K-Means 一维数据计算示例 数据样本 及 初始值

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1 . 数据集样本 : $14$ 个人 , 根据其年龄 , 将数据集分成 $3$ 组 ;

2 . 选定初始的中心值 : $1$ , $20$ , $40$ ;

K-Means 一维数据 距离计算方式

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1 . 距离公式选择 : 一维数据 直接使用 曼哈顿距离 计算即可 , 二维数据 需要使用 欧几里得距离 计算 ;

2 . 曼哈顿距离 : 这里直接使用曼哈顿距离 , 即样本值 , 直接相减得到的值取绝对值 , 就是曼哈顿距离 ;

K-Means 算法 步骤

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K-Means 算法 步骤 : 给定数据集 $X$ , 该数据集有 $n$ 个样本 , 将其分成 $K$ 个聚类 ;

① 中心点初始化 : 为 $K$ 个聚类分组选择初始的中心点 , 这些中心点称为 Means ; 可以依据经验 , 也可以随意选择 ;

② 计算距离 : 计算 $n$ 个对象与 $K$ 个中心点 的距离 ; ( 共计算 $n\times K$ 次 )

③ 聚类分组 : 每个对象与 $K$ 个中心点的值已计算出 , 将每个对象分配给距离其最近的中心点对应的聚类 ;

④ 计算中心点 : 根据聚类分组中的样本 , 计算每个聚类的中心点 ;

⑤ 迭代直至收敛 : 迭代执行 ② ③ ④ 步骤 , 直到 聚类算法收敛 , 即 中心点 和 分组 经过多少次迭代都不再改变 , 也就是本次计算的中心点与上一次的中心点一样 ;

第一次迭代 : 步骤 ( 1 ) 计算距离

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计算 $14$ 个样本 与 $3$ 个中心点的距离 :

① 表格含义 : 如下 $P_1$ 与 $C_1$ 对应的表格位置值是 $P_1$ 样本 与 $C_1$ 中心点的曼哈顿距离 , 即 两个值相减取绝对值 ;

② 计算方式 : 计算 $P_i$ 与 $C_j$ 之间的距离 , 直接将两个数值相减取平均值即可 ; $i$ 取值范围 , { 1 , 2 , ⋯ , 14 } \{1 , 2 , \cdots , 14\} {1,2,⋯,14} , $j$ 的取值范围 { 1 , 2 , 3 } \{1 , 2, 3\} {1,2,3} ;

③ 计算示例 : 如 $P_3$ 样本 与 $C_2$ 中心点的距离计算 , $P_3$ 样本的年龄属性值是 $5$ , $C_2$ 中心点值为 $20$ ; $d(P_3,C_2)$ 表示两个点之间的距离 ;

$$d(P_3,C_2)=|5-20|=15$$

下表中的 $P_3$ 行 $C_2$ 列对应的值是 $15$ , 即上面计算出来的距离值 ;

	年龄
聚类		$C_1$	$C_2$	$C_3$
中心值		$1$	$20$	$40$
$P_1$	$1$	$0$	$19$	$39$
$P_2$	$3$	$2$	$17$	$37$
$P_3$	$5$	$4$	$15$	$35$
$P_4$	$8$	$7$	$12$	$32$
$P_5$	$9$	$8$	$11$	$31$
$P_6$	$11$	$10$	$9$	$29$
$P_7$	$12$	$11$	$8$	$28$
$P_8$	$13$	$12$	$7$	$27$
$P_9$	$37$	$36$	$17$	$3$
$P_{10}$	$43$	$42$	$23$	$3$
$P_{11}$	$45$	$44$	$25$	$5$
$P_{12}$	$49$	$48$	$29$	$9$
$P_{13}$	$51$	$50$	$31$	$11$
$P_{14}$	$65$	$64$	$45$	$25$

第一次迭代 : 步骤 ( 2 ) 聚类分组

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1 . 为 { P 1 , P 2 , ⋯ , P 14 } \{P_1 , P_2, \cdots , P_{14}\} {P1​,P2​,⋯,P14​} 这 $14$ 个样本分组 :

$P_1$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $0$ , $P_1$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_2$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $2$ , $P_2$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_3$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $4$ , $P_3$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_4$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $7$ , $P_4$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_5$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $8$ , $P_5$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;

