dx,dy是什么？

这个问题让我们从曲线的微分开始说起。

1 曲线的微分

比如，有曲线 $f(x)$ :

给出 $x\in U(x_0,\Delta x)$ 的曲线段:

要找到一个直线段来近似这个曲线段，也就是找到这个曲线段的微分：

此微分的特点是，当 $\Delta x\to 0$ 时，越来越逼近曲线段：

2 切线

这个微分其实就是切线。

2.1 最初印象

初学几何的时候，切线是这么定义的：

$与圆、椭圆交于一点的直线，称为切线$

比如这就是圆、椭圆的切线：

但是这个定义推广到所有曲线上是不成立的：

2.2 割线的极限

我们需要用极限来定义切线。比如说，要求曲线 $f(x)$ 在 $A$ 点的切线：

在 $A$ 附近找一点 $B_1$ ，过两点作直线 $B_1A$ ，这根直线也称为割线：

然后寻找 $A$ 与 $B_1$ 之间的点 $B_2$ ，作出割线 $B_2A$ ：

以此类推，找到点 $B_3,B_4,\cdots,B_n$ ，作出割线：

把这些割线组成数列：

$\{a_n\}=\{B_1A,B_2A,B_3A,\cdots,B_nA\}$

它的极限 $\lim_{n\to\infty}a_n$ 就是切线：

3 导数

刚才只是给出了切线的定义，但是还是不能把切线求出来。下面来看看怎么求。

3.1 斜率

要求 $A$ 点的切线，知道了 $A$ 点坐标为 $A=(x_0, f(x_0))$ ，以及切线的斜率：

其中 $斜率=\tan\alpha$ ，根据直线的点斜式，可求得切线函数 $g(x)$ ：

$\frac{g(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\tan\alpha\implies g(x)=\tan\alpha(x-x_0)+f(x_0)$

就可以得到切线的函数。

3.2 导数

容易有以下推论：

$切线=割线的极限\implies 切线的\color{Magenta}{斜率}=割线的\color{Magenta}{斜率}的极限$

所以来看看割线的斜率怎么求吧。假设要求 $A$ 点的切线的斜率，随便在附近找一点 $B$ 作割线：

可以看到当 $B\to A$ 的时候（这也表明了切线是割线的极限），两者斜率不断逼近：

先把割线的斜率 $\tan\beta$ 算出来，假设 $A=(x_0,f(x_0)),B=(x,f(x))$ ：

因此：

$\tan\beta=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

根据刚才的分析可知：

$切线的斜率=\tan\alpha=\lim_{B\to A}\tan\beta=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

这个极限就被称为 $\color{Salmon}{导数}$ 。

如果，不光在 $A$ 点可以作出切线，也就是不光在 $A$ 点可导，而是在某个开区间 $x\in I$ 内都可导，这就是 $\color{Salmon}{导函数}$ ：

不少教科书、文档会出现如下的符号，这里也一并引入：

定义 $D=\frac{d}{dx}$ ，称之为 $\color{Salmon}{D算子}$ ，导函数可以用之表示为：

$Df(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$

有时候写作 $D_x$ ，表明对自变量 $x$ 求导。

算子，英文为“operator”，操作的意思。

算子和函数还是很接近的，只是有以下区别：

$\begin{array}{c|c} \hline\\ \quad 函数 \quad&\quad 数到数的映射 \quad\\ \quad 算子 \quad&\quad 函数到函数的映射 \quad\\ \\\hline\end{array}$

在这里， $D$ 算子完成了如下函数之间的映射：

$f(x)\xrightarrow{\quad \color{red}{D}\quad}f'(x)$

4 切线函数与微分函数

好了，咱们有了导数，可以来求切线函数以及微分函数了。

4.1 切线函数

就切线而言，知道要经过 $A=(x_0,f(x_0))$ ，也知道斜率是导数 $f'(x_0)$ ，可以用直线的点斜式得到切线函数：

$g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

4.2 微分函数

虽然之前一直说切线就是微分，但是微分函数和切线函数有所不同，因为它们在不同的坐标系。让我们一步步来，把这个关键点说清楚。

首先令 $\Delta x=x-x_0$ ，切线函数就变为了：

$g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\implies g(x)=f'(x_0)\Delta x+f(x_0)$

