彻底搞懂回溯算法(例题详解)

news/2025/2/22 3:34:49/

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什么是回溯算法:

 子集问题:

子集问题II(元素可重复但不可复选): 

 组合问题:

组合问题II(元素可重复但不可复选):

排列问题:

排列问题II(元素可重复但不可复选):


什么是回溯算法:

「回溯是递归的副产品,只要有递归就会有回溯」,所以回溯法也经常和二叉树遍历,深度优先搜索混在一起,因为这两种方式都使用了递归。

详细地说:可以将回溯算法过程理解成一颗多叉树的遍历过程, 回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树,当算法搜索至解空间树的某一节点时,先利用剪枝函数判断该节点是否可行(即能得到问题的解)。如果不可行,则跳过对该节点为根的子树的搜索,逐层向其祖先节点回溯;否则,进入该子树,继续按深度优先策略搜索。

回溯问题的基本框架:


void backtrack(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {//注意i=0,i=start的区别处理节点;backtrack(路径,选择列表); // 递归  注意(i)和(i++)的区别  回溯,撤销处理结果}
}

多叉树的遍历:

与二叉树的遍历类似,但要遍历所有的子节点:

 public void traverse(TreeNode root){if(root == null){return ;}//前序遍历的位置for(Node child : root.children){traverse(child);}//后序遍历的位置}

 如果将前后续遍历的位置放到for循环里面,与上图的区别在于不遍历根节点(通过后面例题加深理解)

那么有了上面的一定了解后,我们看下例题,具体怎么使用框架

 子集问题:

问题描述:

给你一个整数数组 nums ,数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集(幂集)。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

 题目链接:78. 子集 - 力扣(LeetCode)

这是一个典型的回溯问题,首先,我们将它模拟成一颗多叉树(根节点为空):

解决这个问题的关键在于如何遍历这颗多叉树,并且子集不重复 ,在遍历的过程中,我们要将每一个节点都收录到集合中,最后返回这个集合。之后我们只需要让子集不重复就好了,这里我们可以通过设定一个变量start来记录当前走过的位置,使其不断+1来进行迭代,保证不重复,具体实现如下:

class Solution {//定义二维数组res用于存储结果List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();//定义路径数组LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>(); public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {backtrack(nums,0);return res;}void backtrack(int[] nums,int start){//添加路径数组到结果数组中res.add(new LinkedList<>(track));//for循环遍历数组nums,这里相当于遍历这颗多叉树for(int i = start;i < nums.length;i++){//做选择,将选择添加到路径数组中track.add(nums[i]);//回溯,继续向后遍历backtrack(nums,i + 1);//撤销选择,将选择从路径中删除track.removeLast();}}
}

子集问题II(元素可重复但不可复选): 

题目链接:90. 子集 II - 力扣(LeetCode)

输入输出样例:

这里我们以例一为例:为了区别两个 2 是不同元素,后面我们写作 nums = [1,2,2']

按照之前的思路画出子集的树形结构,显然,两条值相同的相邻树枝会产生重复:

这里,我们需要进行剪枝,如果一个节点有多条值相同的树枝相邻,则只遍历第一条,剩下的都剪掉,不要去遍历: 

体现在代码上,需要先进行排序,让相同的元素靠在一起,如果发现 nums[i] == nums[i-1],则跳过

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {// 先排序,让相同的元素靠在一起Arrays.sort(nums);backtrack(nums, 0);return res;}void backtrack(int[] nums, int start) {// 前序位置,每个节点的值都是一个子集,将他们收集res.add(new LinkedList<>(track));for (int i = start; i < nums.length; i++) {// 剪枝逻辑,值相同的相邻树枝,只遍历第一条if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {continue;}//选择操作track.addLast(nums[i]);//回溯backtrack(nums, i + 1);//撤销选择track.removeLast();}}
}

 组合问题:

 题目描述:

给定两个整数 n 和 k,返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

输入输出:

示例 1:

输入:n = 4, k = 2
输出:
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]

示例 2:

输入:n = 1, k = 1
输出:[[1]]

题目链接:77. 组合 - 力扣(LeetCode)

还是以 nums = [1,2,3] 为例,刚才让我们求所有子集,就是把所有节点的值都收集起来;现在我们只需要把第 2 层(根节点视为第 0 层)的节点收集起来,就是大小为 2 的所有组合

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();// 记录回溯算法的递归路径LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();// 主函数public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {backtrack(1, n, k);return res;}void backtrack(int start, int n, int k) {// base caseif (k == track.size()) {// 遍历到了第 k 层,收集当前节点的值res.add(new LinkedList<>(track));return;}// 回溯算法标准框架for (int i = start; i <= n; i++) {// 选择track.addLast(i);// 通过 start 参数控制树枝的遍历,避免产生重复的子集backtrack(i + 1, n, k);// 撤销选择track.removeLast();}}
}

