【每日一道智力题】之轮流取石子(简单的尼姆博弈）

news/2025/2/28 7:01:35/

题目：

一共有N颗石子（或者其他乱七八糟的东西），每次最多取M颗最少取1颗，A，B轮流取，谁最后会获胜？（假设他们每次都取最优解）。

解答：

结论：

假如A先取，N<M，A获胜；

　　　　　 N>M，若N能被（M + 1）整除时，A失败；

　　　　　　　　若N不能被（M + 1）整除时，A获胜；

假如B先取，（同上）；

分析：（以A先手为例）

N<M时，A一次拿完（不可能给B留机会，前提就是每次取最优），不会给B留机会；

N>M时，A要想赢，必须要在自己倒数第二次取完的时候还剩下（M + 1）颗石子（此时A和B还可以再取一次就可以分出胜负游戏就结束了），这样不论B取几颗，A都获胜！但是要怎样才能控制最后一轮的石子数量？

分两种情况分析，

N不能被（M + 1）整除，A先拿走n颗石子就可以使得剩下的石子数量是（M + 1）的整数倍，那么下一次B拿走任意k颗石子时，A就拿走（M + 1）- k颗石子。这样不论B怎么拿A总能控制剩下的石子数量是（M + 1）的整数倍，那么最后一轮一定剩下（M + 1）颗石子；

N能被（M + 1）整除，A就认输吧。。。（B除非傻才会让A赢）无论A怎么拿，B可以控制石子数量（即当B拿完后总能使剩下的石子数量是（M + 1）的整数倍)，在最后一轮之前B拿完后还剩（M + 1）颗，A拿多少颗都是输。

实际上，这就仅仅是运用了小学数学：余数永远比除数小这个特点

分析完了之后，我们就拿长安大学ACM的一道题来练练手吧！

问题描述：

学校会每周来检查一次宿舍，一般情况大多宿舍都是轮流安排值日。但是在1205宿舍，Alex想玩点「新花样」，他对Bob说：咱们来玩一个游戏吧，输了那个人去值日。
游戏规则是这样的：一开始有n个石子，Alex和Bob两个人轮流取石子，每次至少取一个至多取m个。取到最后一个石子的人获胜，也就是最后不能取的那个人输。
假设两个人都非常聪明，每次做出的都是最优选择。最开始Alex先取，问哪个人最终能获胜。
输入
输入第一行为一个整数T，表示一共有T组数据。接下来有T行，每行有两个整数n(1 ≤ n ≤ 109)和m(1 ≤ m ≤ 109)，中间用一个空格隔开。
输出
对于每组数据输出游戏最终获胜者的名字。
样例输入

3 7 3 5 4
样例输出
Alex Bob

下面我们就用c语言来实现这个代码：

#include<stdio.h>
int main()
{int T=0;int n,m;scanf("%d",&T);int i=0;for(i=0;i<T;i++){scanf("%d %d",&n,&m);if(m>n||n%(m+1)!=0){printf("Alex\n");}else{printf("Bob\n");}}}

结果：