- 树与二叉树知识点文章: 【数据结构】树与二叉树（递归法先序、中序、后序、层次遍历二叉树、二叉树的建立以及求树高的方法）
- 二叉树遍历算法的应用: 【数据结构】树与二叉树遍历算法的应用（求叶子节点个数、求树高、复制二叉树、创建二叉树、二叉树存放表达式、交换二叉树每个结点的左右孩子）
- 树与森林知识点文章: 【数据结构】树与森林（树的存储结构、森林与二叉树的转化、树与森林的遍历）
【数据结构】树与二叉树部分习题与算法设计例题
一、单选题
- 设树T的度为4,其中度为1,2,3和4的结点个数分别为4,2,1,1 则T中的叶子数为( )。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
选D
一棵含有n个结点的树，有n-1个分支，即 n = 1 ∗ 4 + 2 ∗ 2 + 3 ∗ 1 + 4 ∗ 1 + 1 = 16 ; n = 1*4 + 2*2 + 3*1 + 4*1 + 1 = 16; n=1∗4+2∗2+3∗1+4∗1+1=16;
又由于 n = n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = n 0 + 8 ; n = n_0 + n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = n0 + 8; n=n0+n1+n2+n3+n4=n0+8;
n 0 + 8 = 16 n_0 + 8 = 16 n0+8=16，所有叶子结点个数为8
- 在下述结论中,正确的是( )
①只有一个结点的二叉树的度为0;
②二叉树的度为2;
③二叉树的左右子树可任意交换;
④深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树。
A 1、2、3
B 2、3、4
C 2、4
D 1、4
选D
(1)对。只有一个结点的二叉树的度为0;
(2)二叉树的要求是度不超过2
(3) 二叉树是有序树，左右子树不能交换位置.
(4)对。深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树。
- 设森林F对应的二叉树为B,它有m个结点,B的根为p,p的右子树结点个数为n,森林F中第一棵树的结点个数是( )
A m-n
B m-n-1
C n+1
D 条件不足,无法确定
选A
所有节点数减去右兄弟，剩下的就是第一棵树。
- 若一棵二叉树具有10个度为2的结点,5个度为1的结点,则度为0的结点个数是( )
A 9
B 11
C 15
D 不确定
选B
性质3：*对任何一棵二叉树，若它含有 n 0 n_0 n0个叶子结点、 n 2 n_2 n2个度为 2的结点，则必存在关系式 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1。
n 0 = n 2 + 1 = 10 + 1 = 11 n_0=n_2+1=10+1=11 n0=n2+1=10+1=11
- 在一棵三叉树中度为3的结点数为2个, 度为2 的结点数为1个,度为1的结点数为2个,则度为0的结点数为( )个
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
选c
设该树总共有n个节点,则 n = n 0 + n 1 + n 2 + n 3 . n=n_0+n_1+n_2+n_3. n=n0+n1+n2+n3.
该树中除了根节点没有前驱以外,每个节点有且只有一个前驱,因此有n个节点的树的总边数为 n − 1 n-1 n−1条.根据度的定义,总边数与度之间的关系为： n − 1 = 0 ∗ n 0 + 1 ∗ n 1 + 2 ∗ n 2 + 3 ∗ n 3 . n-1=0*n_0+1*n_1+2*n_2+3*n_3. n−1=0∗n0+1∗n1+2∗n2+3∗n3.
联立两个方程求解,可以得到 n 0 = 6 n_0=6 n0=6
- 设森林F中有三棵树,第一,第二,第三棵树的结点个数分别为M1,M2和M3。与森林F对应的二叉树根结点的右子树上的结点个数是( )。
A. M1
B. M1+M2
C. M3
D. M2+M3
选D
根据森林转换为二叉树的法则,二叉树的根结点通常是第一棵树的结点,二叉树的左子树是由第一棵树删去根后所得所有子树构成的,二叉树的右子树是由其它树(第二，第三棵树)构成的,故左子树结点个数是M1-1,右子树上的结点个数是M2+M3。
- 具有10个叶结点的二叉树中有( )个度为2的结点,
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
选B
性质3：*对任何一棵二叉树，若它含有 n 0 n_0 n0个叶子结点、 n 2 n_2 n2个度为 2的结点，则必存在关系式 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1。
计算得 10 − 1 = 9 10-1=9 10−1=9
- 一棵完全二叉树上有1001个结点,其中叶子结点的个数是( )
A. 250
B. 500
C. 254
D. 505
E. 以上答案都不对
选E
方法一：由 性质4： *具有 n 个结点的完全二叉树的深度为: ⌊ log 2 n ⌋ + 1 \lfloor\log_2 n\rfloor + 1 ⌊log2n⌋+1 可得树高为 9 + 1 = = 10 9+1==10 9+1==10
前九层的总结点个数为 2 9 − 1 = 511 2^9-1=511 29−1=511
第十层的结点个数为 1001 − 511 = 490 1001-511=490 1001−511=490
第九层上结点个数为 2 9 − 1 = 256 2^{9-1}=256 29−1=256
第九层上叶节点个数为 256 − 490 / 2 = 11 256-490/2=11 256−490/2=11
因此叶节点一共有 490 + 11 = 501 ( 个 ) 490+11=501(个) 490+11=501(个)方法二：
完全二叉树的最后一个结点的编号是 n n n，则它的父结点的编号为 [ n / 2 ] [n/2] [n/2]，则叶子结点个数为 n − [ n / 2 ] n-[n/2] n−[n/2]。
完全二叉树的最后一个结点的编号一定是1001，则它的父结点的编号为1001/2=500，则叶子结点个数为1001-500=501.