$P_6$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $9$ , $P_6$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;
$P_7$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $8$ , $P_7$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;
$P_8$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $7$ , $P_8$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;

$P_9$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_9$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{10}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_{10}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{11}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $5$ , $P_{11}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{12}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $9$ , $P_{12}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{13}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $11$ , $P_{13}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{14}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $25$ , $P_{14}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;

2 . 当前分组依据的中心点 : { 1 , 20 , 40 } \{1 , 20 , 40\} {1,20,40}

3 . 当前分组结果 :

K 1 = { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 } K_1 = \{ P_{1} , P_{2} , P_{3} , P_{4} , P_{5} \} K1​={P1​,P2​,P3​,P4​,P5​}

K 2 = { P 6 , P 7 , P 8 } K_2 = \{ P_{6} , P_{7} , P_{8} \} K2​={P6​,P7​,P8​}

K 3 = { P 9 , P 10 , P 11 , P 12 , P 13 , P 14 } K_3 = \{ P_{9} , P_{10} , P_{11} , P_{12} , P_{13} , P_{14} \} K3​={P9​,P10​,P11​,P12​,P13​,P14​}

第一次迭代 : 步骤 ( 3 ) 计算中心值

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根据新的聚类分组计算新的中心值 :

① 计算 $K_1$ 分组的中心值 : K 1 = { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 } K_1 = \{ P_{1} , P_{2} , P_{3} , P_{4} , P_{5} \} K1​={P1​,P2​,P3​,P4​,P5​} , 计算过程如下 :

$$C_1=\frac{1+3+5+8+9}{5}=5$$

② 计算 $K_2$ 分组的中心值 : K 2 = { P 6 , P 7 , P 8 } K_2 = \{ P_{6} , P_{7} , P_{8} \} K2​={P6​,P7​,P8​} , 计算过程如下 :

$$C_2=\frac{11+12+13}{3}=12$$

③ 计算 $K_3$ 分组的中心值 : K 3 = { P 9 , P 10 , P 11 , P 12 , P 13 , P 14 } K_3 = \{ P_{9} , P_{10} , P_{11} , P_{12} , P_{13} , P_{14} \} K3​={P9​,P10​,P11​,P12​,P13​,P14​} , 计算过程如下 :

$$C_3=\frac{37+43+45+49+51+65}{6}=48$$

最新计算出的 $C_1,C_2,C_3$ 中心点是 { 5 , 12 , 48 } \{5 , 12 , 48\} {5,12,48}

第二次迭代 : 步骤 ( 1 ) 计算距离

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计算 $14$ 个样本 与 $3$ 个中心点的距离 :

① 表格含义 : 如下 $P_1$ 与 $C_1$ 对应的表格位置值是 $P_1$ 样本 与 $C_1$ 中心点的曼哈顿距离 , 即 两个值相减取绝对值 ;

② 计算方式 : 计算 $P_i$ 与 $C_j$ 之间的距离 , 直接将两个数值相减取平均值即可 ; $i$ 取值范围 , { 1 , 2 , ⋯ , 14 } \{1 , 2 , \cdots , 14\} {1,2,⋯,14} , $j$ 的取值范围 { 1 , 2 , 3 } \{1 , 2, 3\} {1,2,3} ;

③ 计算示例 : 如 $P_3$ 样本 与 $C_2$ 中心点的距离计算 , $P_3$ 样本的年龄属性值是 $5$ , $C_2$ 中心点值为 $12$ ; $d(P_3,C_2)$ 表示两个点之间的距离 ;

$$d(P_3,C_2)=|5-12|=7$$

下表中的 $P_3$ 行 $C_2$ 列对应的值是 $7$ , 即上面计算出来的距离值 ;

	年龄
聚类		$C_1$	$C_2$	$C_3$
中心值		$5$	$12$	$48$
$P_1$	$1$	$4$	$11$	$47$
$P_2$	$3$	$2$	$9$	$45$
$P_3$	$5$	$0$	$7$	$43$
$P_4$	$8$	$3$	$4$	$40$
$P_5$	$9$	$4$	$3$	$39$
$P_6$	$11$	$6$	$1$	$37$
$P_7$	$12$	$7$	$0$	$36$
$P_8$	$13$	$8$	$1$	$35$
$P_9$	$37$	$25$	$17$	$11$
$P_{10}$	$43$	$38$	$31$	$5$
$P_{11}$	$45$	$40$	$33$	$3$
$P_{12}$	$49$	$44$	$37$	$1$
$P_{13}$	$51$	$46$	$39$	$3$
$P_{14}$	$65$	$60$	$53$	$17$

