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- 1. 行变换消元法,XA 左乘行变换
1. 行变换消元法,XA 左乘行变换
- 假设我们有一个方程组表示如下：
x + 2 y + z = 2 ; 3 x + 8 y + z = 12 ; 4 y + z = 2 (1) x+2y+z=2;\quad 3x+8y+z=12;\quad4y+z=2\tag{1} x+2y+z=2;3x+8y+z=12;4y+z=2(1) - 矩阵表示如下：
[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] → [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] → [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] (2) \begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{2} 130284111 → 1002241−21 → 1002201−25 (2) - 矩阵右乘AX列变换，矩阵左乘XA行变换
- 第一行乘以-3 加到第二行，矩阵表示如下：
[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] (3) \begin{bmatrix}1&0&0\\\\-3&1&0\\\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}\tag{3} 1−30010001 130284111 = 1002241−21 (3) - 第二行乘以-2 加到第三行，矩阵表示如下：
[ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] (4) \begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{4} 10001−2001 1002241−21 = 1002201−25 (4) - 小结：可以用矩阵形式表示消元如下：
[ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] (5) \begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\\\-3&1&0\\\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{5} 10001−2001 1−30010001 130284111 = 1002201−25 (5) - 上述矩阵转换成方程组可得：
x + 2 y + z = 2 2 y − 2 z = 6 5 z = − 10 (6) \begin{aligned}x+2y+z=2\\\\2y-2z=6\\\\5z=-10\end{aligned}\tag{6} x+2y+z=22y−2z=65z=−10(6) - 得出结果如下:
x = 2 ; y = 1 ; z = − 2 (7) x=2;\quad y=1\quad ;z=-2\tag{7} x=2;y=1;z=−2(7) - 小结
A X = b → 表示的是矩阵 A 的列向量通过 X 进行右乘列变换求和得到 b (8) AX=b\rightarrow 表示的是矩阵A的列向量通过 X 进行右乘列变换求和得到b\tag{8} AX=b→表示的是矩阵A的列向量通过X进行右乘列变换求和得到b(8)
Y A = c → 表示的是矩阵 A 的行向量通过 Y 进行左乘行变换求和得到 c (9) YA=c\rightarrow 表示的是矩阵A的行向量通过 Y 进行左乘行变换求和得到c\tag{9} YA=c→表示的是矩阵A的行向量通过Y进行左乘行变换求和得到c(9)
