概率论相关题型

news/2024/12/19 23:18:15/

文章目录

  • 概率论的基本概念
    • 放杯子问题
    • 条件概率与重要公式的结合
    • 独立的运用
  • 随机变量以及分布
    • 离散随机变量的分布函数特点
    • 连续随机变量的分布函数在某一点的值为0
    • 正态分布标准化
    • 随机变量函数的分布
  • 多维随机变量以及分布
    • 条件概率
    • max 与 min 函数的相关计算
    • 二维随机变量
    • 二维随机变量求边缘概率密度
    • 独立性
    • Z = X + Y
    • max{X,Y}
    • 离散二维随机变量的条件概率以及max 与min
  • 随机变量的数字特征

概率论的基本概念

  • 1.互斥事件(互不相容)与对立事件:A 与 B 的交集为空集,A 和 B 不可能同时发生,区别于对立事件(在互斥事件的基础上,A 和 B 的和为全集)
  • 对于互斥事件有 P(A + B + C ··· + Z) = P(A) + P(B) + P( C) + ··· + P(Z)
  • 对于一般的不是互斥,P(A+B) = P(A) + P(B ) - P(AB)这里不是P(A)*P(B) ,三个变量
    P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P© -P(AB) -P(AC) -P(BC) +P(ABC)
  • 古典概型,条件概率,三个重要的公式:乘法公式,全概率公式(化整为零),贝叶斯公式(利用先验概率求后验概率)
  • 事件的独立性:P(AB) = P(A)P(B) ,三个事件的独立性要有四个式子成立------> n 各事件相互独立,则任意的2到n-1 的事件都相互独立,替换成对立事件也是成立的
  • P(AB) = P(A) - P(AB非) 这个式子通过包含关系直接推出

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  • 为什么分母不使用12*11*10 ,分析,使用这个的话要注意 ,其实这个是A(3,10),那么就是讲究顺序的了,由于筛选是最终的结果,是不讲究顺序的,只能用C(3,10)

放杯子问题

  • 将三个小球放进4各杯子,问杯中的最大小球个数分别为1,2,3的概率

站在小球的角度,选择杯子

  • 对于1:那么就是432 / 444
  • 对于3 :就是C(1,4) / 444
  • 对于2: 就是1 - P(1) - P(3)

条件概率与重要公式的结合

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  • 可能一开始对于 求P(A2) 没有什么思路,搞不清楚应该怎么算,这时可以考虑用全概率公式

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独立的运用

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随机变量以及分布

  • 注意区分离散型随机变量:二项分布,(0-1)分布,泊松分布,注意对它们分布列以及分布函数的求解(端点值?)
  • 连续随机变量:均匀分布,指数分布,正态分布
  • 指数分布是没有记忆性的P{X>s+t|X>s} = P{X>t}
  • 二项分布的趋近为(np)泊松分布和正态分布
  • 正态分布在u= 0 ,方差为1 时称为标准的正态分布

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离散随机变量的分布函数特点

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  • 注意离散型随机变量的分布律与分布函数的关系

连续随机变量的分布函数在某一点的值为0

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正态分布标准化

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  • 注意对带有绝对值的转换,以及带有负数的转换

随机变量函数的分布

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  • 对于函数是单调的话,可以使用公式法快速求解,如果不是单调的话,就按照定义一步步求解
  • 注意开始计算的时候,要提前确定好,Y 的范围,是否直接大于0,还是什么范围

多维随机变量以及分布

  • 边缘分布:其中 Z = X + Y ,所得到的z 的边缘分布被称为卷积公式
  • 对于 M =max{X,Y} 与 N = min{X,Y} 的分布函数的求法,其中X,Y 相互独立,且各自的分布函数Fx(x) 与 Fy(y) 那么有 F max(z) = Fx(x) * Fy(y) Fmin(z) = 1- (1-Fx(x))*(1-Fy(y))
    对于上面的情况可以推广到 n 各相互独立的随机变量 ,都可以成立
  • 最主要的是要分清,到底式子的形式是概率密度还是分布函数

条件概率

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max 与 min 函数的相关计算

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  • 0.84 0.16

二维随机变量

  • 对于开始的未知数的求解:分布函数的整体为1
  • (1)对于X,Y 的确切的值的,就在相对应的面积范围内求解
  • (2)对于边缘分布的,一方为给出的范围,另一方则为全部范围
  • (3)像下面的第四题,其实的真正的目的,就是给x,y 一个更加具体的一个范围进行求解