第二次迭代 : 步骤 ( 2 ) 聚类分组

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1 . 为 { P 1 , P 2 , ⋯ , P 14 } \{P_1 , P_2, \cdots , P_{14}\} {P1​,P2​,⋯,P14​} 这 $14$ 个样本分组 :

$P_1$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $4$ , $P_1$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_2$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $2$ , $P_2$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_3$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $0$ , $P_3$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_4$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_4$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;

$P_5$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_5$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_6$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_6$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;
$P_7$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $0$ , $P_7$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;
$P_8$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_8$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;

$P_9$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $11$ , $P_9$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{10}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $5$ , $P_{10}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{11}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_{11}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{12}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_{12}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{13}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_{13}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{14}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $17$ , $P_{14}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;

2 . 当前分组依据的中心点 : { 5 , 12 , 48 } \{5 , 12 , 48\} {5,12,48}

3 . 当前分组结果 :

K 1 = { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } K_1 = \{ P_{1} , P_{2} , P_{3} , P_{4} \} K1​={P1​,P2​,P3​,P4​}

K 2 = { P 5 , P 6 , P 7 , P 8 } K_2 = \{ P_{5} , P_{6} , P_{7} , P_{8} \} K2​={P5​,P6​,P7​,P8​}

K 3 = { P 9 , P 10 , P 11 , P 12 , P 13 , P 14 } K_3 = \{ P_{9} , P_{10} , P_{11} , P_{12} , P_{13} , P_{14} \} K3​={P9​,P10​,P11​,P12​,P13​,P14​}

第二次迭代 : 步骤 ( 3 ) 计算中心值

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根据新的聚类分组计算新的中心值 :

① 计算 $K_1$ 分组的中心值 : K 1 = { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } K_1 = \{ P_{1} , P_{2} , P_{3} , P_{4} \} K1​={P1​,P2​,P3​,P4​} , 计算过程如下 :

$$C_1=\frac{1+3+5+8}{4}=4$$

② 计算 $K_2$ 分组的中心值 : K 2 = { P 5 , P 6 , P 7 , P 8 } K_2 = \{ P_{5} , P_{6} , P_{7} , P_{8} \} K2​={P5​,P6​,P7​,P8​}, 计算过程如下 :

$$C_2=\frac{9+11+12+13}{4}=11$$

③ 计算 $K_3$ 分组的中心值 : K 3 = { P 9 , P 10 , P 11 , P 12 , P 13 , P 14 } K_3 = \{ P_{9} , P_{10} , P_{11} , P_{12} , P_{13} , P_{14} \} K3​={P9​,P10​,P11​,P12​,P13​,P14​} , 计算过程如下 : ( 与上次对比没有变化 )

$$C_3=\frac{37+43+45+49+51+65}{6}=48$$

最新计算出的 $C_1,C_2,C_3$ 中心点是 { 4 , 11 , 48 } \{4 , 11 , 48\} {4,11,48}

第三次迭代 : 步骤 ( 1 ) 计算距离

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计算 $14$ 个样本 与 $3$ 个中心点的距离 :

① 表格含义 : 如下 $P_1$ 与 $C_1$ 对应的表格位置值是 $P_1$ 样本 与 $C_1$ 中心点的曼哈顿距离 , 即 两个值相减取绝对值 ;

② 计算方式 : 计算 $P_i$ 与 $C_j$ 之间的距离 , 直接将两个数值相减取平均值即可 ; $i$ 取值范围 , { 1 , 2 , ⋯ , 14 } \{1 , 2 , \cdots , 14\} {1,2,⋯,14} , $j$ 的取值范围 { 1 , 2 , 3 } \{1 , 2, 3\} {1,2,3} ;

