【题目链接】

• 点击打开链接

【思路要点】

• 考虑给定的图为大小为 $N+1$ 的点的菊花图的情况，记方案数为 $d{p}_N$ ，考虑最后一个儿子是否连边，则有转移 $$d{p}_i=d{p}_{i-1}+(i-1)d{p}_{i-2}$$
• 断开环边，剩余问题即为如何解决图是一棵树的情况。
• 注意到由于不允许存在重边，一个合法的加边方案中边的长度 $\ge 2$ 。
• 考虑对一个合法的加边方案进行如下转化：记一条边 $(x,y)$ 经过了点 $x,a,b,c,\dots ,d,e,f,y$ ，则断开 $(x,y)$ ，连接 $(x,b),(a,c),\dots ,(d,f),(e,y)$ 。
• 得到的连边方案所连的新边长度均为 $2$ ，且与将各个点与其邻点看做一个菊花图的连边方案的组合一一对应。
• 因此，记 $d_i$ 为 $i$ 的度数，答案即为 $$\prod _{i=1}^{N}d{p}_{d_i}$$
• 时间复杂度 $O(N+M)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 5;
const int P = 998244353;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {x = 0; int f = 1;char c = getchar();for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {if (x < 0) x = -x, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {write(x);puts("");
}
int n, m, cnt[MAXN], dp[MAXN];
bool vis[MAXN], ban[MAXN], ins[MAXN], flg;
vector <pair <int, int>> a[MAXN];
void dfs(int pos, int fa, int num) {cnt[pos] = 0;vis[pos] = true;ins[pos] = true;for (auto x : a[pos])if (!vis[x.first]) {dfs(x.first, pos, x.second);cnt[pos] += cnt[x.first];} else if (ins[x.first] && x.first != fa) {cnt[pos]++, cnt[x.first]--;ban[x.second] = true;}ins[pos] = false;if (cnt[pos] >= 2) flg = true;if (cnt[pos] >= 1) ban[num] = true;
}
int main() {int T; read(T);while (T--) {read(n), read(m);for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i].clear();vis[i] = false;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y; read(x), read(y);a[x].emplace_back(y, i);a[y].emplace_back(x, i);ban[i] = false;}flg = false;dfs(1, 0, 0);if (flg) {puts("0");continue;}dp[0] = dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++)dp[i] = (dp[i - 1] + 1ll * (i - 1) * dp[i - 2]) % P;int ans = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {int cnt = 0;for (auto x : a[i])if (!ban[x.second]) cnt++;ans = 1ll * ans * dp[cnt] % P;}writeln(ans);}return 0;
}