- 设给定权值总数有n 个,其哈夫曼树的结点总数为( )
A. 不确定
B. 2n
C. 2n+1
D. 2n-1
选 D
哈夫曼树中只有度为0和2的节点，且有此关系 n 0 = n 2 + 1 ( 度为 0 的节点个数 = 度为 2 的节点个数 + 1 ) n_0=n_2+1(度为0的节点个数=度为2的节点个数+1) n0=n2+1(度为0的节点个数=度为2的节点个数+1) 哈夫曼树中权值所在的节点一定是叶子节点，有哈夫曼树的构造决定的。
因此“给定权值总数有 n n n个”，也就是说叶子节点有 n n n个，则度为2的节点个数为 ( n − 1 ) (n-1) (n−1)，哈夫曼树总结点个数为 n + ( n − 1 ) = 2 n − 1 n+(n-1)=2n-1 n+(n−1)=2n−1
根据：
性质3：*对任何一棵二叉树，若它含有 n 0 n_0 n0个叶子结点、 n 2 n_2 n2个度为 2的结点，则必存在关系式 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1。
- 一个具有1025个结点的二叉树的高h为( )
A. 11
B. 10
C. 11至1025之间
D. 10至1024之间
选A
由
性质4： *具有 n 个结点的完全二叉树的深度为: ⌊ log 2 n ⌋ + 1 \lfloor\log_2 n\rfloor + 1 ⌊log2n⌋+1 可得树高为 10 + 1 = = 11 10+1==11 10+1==11
- 一棵二叉树高度为h,所有结点的度或为0,或为2,则这棵二叉树最少有( )结点
A. 2h
B. 2h-1
C. 2h+1
D. h+1
选B
性质3：*对任何一棵二叉树，若它含有 n 0 n_0 n0个叶子结点、 n 2 n_2 n2个度为 2的结点，则必存在关系式 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1。
- 一棵树高为K的完全二叉树至少有( )个结点
A. 2 k – 1 2^k –1 2k–1
B. 2 k − 1 – 1 2^{k-1} –1 2k−1–1
C. 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1
D. 2 k 2^k 2k
选C
至少的情况：最后一层只有一个叶子结点，前 K-1 层是满二叉树。因此，结点数可以通过以下公式计算： [ 至少结点数 = 2 ( K − 1 ) − 2 ( K − 1 ) + 1 = 2 K − 2 ( K − 1 ) ] [ \text{至少结点数} = 2^{(K-1)} - 2^{(K-1)} + 1 = 2^{K} - 2^{(K-1)} ] [至少结点数=2(K−1)−2(K−1)+1=2K−2(K−1)]
至多的情况：第 K 层是满二叉树，因此结点数最多为： [ 至多结点数 = 2 K − 1 ] [\text{至多结点数} = 2^{K} - 1 ] [至多结点数=2K−1]
完全二叉树：
1. 完全二叉树：树中所含的 n个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。2. 特点：结点没有左孩子一定没有右孩子；度为1的结点最多有一个性质1：二叉树的第 i层上至多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1个结点 ( i ≥ 1 ) (i≥1) (i≥1)。
性质2：深度为k的二叉树上至多含 ( 2 k − 1 ) (2^k-1) (2k−1)个结点 ( k ≥ 1 ) (k≥1) (k≥1)。达到最多的时候，就是满二叉树。
性质3：*对任何一棵二叉树，若它含有 n 0 n_0 n0个叶子结点、 n 2 n_2 n2个度为 2的结点，则必存在关系式 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1。
- 一棵二叉树的前序遍历序列为ABCDEFG,它的中序遍历序列可能是( )
A. CABDEFG
B. ABCDEFG
C. DACEFBG
D. ADCFEG
选B
当二叉树所有节点都只有有右孩子时，选项中只有B成立。
- 下面的说法中正确的是( ).