③ 计算示例 : 如 $P_3$ 样本 与 $C_2$ 中心点的距离计算 , $P_3$ 样本的年龄属性值是 $5$ , $C_2$ 中心点值为 $11$ ; $d(P_3,C_2)$ 表示两个点之间的距离 ;

$$d(P_3,C_2)=|5-11|=6$$

下表中的 $P_3$ 行 $C_2$ 列对应的值是 $6$ , 即上面计算出来的距离值 ;

	年龄
聚类		$C_1$	$C_2$	$C_3$
中心值		$4$	$11$	$48$
$P_1$	$1$	$3$	$10$	$47$
$P_2$	$3$	$1$	$8$	$45$
$P_3$	$5$	$1$	$6$	$43$
$P_4$	$8$	$4$	$3$	$40$
$P_5$	$9$	$5$	$2$	$39$
$P_6$	$11$	$7$	$0$	$37$
$P_7$	$12$	$8$	$1$	$36$
$P_8$	$13$	$9$	$2$	$35$
$P_9$	$37$	$33$	$26$	$11$
$P_{10}$	$43$	$39$	$32$	$5$
$P_{11}$	$45$	$41$	$34$	$3$
$P_{12}$	$49$	$45$	$38$	$1$
$P_{13}$	$51$	$47$	$40$	$3$
$P_{14}$	$65$	$61$	$54$	$17$

第三次迭代 : 步骤 ( 2 ) 聚类分组

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1 . 为 { P 1 , P 2 , ⋯ , P 14 } \{P_1 , P_2, \cdots , P_{14}\} {P1​,P2​,⋯,P14​} 这 $14$ 个样本分组 :

$P_1$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_1$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_2$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_2$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_3$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_3$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;

$P_4$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_4$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_5$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $2$ , $P_5$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_6$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $0$ , $P_6$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;
$P_7$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_7$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;
$P_8$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $2$ , $P_8$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;

$P_9$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $11$ , $P_9$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{10}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $5$ , $P_{10}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{11}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_{11}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{12}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_{12}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{13}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_{13}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{14}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $17$ , $P_{14}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;

2 . 当前分组依据的中心点 : { 4 , 11 , 48 } \{4 , 11 , 48\} {4,11,48}

3 . 当前分组结果 :

K 1 = { P 1 , P 2 , P 3 } K_1 = \{ P_{1} , P_{2} , P_{3} \} K1​={P1​,P2​,P3​}

K 2 = { P 4 , P 5 , P 6 , P 7 , P 8 } K_2 = \{ P_{4} , P_{5} , P_{6} , P_{7} , P_{8} \} K2​={P4​,P5​,P6​,P7​,P8​}

K 3 = { P 9 , P 10 , P 11 , P 12 , P 13 , P 14 } K_3 = \{ P_{9} , P_{10} , P_{11} , P_{12} , P_{13} , P_{14} \} K3​={P9​,P10​,P11​,P12​,P13​,P14​}

第三次迭代 : 步骤 ( 3 ) 计算中心值

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根据新的聚类分组计算新的中心值 :

① 计算 $K_1$ 分组的中心值 : K 1 = { P 1 , P 2 , P 3 } K_1 = \{ P_{1} , P_{2} , P_{3} \} K1​={P1​,P2​,P3​} , 计算过程如下 :

$$C_1=\frac{1+3+5}{3}=3$$

② 计算 $K_2$ 分组的中心值 : K 2 = { P 4 , P 5 , P 6 , P 7 , P 8 } K_2 = \{ P_{4} , P_{5} , P_{6} , P_{7} , P_{8} \} K2​={P4​,P5​,P6​,P7​,P8​}, 计算过程如下 :

$$C_2=\frac{8+9+11+12+13}{5}=10$$

③ 计算 $K_3$ 分组的中心值 : K 3 = { P 9 , P 10 , P 11 , P 12 , P 13 , P 14 } K_3 = \{ P_{9} , P_{10} , P_{11} , P_{12} , P_{13} , P_{14} \} K3​={P9​,P10​,P11​,P12​,P13​,P14​} , 计算过程如下 : ( 与上次对比没有变化 )

$$C_3=\frac{37+43+45+49+51+65}{6}=48$$

最新计算出的 $C_1,C_2,C_3$ 中心点是 { 3 , 10 , 48 } \{3 , 10 , 48\} {3,10,48}

第四次迭代 : 步骤 ( 1 ) 计算距离

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计算 $14$ 个样本 与 $3$ 个中心点的距离 :