组合问题II(元素可重复但不可复选):

题目描述:

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ,找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ,并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同,则两种组合是不同的。 

对于给定的输入,保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

题目链接:39. 组合总和 - 力扣(LeetCode)

上述子集问题中,我们通过变量start+1来控制树的生成,也就是剪枝,但是这题可以无限制选用一个数字,那么剪枝也就没有必要了,这里我们保持start不变(树会一直生成),只需改变base case(限制条件)就行了,同时定义一个trackSum来维护路径和:

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();// 记录回溯的路径LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();// 记录 track 中的路径和int trackSum = 0;public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {if (candidates.length == 0) {return res;}backtrack(candidates, 0, target);return res;}// 回溯算法主函数void backtrack(int[] nums, int start, int target) {// base case,找到目标和,记录结果if (trackSum == target) {res.add(new LinkedList<>(track));return;}// base case,超过目标和,停止向下遍历if (trackSum > target) {return;}// 回溯算法标准框架for (int i = start; i < nums.length; i++) {// 选择 nums[i]trackSum += nums[i];track.add(nums[i]);// 递归遍历下一层回溯树// 同一元素可重复使用,注意参数backtrack(nums, i, target);// 撤销选择 nums[i]trackSum -= nums[i];track.removeLast();}}
}

排列问题:

题目描述:给定一个不含重复数字的数组 nums ,返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

题目链接:46. 全排列 - 力扣(LeetCode) 

刚才讲的组合/子集问题使用 start 变量保证元素 nums[start] 之后只会出现 nums[start+1..] 中的元素,通过固定元素的相对位置保证不出现重复的子集。但排列问题本身就是让你穷举元素的位置,nums[i] 之后也可以出现 nums[i] 左边的元素,所以之前的那一套玩不转了,需要额外使用 used 数组来标记哪些元素还可以被选择,这就相当于剪枝的作用。将全排列问题模拟成一颗多叉树:

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();// 记录回溯算法的递归路径LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();// track 中的元素会被标记为 trueboolean[] used;/* 主函数,输入一组不重复的数字,返回它们的全排列 */public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {used = new boolean[nums.length];backtrack(nums);return res;}// 回溯算法核心函数void backtrack(int[] nums) {// base case,到达叶子节点if (track.size() == nums.length) {// 收集叶子节点上的值res.add(new LinkedList(track));return;}// 回溯算法标准框架for (int i = 0; i < nums.length; i++) {// 已经存在 track 中的元素,不能重复选择if (used[i]) {continue;}// 做选择used[i] = true;track.addLast(nums[i]);// 进入下一层回溯树backtrack(nums);// 取消选择track.removeLast();used[i] = false;}}
}

排列问题II(元素可重复但不可复选):

比如输入 nums = [1,2,3],那么这种条件下的全排列共有 3^3 = 27 种:

[[1,1,1],[1,1,2],[1,1,3],[1,2,1],[1,2,2],[1,2,3],[1,3,1],[1,3,2],[1,3,3],[2,1,1],[2,1,2],[2,1,3],[2,2,1],[2,2,2],[2,2,3],[2,3,1],[2,3,2],[2,3,3],[3,1,1],[3,1,2],[3,1,3],[3,2,1],[3,2,2],[3,2,3],[3,3,1],[3,3,2],[3,3,3]
]

标准的全排列算法利用 used 数组进行剪枝,避免重复使用同一个元素。如果允许重复使用元素的话,直接放飞自我,去除所有 used 数组的剪枝逻辑就行了

代码详解:

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> permuteRepeat(int[] nums) {backtrack(nums);return res;}// 回溯算法核心函数void backtrack(int[] nums) {// base case,到达叶子节点if (track.size() == nums.length) {// 收集叶子节点上的值res.add(new LinkedList(track));return;}// 回溯算法标准框架for (int i = 0; i < nums.length; i++) {// 做选择track.add(nums[i]);// 进入下一层回溯树backtrack(nums);// 取消选择track.removeLast();}}
}

最后总结:

回溯算法本质就是个多叉树的遍历问题,关键就是在前序遍历和后序遍历的位置做一些操作,算法框架如下:


void backtrack(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {//注意i=0,i=start的区别处理节点;backtrack(路径,选择列表); // 递归  注意(i)和(i++)的区别  回溯,撤销处理结果}
}

写 backtrack 函数时,需要维护走过的「路径」和当前可以做的「选择列表」,当触发「结束条件」时,将「路径」记入结果集。 最后返回结果集合,得到答案。

结语: 写博客不仅仅是为了分享学习经历,同时这也有利于我巩固自己的知识点,总结该知识点,由于作者水平有限,对文章有任何问题的还请指出,接受大家的批评,让我改进。同时也希望读者们不吝啬你们的点赞+关注+收藏,你们的鼓励是我创作的最大动力!


http://www.ppmy.cn/news/1368606.html

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