(1)任何一棵二叉树的叶子结点在三种遍历中的相对次序不变;
(2)按二叉树定义,具有三个结点的二叉树共有6种。
A. (1)(2)
B. 1
C. 2
D. (1)、(2)都错
选B
(1)是正确的 解析看第15题。任何一颗二叉树的叶子结点在先序、中序、后序遍历序列中的相对次序是不发生改变的
(2)应该是五种.
- 在二叉树结点的先序序列,中序序列和后序序列中,所有叶子结点的先后顺序( )
A. 都不相同
B. 完全相同
C. 先序和中序相同,而与后序不同
D. 中序和后序相同,而与先序不同
选B
- 前序遍历序列的顺序是根节点 --> 左子树 --> 右子树；
- 后序遍历序列的顺序是左子树 --> 右子树 --> 根结点；
- 中序遍历序列的顺序是左子树 --> 根结点 --> 右子树；
因此相对次序发生变化的都是子树的根，也就是非叶结点。 所以各叶子之间的相对次序关系在前序序列、中序序列和后序序列中是一样的。
- 某二叉树的前序序列和后序序列正好相反,则该二叉树一定是()的二叉树。
A. 空或只有一个结点
B. 任一结点无左子树
C. 高度等于其结点数
D. 任一结点无右子树
选C
高度等于其结点个数的二叉树，即任意结点只有左孩子或只有右孩子，前序序列即从上向下的层序，后序序列即从下向上的层序。
- 若X是二叉中序线索树中一个有左孩子的结点,且X不为根,则x的前驱为( )
A. X的双亲
B. X的右子树中最左的结点
C. X的左子树中最右结点
D. X的左子树中最右叶结点
正确答案：C
- 引入二叉线索树的目的是( )
A. 加快查找结点的前驱或后继的速度
B. 为了能在二叉树中方便的进行插入与删除
C 为了能方便的找到双亲
D. 使二叉树的遍历结果唯一
选A加快查找结点前驱和后继的速度
- n个结点的线索二叉树上含有的线索数为( )
A. 2n
B. n-1
C. n+1
D. n
选C
一个有n个节点的线索二叉树，每个节点都有指向左右孩子的两个指针域，则共有2n个指针域，而n个节点共有n-1条分支，所以共有2n-(n-1)个空指针域，即有n+1个线索.
- 下述编码中哪一个不是前缀码( )。
A. (00,01,10,11)
B. (0,1,00,11)
C. (0,10,110,111)
D. (1,01,000,001)
选B
0是00的前缀1是11的前缀
二、算法设计题
判断二叉树是否为完全二叉树
- 判断二叉树是否为完全二叉树
判断二叉树是否为完全二叉树的函数：
//完全二叉树的性质
bool check(BiTree T){if((T->lchild && T->rchild)||(!T->lchild && !T->rchild))return true;return false;
} //判断是否的完全二叉树
bool is_Complete_Binarytree(BiTree T){BiTree p=T;SqQueue Q;if(!T) return true;//空树也是完全二叉树InitQueue(Q);EnQueue(Q,p);while(!is_QueueEmpty(Q)){DeQueue(Q,p);if(!check(p)) return false;else{if(p->lchild) EnQueue(Q,p->lchild);if(p->rchild) EnQueue(Q,p->rchild);}}return true;
}
(带main函数)题解代码示例：
//给定一个二叉树，找出其最小深度。
//最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。#include<iostream>
using namespace std;//判断二叉树是否为完全二叉树//结点定义入下：
//二叉链表
typedef struct BiTNode{char data;struct BiTNode *lchild,*rchild;
} BiTNode, *BiTree;//若用到队列，请用循环队列，并请实现队列的相关操作以供调用。#define MAXQSIZE 100typedef struct {BiTree *base;int front,rear;
} SqQueue; //定义循环队列//二叉树的建立的算法(按先序遍历序列建立)
void CreateBiTree(BiTree &T) {char ch; scanf("%c",&ch);if (ch=='#') T = NULL;else {T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));T->data = ch; // 生成根结点CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树}
}
//队列的初始化
void InitQueue(SqQueue &Q){Q.base = (BiTree *)malloc(MAXQSIZE*sizeof(BiTree));Q.front = Q.rear = 0;//队列初始化
}//队空
bool is_QueueEmpty(SqQueue Q){if(Q.rear==Q.front) return true;return false;
}//队满
bool is_QueueMAX(SqQueue Q){if((Q.rear+1)%MAXQSIZE == Q.front) return true;return false;
}//入队
void EnQueue(SqQueue &Q,BiTree e){if(!is_QueueMAX(Q)){Q.base[Q.rear]=e;Q.rear = (Q.rear + 1) % MAXQSIZE;}else{cout<<"ERROR!!! 队列已满"<<endl;}
}
//出队