① 表格含义 : 如下 $P_1$ 与 $C_1$ 对应的表格位置值是 $P_1$ 样本 与 $C_1$ 中心点的曼哈顿距离 , 即 两个值相减取绝对值 ;

② 计算方式 : 计算 $P_i$ 与 $C_j$ 之间的距离 , 直接将两个数值相减取平均值即可 ; $i$ 取值范围 , { 1 , 2 , ⋯ , 14 } \{1 , 2 , \cdots , 14\} {1,2,⋯,14} , $j$ 的取值范围 { 1 , 2 , 3 } \{1 , 2, 3\} {1,2,3} ;

③ 计算示例 : 如 $P_3$ 样本 与 $C_2$ 中心点的距离计算 , $P_3$ 样本的年龄属性值是 $5$ , $C_2$ 中心点值为 $10$ ; $d(P_3,C_2)$ 表示两个点之间的距离 ;

$$d(P_2,C_3)=|5-10|=5$$

下表中的 $P_3$ 行 $C_2$ 列对应的值是 $5$ , 即上面计算出来的距离值 ;

	年龄
聚类		$C_1$	$C_2$	$C_3$
中心值		$3$	$10$	$48$
$P_1$	$1$	$2$	$9$	$47$
$P_2$	$3$	$0$	$7$	$45$
$P_3$	$5$	$2$	$5$	$43$
$P_4$	$8$	$5$	$2$	$40$
$P_5$	$9$	$6$	$1$	$39$
$P_6$	$11$	$8$	$1$	$37$
$P_7$	$12$	$9$	$2$	$36$
$P_8$	$13$	$10$	$3$	$35$
$P_9$	$37$	$34$	$27$	$11$
$P_{10}$	$43$	$40$	$33$	$5$
$P_{11}$	$45$	$42$	$35$	$3$
$P_{12}$	$49$	$46$	$39$	$1$
$P_{13}$	$51$	$48$	$41$	$3$
$P_{14}$	$65$	$62$	$55$	$17$

第四次迭代 : 步骤 ( 2 ) 聚类分组

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1 . 为 { P 1 , P 2 , ⋯ , P 14 } \{P_1 , P_2, \cdots , P_{14}\} {P1​,P2​,⋯,P14​} 这 $14$ 个样本分组 :

$P_1$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $2$ , $P_1$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_2$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $0$ , $P_2$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_3$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_1$ 距离最近 , 距离是 $2$ , $P_3$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;

$P_4$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $2$ , $P_4$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_5$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_5$ 样本 分组到 $K_1$ 组 ;
$P_6$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_6$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;
$P_7$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $2$ , $P_7$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;
$P_8$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_2$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_8$ 样本 分组到 $K_2$ 组 ;

$P_9$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $11$ , $P_9$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{10}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $5$ , $P_{10}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{11}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_{11}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{12}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $1$ , $P_{12}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{13}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $3$ , $P_{13}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;
$P_{14}$ 与 { C 1 , C 2 , C 3 } \{C_1, C_2, C_3\} {C1​,C2​,C3​} 三个中心点中的 $C_3$ 距离最近 , 距离是 $17$ , $P_{14}$ 样本 分组到 $K_3$ 组 ;

2 . 当前分组依据的中心点 : { 3 , 10 , 48 } \{3 , 10 , 48\} {3,10,48}

3 . 当前分组结果 :

K 1 = { P 1 , P 2 , P 3 } K_1 = \{ P_{1} , P_{2} , P_{3} \} K1​={P1​,P2​,P3​}

K 2 = { P 4 , P 5 , P 6 , P 7 , P 8 } K_2 = \{ P_{4} , P_{5} , P_{6} , P_{7} , P_{8} \} K2​={P4​,P5​,P6​,P7​,P8​}

K 3 = { P 9 , P 10 , P 11 , P 12 , P 13 , P 14 } K_3 = \{ P_{9} , P_{10} , P_{11} , P_{12} , P_{13} , P_{14} \} K3​={P9​,P10​,P11​,P12​,P13​,P14​}

本次分组与上一次分组没有变化 , 说明聚类算法已经收敛 , 该结果就是聚类最终结果 ;