然后在以 $A$ 点为原点建立直角坐标系（姑且称为微分坐标系吧）：

以 $A$ 点为原点建立的微分坐标系中有， $f(x_0)=0$ 。这样在微分坐标系中切线方程就很简单了：

$g(x)=f'(x_0)\Delta x+f(x_0)\implies h(x)=f'(x_0)\Delta x$

经过一系列操作终于得到了微分函数：

$f(x)\xrightarrow{\ D\ }f'(x)\xrightarrow{\ 点斜式\ }切线函数g(x)\xrightarrow{\ 更换坐标系\ }微分函数h(x)$

数学上把一系列操作用一个符号 $\textrm{d}$ 来表示，也可称为 $\color{Salmon}{\textrm{d}算子}$ ：

$f(x)\underbrace{\xrightarrow{\ D\ }f'(x)\xrightarrow{\ 点斜式\ }切线函数g(x)\xrightarrow{\ 更换坐标系\ }微分函数h(x)}_{\color{red}{\textrm{d}}}$

微分 $\textrm{d}$ 算子完成了下列的函数映射：

$f(x)\xrightarrow{\quad \color{red}{\textrm{d}}\quad }微分函数h(x)$

所以微分函数也写作：

$\textrm{d}y=\textrm{d}f(x)=f'(x_0)\Delta x$

表示把原函数 $y=f(x)$ 通过 $\textrm{d}$ 操作变为了微分函数 $\textrm{d}y$ ，这样也区别了微分函数和 $f(x),g(x)$ 坐标系不同。

$\Delta x=x-x_0$ ，因为 $x$ 是变量，所以 $\Delta x$ 实际上表示的是整个 $x$ 轴：

因为 $\Delta x$ 代表 $x$ 轴这根直线，而直线的微分，根据以直代曲的思想，其实就是自己，所以：

$\textrm{d}x=\Delta x$

因此，这就是微分的代数形式：

$\textrm{d}y=f'(x_0)\Delta x\implies\textrm{d}y=f'(x_0)\textrm{d}x$

切线函数和微分函数的区别在于，前者在 $xy$ 坐标系下，后者在 $\textrm{d}y\textrm{d}x$ 坐标系下：

因为微分的代数形式如上，所以导数也可以记作：

$\textrm{d}y=f'(x_0)\textrm{d}x\implies f'(x_0)=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$

所以导数也称为“微商”，即微分与微分的商。

4.3 微分的自变量、因变量

本节一直都在说，微分是函数：

$\textrm{d}y=f'(x_0)\textrm{d}x$

那么它的自变量是什么，因变量是什么？

微分函数在 $\textrm{d}y\textrm{d}x$ 坐标系下，令 $\textrm{d}y=h(x),\textrm{d}x=x$ ，换元之后就回到了 $xy$ 坐标系：

$\textrm{d}y=f'(x_0)\textrm{d}x\implies h(x)=f'(x_0)x$

可见，自变量是 $\textrm{d}x=x$ ，因变量是 $\textrm{d}y=h(x)$ 。

如果不光是求 $x_0$ 点的微分，就像导函数一样，求某个开区间的微分，那么微分函数是二元函数：

$\textrm{d}y=f'(x)\textrm{d}x\implies h(w,x)=f'(w)x$

4.4 微分是线性函数

虽然两者都是直线，但因为所在坐标系不同，所以切线函数和微分函数有一个重大的区别：

这个区别说明：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad\quad&\quad线性函数\quad\\ \hline \\ \quad \color{blue}{切线函数} \quad&\quad ☓\quad\\ \quad \color{orange}{微分函数} \quad&\quad \checkmark\quad\\ \\\hline\end{array}$

根据微分是线性函数这点，我们可以很方便地运用线性代数的知识来求解法线函数。

4.5 法线函数

在切点与切线垂直的直线就是法线：

放在 $\textrm{d}y\textrm{d}x$ 坐标系中，随便找到切线方向、法线方向两个向量：

即（t代表tangent，n代表normal，分别是英文的切线和法线）：

$\boldsymbol{t}=\begin{pmatrix}1\\f'(x_0)\end{pmatrix}\quad\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}-1\\N\end{pmatrix}$

根据线性代数的知识，知道两个正交向量点积为0，因此：

$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}1\\f'(x_0)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\N\end{pmatrix}=0\implies -1+f'(x_0)N=0\implies N=\frac{1}{f'(x_0)}$