void DeQueue(SqQueue &Q,BiTree &e){if(!is_QueueEmpty(Q)){e = Q.base[Q.front];Q.front = (Q.front + 1) % MAXQSIZE;}else{cout<<"ERROR!!! 队列为空"<<endl;}
}//完全二叉树的性质
bool check(BiTree T){if((T->lchild && T->rchild)||(!T->lchild && !T->rchild))return true;return false;
} //判断是否的完全二叉树
bool is_Complete_Binarytree(BiTree T){BiTree p=T;SqQueue Q;if(!T) return true;//空树也是完全二叉树InitQueue(Q);EnQueue(Q,p);while(!is_QueueEmpty(Q)){DeQueue(Q,p);if(!check(p)) return false;else{if(p->lchild) EnQueue(Q,p->lchild);if(p->rchild) EnQueue(Q,p->rchild);}}return true;
}//层次遍历算法
void LevelOrderTraverse(BiTree T)
{ BiTree p = T;SqQueue Q;if(!T) return; InitQueue(Q); EnQueue(Q,p);while (!is_QueueEmpty(Q)){ DeQueue(Q,p);printf("%c ", p->data);if(p->lchild) EnQueue(Q,p->lchild);if(p->rchild) EnQueue(Q,p->rchild);}
}int main(){BiTree T;//例如输入：ABC##DE##F### 来创建二叉树 CreateBiTree(T);LevelOrderTraverse(T);cout<<endl;if(is_Complete_Binarytree(T)){cout<<"是完全二叉树"<<endl;}else{cout<<"不是完全二叉树"<<endl;}return 0;
} 求二叉树的最小深度 以及 二叉树树高
- 求二叉树的最小深度
给定一个二叉树，找出其最小深度。
最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。
求二叉树的最小深度的函数：
//直接就是将求树高的程序进行修改，将找左右子树最大树高 改为求左右子树 最小树高
//求二叉树的最小深度
int Get_minHeigt(BiTree T){//二叉树的最小深度if(T==NULL) return 0;else{int Left_Height = Get_minHeigt(T->lchild);int Right_Height = Get_minHeigt(T->rchild);int Tree_minHeight = 1+(Left_Height < Right_Height?Left_Height:Right_Height);//取最短路径return Tree_minHeight;}}
(带main函数)题解代码示例：
//给定一个二叉树，找出其最小深度。
//最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。#include<iostream>
using namespace std;typedef struct TreeNode{int data;//数据域TreeNode *rchild;//右孩子指针TreeNode *lchild;//左孩子指针
}TreeNode, *BiTree;//二叉树的建立的算法(按先序遍历序列建立)
void CreateBiTree(BiTree &T) {char ch; scanf("%c",&ch);if (ch=='#') T = NULL;else {T = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));T->data = ch; // 生成根结点CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树}
}//求树高
int Get_Height(BiTree node){//递归 求树高 if(node==NULL) return 0;else{int Left_Height = Get_Height(node->lchild);int Right_Height = Get_Height(node->rchild);int Tree_Height = 1 + (Left_Height > Right_Height?Left_Height:Right_Height);//计算树高return Tree_Height;}}
//求二叉树的最小深度
int Get_minHeigt(BiTree T){//二叉树的最小深度if(T==NULL) return 0;else{int Left_Height = Get_minHeigt(T->lchild);int Right_Height = Get_minHeigt(T->rchild);int Tree_minHeight = 1+(Left_Height < Right_Height?Left_Height:Right_Height);//取最短路径return Tree_minHeight;}}int main(){BiTree T;//例如输入：ABC##DE##F### 来创建二叉树 CreateBiTree(T);cout<<"树高为：" ;cout<<Get_Height(T)<<endl;cout<<"根节点到叶节点的最短路径上的节点数量为：";cout<<Get_minHeigt(T)<<endl;return 0;
} 感谢阅读！！！
