不会说话，是一件确定的事情，概率很大，平平无奇的一件事，信息自然越小。公式可以用以下描述：$P(x_i)$表示随机变量$x_i$发生的概率。$$I(P(x_i))=-log(P(x_i))$$

1.2 信息熵

自信息只能对单个事件信息描述，如果要对系统概率分布的平均信息量进行描述就需要信息熵，也就是所谓的熵。平均也就是求均值。
$$H(X)=E(I)=-E_{x\sim P}(log(P(x_i)))=-\sum _{i=1}^{n}P(x_i)log(P(x_i))$$
从公式可以看出，那些接近确定性的分布（输出几乎可以确定）具有较低的熵，那些接近均匀分布的概率分布具有较高的熵。如：二值分布，P(0) = 0 , P(1) = 1 带入公式得到 H=0。

2.交叉熵

2.1 交叉熵

交叉熵是一种用来衡量两个概率分布之间差异的指标，常用于评估模型输出与真实标签之间的差异。先看公式：
$$H(P,Q)=-E_{x\sim P}\sum _{i=1}^{n}log(Q(x_i))=\sum _{i=1}^{n}P(x_i)log(Q(x_i))$$
$P(x_i)$ 是真实分布，$Q(x_i)$是模型预测分布，假如模型预测分布等于真实分布，则$H(P,Q)=-{\sum }_{i=1}^{n}P(x_i)log(P(x_i))=H(P)$，可以看出即使预测很准确，交叉熵也不等于0，但是为什么模型优化，对于分类任务使用交叉熵呢。将交叉熵公式变形得到：
$$\begin{gathered} H(P,Q)=-\sum _{i=1}^{n}P(x_i)log(Q(x_i))-\sum _{i=1}^{n}P(x_i)log(P(x_i))+\sum _{i=1}^{n}P(x_i)log(P(x_i)) \\ =-\sum _{i=1}^{n}P(x_i)log(\frac{Q(x_i)}{P(x_i)})+H(P) \end{gathered}$$
定义KL散度：$D_{KL}(P||Q)=-{\sum }_{i=1}^{n}P(x_i)log(\frac{Q(x_i)}{P(x_i)})$ ,所以$H(P,Q)=D_{KL}(P||Q)+H(P)$，由于P是真实值，其H(P )必然为固定值，因此对$H(P,Q)$求梯度实际上是对$D_{KL}(P||Q)$求梯度，因此在分类任务中交叉熵的优化任务可以看成是对$D_{KL}(P||Q)$优化。
我们再看一下$D_{KL}(P||Q)$公式，如果想要其最小，则势必Q(x)=P(x)，因此优化交叉熵$H(P,Q)$和优化KL散度$D_{KL}(P||Q)$是一样的，从公式复杂程度来看，优化交叉熵会更简单一些，这也是为什么分类任务模型训练更喜欢用交叉熵损失，而这只是其中一个原因。我们可以接下来看，既然有了交叉熵，为什么还有KL散度，后面在介绍原因。

2.2 交叉熵损失

2.2.1 逻辑回归

我们先看一下最初的逻辑回归公式，有人说来源于最小化交叉熵，也有人说来源于最大释然估计，其实两种说法是等价的。2.1已经证明最小化交叉熵的结果是使预测值Q(x)=P(x)，对于分类任务（逻辑回归）我们的目的也是如此，希望预测概率和真实概率一致。因此定义了预测概率函数$h_{\theta }(x)$代替Q(x)，真实值$y$代替P(x)，因此由交叉熵演变的二分类逻辑回归损失函数为，这里y=0或者1，因此二值的概率也可写为$h_{\theta }(x),1-h_{\theta }(x)$
$$J(\theta )=-\sum _{i=0,1}ylog{h}_{\theta }(x)=ylog{h}_{\theta }(x)+(1-y)log(1-h_{\theta }(x))$$
这就是我们熟悉的二分类的逻辑回归损失了，如果是n分类呢，二分类只不过是多分类的一个特例，这里的$h_{\theta }(x)$使用$q_i$代替，
$$CrossEntropyLoss=J(\theta )=-\sum _{i=1}^n{y}_{i}log(q_i(x,\theta ))$$
$q_i(x,\theta )$是模型预测并且经过softmax的结果，n是类别数

2.2.2 交叉熵损失

2.1 说了交叉熵的优化结果不能使交叉熵的值为0,但是能够使预测值趋向真实值，也做了推导。而交叉熵损失函数在多分类优化结果是怎样的呢。我们想得到预测值跟真实值一样，过来一个样本，假如真实值标签是5，因此我们希望预测概率$q_5(x,\theta )=1$，其他为0，而我们损失函数必然为0，因此我们所用的交叉熵损失函数在分类任务最终理想结果是为0这不同于交叉熵，交叉熵一定会大于0。
为什么不用KL散度？ 对于分类任务来说，真实值分布P(x)，习惯上叫先验分布是难以确定的，比如说一张图片是猫是狗还是牛马，满足什么分布呢？很难说吧！而在生成模型中，KL散度却被广泛应用，原因是因为生成模型中假定了其分布为正态分布。后续有时间会写VQ-VAE一些生成模型，在介绍吧。

3.相对熵（ KL散度）

公式：$D_{KL}(P||Q)=-{\sum }_{i=1}^{n}P(x_i)log(\frac{Q(x_i)}{P(x_i)})$
在2.1中已经隐藏的介绍了KL散度，这其实完全是用来衡量两个概率分布之间的相似性。KL=0，则完全表明Q(x)=P(x)，预测值跟真实值一样。其在生成模型中应用较为广泛

4.极大释然估计

释然函数：
$$L(\theta )=\prod _{i=0}^{n}Q(x_i,\theta )$$
优化释然函数，当所有随机变量概率相乘得到最大L时，此时的$\theta$为最优解
等价于优化取对数最大值结果$log(L(\theta ))={\sum }_{i=0}^{n}Q(x_i,\theta )$，
等价于优化取相反数最小结果$-log(L(\theta ))=-{\sum }_{i=0}^{n}log(Q(x_i,\theta ))$，
等价于优化取均值最小结果$E(...)=-E_{x\sim Q}{\sum }_{i=0}^{n}log(Q(x_i,\theta ))$,
由于Q分布最终预测是近似P分布，所以$E(...)\approx E_{x\sim P}{\sum }_{i=0}^{n}log(Q(x_i,\theta ))$,
上式就是交叉熵的公式H(P，Q)。
因此最终我们得到以下结论：
优化极大释然函数=优化最小值交叉熵=优化最小值KL散度

5.备注参考说明

备注：文中所有真实分布为p或P，预测分布为q或Q。
参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/35423404
https://blog.csdn.net/SongGu1996/article/details/99056721
https://zhuanlan.zhihu.com/p/38853901