萌新的学习笔记，写错了恳请斧正。

四、归并排序

归并排序是一种非常高效的排序算法。基本思想是将一个大数组分成两半，分别对这两半进行排序，然后将排序好的两部分合并在一起。这个过程递归进行，每次将数组分半，直到每个部分只有一个元素，自然是有序的，最终得到一个完整的有序数组。

归并排序的步骤如下：

1. 分割：把当前序列平均分割成两半。
2. 递归排序：递归地对这两半进行归并排序，直到分割的子序列只包含一个元素。
3. 合并：将两个有序的子序列合并成一个有序序列。

时间复杂度

归并排序的时间复杂度为$O(N\log N)$​，在最好最坏情况都是如此。是一种效率稳定的排序方法。

实现

递归实现

void _MergeSort(int* arr, int left, int right, int* tmp)
{if (left >= right){return;}int mid = (left + right) / 2;//[left, mid] [mid + 1, right]_MergeSort(arr, left, mid, tmp);_MergeSort(arr, mid + 1, right, tmp);//合并int begin1 = left, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = right;int index = left;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (arr[begin1] < arr[begin2]){tmp[index++] = arr[begin1++];}else{tmp[index++] = arr[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[index++] = arr[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[index++] = arr[begin2++];}memcpy(arr + left, tmp + left, sizeof(int) * (right - left + 1));
}void MergeSort(int* arr, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc");return;}_MergeSort(arr, 0, n - 1, tmp);free(tmp);tmp = NULL;
}

非递归实现

同样的，归并排序的递归也可以整合为非递归的形式：

void MergeSortNonR(int* arr, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(n * sizeof(int));if (tmp == NULL){perror("malloc fail");return;}for (int gap = 1; gap < n; gap *= 2){for (int j = 0; j < n; j += 2 * gap){int begin1 = j, end1 = begin1 + gap - 1;int begin2 = begin1 + gap, end2 = begin2 + gap - 1;if (end1 >= n || begin2 >= n){break;}if (end2 >= n){end2 = n - 1;}int i = j;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (arr[begin1] < arr[begin2]){tmp[i++] = arr[begin1++];}else{tmp[i++] = arr[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[i++] = arr[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = arr[begin2++];}memcpy(arr + j, tmp + j, sizeof(int) * (end2 - j + 1));	//用j不用begin1，begin1已经改变}}free(tmp);tmp = NULL;
}

测试

下面是对一千万个随机数据的排序测试

稳定性

归并排序是稳定的。

五、非比较排序

非比较排序不通过直接比较元素之间的大小关系来排序，而是利用其他方法，如数字或者字符串的特性。

非比较排序往往能达到非常非常高的时间效率，但是也往往受到非常大的使用限制。

5.1 计数排序

计数排序使用一个额外的数组来记录每个值的出现次数，然后根据这些计数来组织输出排序结果。

计数排序的步骤：

1. 找出待排序数组中的最大值和最小值，确定计数数组的长度。
2. 创建并初始化计数数组，索引代表原数组中的元素，值代表该元素出现的次数。
3. 遍历原数组，更新计数数组：对于原数组中的每一个元素，将计数数组对应索引的值增加1。
4. 根据计数数组，重构原数组：遍历计数数组，根据每个索引的计数，在原数组中按顺序填充相应的元素。

时间复杂度

计数排序的时间复杂度是$O(N+K)$，其中K是数组中数据跨度的范围大小（比方说一个数组中所有数据都是1，那这个跨度就是1，如果里面有一个1变成了100万，那K就直接变成了100万）。

所以说，如果数据跨度比较小，计数排序的时间复杂度就可以认为是$O(N)$，其效率非常离谱。

实现

void CountSort(int* arr, int n)
{int max = arr[0];int min = arr[0];for (int i = 1; i < n; ++i){if (arr[i] > max){max = arr[i];}if (arr[i] < min){min = arr[i];}}int range = max - min + 1;int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * range);if (count == NULL){perror("malloc");return;}memset(count, 0, sizeof(int) * range);for (int i = 0; i < n; ++i){count[arr[i] - min]++;}int index = 0;for (int i = 0; i < range; ++i){while (count[i]--){arr[index++] = i + min;}}free(count);count = NULL;
}

测试

下面是对一千万个随机数据的排序测试（数据在0到32767）：

下面是对一千万个随机数据的排序测试（数据在0到十亿）：

局限性

就像上面所说，计数排序只有在数据跨度较小时能够获得极高的时间效率。而且计数排序只能用于排序整型数据。另外，其空间复杂度较高。

5.2 桶排序

注意：桶排序效率高的离谱，局限性也高的离谱，如果还是随便生成大量数据测试可能导致程序崩溃甚至电脑卡死！

桶排序是基于基数排序和分布的一种排序算法。其基本思想是将一个区间内的数据分散到多个有序的桶中，然后分别对每个桶中的元素进行排序，最后将各个桶中的元素按顺序合并，从而得到一个完全有序的数组。

桶排序的步骤描述起来较难理解，下面在代码部分详细解释。

时间复杂度

桶排序时间复杂度最低可达$O(N)$，非常高。但是但凡数据跨度比较大、bucketsize（下面会解释是什么）选取的函数不那么合适，就会导致时间和空间复杂度剧烈变化，可能直接造成代码崩溃。

