1.简介

蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）是美国电视游戏节目《Let’s Make a Deal》中的一个问题，并以主持人 Monty Hall 命名。

蒙提霍尔问题也叫「三门问题」或「山羊汽车问题」。

假设您正在参加一个游戏节目，并且您可以选择三扇门：一扇门后面是一辆汽车；另外两扇门后面是山羊。 你选择一扇门，比如 1 号门。主人知道门后有什么，他会打开另外两扇门中是山羊的门，比如 3 号门。 然后他对你说：“你想选2号门吗？” 改变选择对你有利吗？

2.答案

应该换，因为不换选中汽车的概率是 1/3，交换后获得汽车的概率是 2/3。

下面以穷举的方式证明上面的答案。

总共有三种可能情况，每种情况的可能性均是 1/3：

• 参赛者挑汽车，主持人挑两头羊的任何一头。交换将失败。
• 参赛者挑A羊，主持人挑B羊。交换将赢得汽车。
• 参赛者挑B羊，主持人挑A羊。交换将赢得汽车。

所以选择交换获得汽车的概率是 2/3，不交换获得汽车的概率是 1/3。

或者简单的解释为，最初选择的门后是汽车的概率为 1/3，那么在剩下的两个门中，有汽车的概率是 2/3。在剩下的两个门中，排除掉一个门后，剩下的那个门后为汽车的概率依旧是 2/3，所以应该交换。

3.直觉的错误

很多人第一次遇到这个问题时，直觉上会认为汽车在剩下的两个门后面的概率均为 1/2，所以换与不换没有区别。

三门问题和三囚问题很类似，直觉上也会产生错误。

一个国家的大理寺诏狱中有甲、乙、丙三个政治犯死囚，新任皇帝决定在亲政之日特赦其中一位囚犯作为庆祝；但要在同日将另两位斩首，以正国法。皇帝抽签选出那位幸运的囚犯之后，签署了特赦令，告诉大理正卿，哪两位囚犯将要被处决，哪一位囚犯将要被赦免。但皇帝特别要求正卿，不可让死囚知晓自己即将被处死或被特赦，以免影响囚情。甲听闻了皇帝即将赦免三人中的一人，赶紧私下向正卿询问自己未来的情况，正卿却答：“奉上谕，我不能让你知道，你会被赦免或者处决。所以我只告诉你，另外两人之中，其中一人会遭处决。

甲听后非常高兴，认为现在只有自己跟乙或丙其中一人可能会被赦免，所以自己有五成的机会被赦免，甲高兴地一五一十地告诉了大理评事，评事却说：“不对，你只有三分之一的机会。”究竟何者为真呢？

“三门问题”其实跟“三囚问题”道理是一样的。“三个死囚”就是“三扇门”，“特赦令”就是“车”，“被斩首”就是“羊”。

因为特赦令是在三个死囚中产生的，所以每个死囚获得特赦令的概率各是 1/3。之所以甲认为其获得特赦的概率是 1/2，因为他认为特赦令是在排除乙丙某人后，再由皇帝选择二者其中一人特赦。但事实并非如此，皇帝是在三人中选一人，而非两人中选一人特赦。

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参考文献

Monty Hall problem - wikipedia