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二维随机变量求边缘概率密度

  • 以下面的第二问为例子:当你求x 的边缘概率密度时,你要把x 当作一个已经已知范围的一个常量,实际上y 才是你的变量,这就好比你其实是在求一条线(每当x 确定的时候),所以在求积分的上下限的时候,这时得到的应该是变量y 关于 x 的范围 , 也就是[x^2 , 1] ,当你求y 的概率密度的时候,y 就变成了常量,积分的上下限应该是变量x 关于常量 y 的一个范围,也就是[ - 根号 y, 根号y ]

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独立性

  • 对于独立性的证明,就按照定义来即可,分布函数或者概率密度都可以

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  • 简单的分析:由一开始的独立性,得出f(x,y),对于后面的z ,其实 z 的取值范围已经给出,所谓的求分布律就是让你求相对应的概率,这个概率也就是f(x,y) 相对应的概率

Z = X + Y

  • 卷积的两种方法都是等价的,不过下面的第一种方法相对来说更加简单,计算以及运算的过程在于你的选择
  • 利用公式来求,同样地,与求边缘概率密度一样,这里将z 看成常量,x 和 y 是看成以 z 为变量的一个函数,有时候是要进行分段进行一个计算
  • 并不建议一个大括号直接运算完成,而是以z 的范围作为分隔,一个个进行计算

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max{X,Y}

  • 注意最后的时候的变量都替换成u 了

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离散二维随机变量的条件概率以及max 与min

  • 在离散随机变量中,条件概率的理解 p{X = 2| Y = 2} 由于是在Y = 2 的条件下,那么就要将Y = 2 的全部情况算进去(不止一个x) ,但是X = 2 的话,就只是一个x ,同理是可以类推到连续的随机变量的
  • 对于离散型的max 与min 的话,不如直接列举进行一个计算,连续型才用公式
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随机变量的数字特征

  • (1) 懂得离散型随机变量与连续型随机变量的期望的求法
  • (2)随机变量的函数的数学期望:对于离散型,直接将每个取值代入函数,得到新的取值,再和相对应的概率相乘再相加即可;对于连续型随机变量,直接对g(x)f(x) 进行积分 ,(区别于f(x) 自身的期望, xf(x) 的积分
  • (3)对于二维的随机变量:对于离散型,就是相对应的取值乘概率后相加;对于连续型就变成 对g(x,y)f(x,y) 的一个求积分的过程
  • (4) 注意期望的相关计算的公式:E(x+y) = E(x) + E(y) (减号也是一样) E(XY) = E(X)E(Y) 当X,Y 相互独立的时候成立 (这两个公式均可以推广)
  • (5)方差 D(x) = E{[X-E(X)]^2} ,就是每一个取值与期望的差的平方的期望,它的算数平方根为均方差
    当计算离散随机变量的时候,[X-E(X)]^2 乘相对应的概率再求和即可; 连续型的时候 [X-E(X)] ^2 乘f(x) 的积分
  • 由于计算方差难度问题,常常用 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 来计算
  • 方差的相关性质:常数的方差为0, D(cX) = c^2 D(X) D(C+ X) = D(X)
    D(X+Y ) = D(X) + D(Y) + 2E{(X-E(x))(Y-E(y))}
    D(X-Y ) = D(X) + D(Y) - 2E{(X-E(x))(Y-E(y))}
    当X ,Y 相互独立的时候,D(X+Y) = D(X-Y) = D(X) + D(Y)
  • 标准化的随机变量,就是 X- E(X) / 均方差
  • 协方差 Cov(X,Y) = E{(X-E(x))(Y-E(y))} 相关系数 = Cov(X,Y) /X 的均方差乘Y的均方差
  • 协方差可以写成 Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
  • 协方差的相关性质 Cov(aX,bY) = abCov(X,Y) Cov(X1+X2,Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2+Y)
  • 相关系数 = 0 时,称为X 与 Y 不相关(就是X 与 Y 没有线性关系,但是可能会存在其他的关系)
  • 相互独立可以推出不相关,但是不相关推不出相互独立, 不相关 与 相关系数 = 0,Cov(X,Y) =0 E(XY) = E(X)E(Y)
  • 对于二维正态随机变量的相互独立与不相关的条件是相互等价的
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  • 矩、协方差矩:分清k 阶原点矩,k 阶中心距,k+l 阶混合矩 k + l 阶混合中心矩

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  • 切比雪夫不等式给出了再随机变量X 的分布未知,只知道E(X) 与D(X) 的情况下,对E{|X-E(X)|<=m} 概率的下限的估计

http://www.ppmy.cn/news/1284983.html

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