实现

void BucketSort(int* arr, int n)
{int max = arr[0];int min = arr[0];for (int i = 1; i < n; ++i){if (arr[i] > max){max = arr[i];}if (arr[i] < min){min = arr[i];}}int range = max - min + 1;int bucketSize = 5;	//这里对不同的情形需要设置不同的数字，效率差距非常大int bucketCount = range / bucketSize + 1;int** bucket = (int**)malloc(sizeof(int*) * bucketCount);for (int i = 0; i < bucketCount; ++i){bucket[i] = (int*)malloc(sizeof(int) * n);}int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * bucketCount);memset(count, 0, sizeof(int) * bucketCount);for (int i = 0; i < n; ++i){int index = (arr[i] - min) / bucketSize;bucket[index][count[index]++] = arr[i];}int index = 0;for (int i = 0; i < bucketCount; ++i){InsertSort(bucket[i], count[i]);	//采用插入排序只是一种方法，这里不唯一for (int j = 0; j < count[i]; ++j){arr[index++] = bucket[i][j];}}for (int i = 0; i < bucketCount; ++i){free(bucket[i]);}free(bucket);bucket = NULL;free(count);count = NULL;
}

在上方实现中，我们首先确定了数据范围range。

然后我们要根据 range 确定每一个桶内我们要存放范围大小为多少的数据，也就是bucketSize。注意，这不是说每个bucket只能放bucketSize个数据，而是可以放多少值不同的数据（相同值可以无限叠放）。

随后我们就计算出了桶的数量bucketCount，并且创建了这么多桶。同时每一个桶都配备了一个计数器（对应到count数组里）。

最后就是与计数排序类似的步骤，数据分桶再收集即可。

测试

100万0~99的数据，bucketSize = 2：

100万0~99的数据，bucketSize = 5：

100万0~99的数据，bucketSize = 1：

5.3 基数排序

基数排序是对计数排序的一个升级方法。只要我们==把数组中的数从低位到高位逐次进行只看某一位的计数排序，最终就能得到有序的数组。==这可能有些难以理解，但是我们可以看一个例子：

数组=[170,45,75,90,802,24,2,66]

我们将按照十进制的个位、十位、百位等进行排序。这里最大的数字是802，有三位数字，所以我们将进行三轮排序。

第一轮：按个位排序

• 170的个位是0
• 45的个位是5
• 75的个位是5
• 90的个位是0
• 802的个位是2
• 24的个位是4
• 2的个位是2
• 66的个位是6

按个位排序的结果为：170,90,802,2,24,45,75,66170,90,802,2,24,45,75,66

第二轮：按十位排序

• 170的十位是7
• 90的十位是9
• 802的十位是0
• 2的十位是0（没有十位，视为0）
• 24的十位是2
• 45的十位是4
• 75的十位是7
• 66的十位是6

按十位排序的结果为：802,2,24,45,66,170,75,90802,2,24,45,66,170,75,90

第三轮：按百位排序

• 802的百位是8
• 2的百位是0（没有百位，视为0）
• 24的百位是0
• 45的百位是0
• 66的百位是0
• 170的百位是1
• 75的百位是0
• 90的百位是0

按百位排序的结果为：2,24,45,66,75,90,170,8022,24,45,66,75,90,170,802

最终排序结果为：2,24,45,66,75,90,170,8022,24,45,66,75,90,170,802

时间复杂度

基数排序的时间复杂度仅为$O(k\times N)$，非常高效。

实现

void RadixSort(int* arr, int n)
{int max = arr[0];for (int i = 1; i < n; ++i){if (arr[i] > max){max = arr[i];}}int maxDigit = 0;while (max){max /= 10;++maxDigit;}int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * 10);int* bucket = (int*)malloc(sizeof(int) * n);int radix = 1;for (int i = 0; i < maxDigit; ++i)	//@{memset(count, 0, sizeof(int) * 10);for (int j = 0; j < n; ++j){count[(arr[j] / radix) % 10]++;}for (int j = 1; j < 10; ++j){count[j] += count[j - 1];}for (int j = n - 1; j >= 0; --j){bucket[--count[(arr[j] / radix) % 10]] = arr[j];}memcpy(arr, bucket, sizeof(int) * n);radix *= 10;}free(count);count = NULL;free(bucket);bucket = NULL;
}

对于上方@标记的循环体中的3个子循环，这里需要给出一些解锁：

1. 第一个for循环

   循环遍历整个数组，计算当前位的数字（个位、十位、百位等），并对应的增加 count 数组中对应索引的值。这里$arr[j]/radix\%10$ 计算出当前位的值（如个位、十位等），count 数组用来记录每个数字（0-9）在当前位出现的次数。

2. 第二个for循环

   通过累加前一个索引的 count 值，将 count 数组转化为前缀和数组。这一步是为了在下一个循环中能够直接定位每个元素在 bucket 中的存放位置。每个元素的存放位置取决于它当前位的值，并使用前缀和确定其在 bucket 中的结束位置。

3. 第三个for循环

   从数组的最后一个元素开始向前遍历，这样可以保持排序的稳定性（即相同值的元素保持原有顺序）。通过查找当前位的数字对应的 count 数组值，确定元素在 bucket 中的位置（使用--count是为了下次遇到同样的数时位置向前移动一个单位），然后将元素放在 bucket 中相应的位置。

测试

下面是对一千万个随机数据的排序测试（数据在0到32767）：

下面是对一千万个随机数据的排序测试（数据在0到十亿）：

局限性

可以看到，基数排序一定程度上减除了计数排序对大范围数据处理的劣势，但是也增加了空间复杂度。与此同时，基数排序依旧保留了计数排序只能处理整数的缺点。