动态规划
一、一维数组:斐波那契数列
-
爬楼梯70简单
dp定义: dp[i]表示爬到第i阶有多少种不同的方式
状态转移方程: dp[i] = dp[i-1] + dp[i-1] (每次可以爬1或2个台阶)
边界条件: dp[0] = 1; dp[1] = 1;(满足dp[2] = 2)
返回值: dp[n],即通过累积,dp[n]为爬到第n阶台阶的方式
改进: 因为dp只使用了前两个值,所以使用两个变量存储两个值,不断迭代更新。——试过之后与原dp数组相比改进不大,可能是因为题中n的值比较小,如果n的值较大的话,会节省空间开销。
-
打家劫舍198中等
dp定义: dp[i]表示打劫到第i间房屋能偷窃到的最高金额
状态转移方程: dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + 第i间房屋的金额)
边界条件: dp[0] = 0; dp[1] = nums[0]; (后续 要计算dp[i-2])
返回值: dp[n],即打劫到第n间房屋能偷窃到的最高金额
改进: 同样可以缩小空间开销,在数组够长的时候可以进行节省。
-
打家劫舍Ⅱ213中等
该题在上一题的基础上加了一个限制条件,房屋是环形,也就是在偷了第一间房的情况下不能偷最后一间;偷了最后一间的情况下不能偷第一间!! 所以分为两种情况,从第1间到第n-1间,从第2间到第n间。
dp定义: dp[i]表示打劫到第i间房屋能偷窃到的最高金额
状态转移方程: dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + 第i间房屋的金额)
边界条件: 只有一间房屋,返回该房屋的金额;只有两间房屋,返回两间房屋中金额最大的;超过两间,根据特殊情况分别计算抢劫第1间房屋和最后一间房屋两种情况下能获取到的最高金额,将其返回。
返回值: 盗窃金额最高的情况
改进: 节省空间开销
总结:以上情况均使用了一维dp数组,且状态转移方程与数组的前几个数有关,可以使用变量存储,节省空间开销。关键对dp[i]的定义明确,状态转移方程确定好,在这种情况下再对边界情况进行特殊考虑。
二、二维数组:矩阵路径
-
矩阵的最小路径和64中等
dp定义: dp[i][j]表示移动到[i][j]位置的时候路径上的数字和最小
状态转移方程: dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + [i][j]位置的数字, dp[i][j-1] + [i][j]位置的数字)
边界条件: 第一行+[i][j-1], 第一列+[i-1][j]
返回值: dp[m][n]
题目:给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。说明:每次只能向下或者向右移动一步。 输入:grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出:7 解释:因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。 示例 2:输入:grid = [[1,2,3],[4,5,6]] 输出:12
class Solution { public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {int raw = grid.size();int col = grid[0].size();vector<vector<int>> dp(raw, vector<int>(col, 0));dp[0][0] = grid[0][0];for (int j = 1; j < col; j++) {dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];}for (int i = 1; i < raw; i++) {dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];}// 遍历for (int i = 1; i < raw; i++) {for (int j = 1; j < col; j++) {dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];}}return dp[raw-1][col-1];} };
改进: 空间优化,相当于对矩阵进行了压缩
class Solution { public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {int raw = grid.size();int col = grid[0].size();vector<int> dp(col);// 初始化dp[0] = grid[0][0];for (int i = 1; i < col; i++) {dp[i] = dp[i-1] + grid[0][i];}for (int i = 1; i < raw; i++) {dp[0] = dp[0] + grid[i][0];for (int j = 1; j < col; j++) {dp[j] = min(dp[j-1] + grid[i][j], dp[j] + grid[i][j]);}}return dp[col-1];} };
-
不同路径62中等
dp定义: dp[i][j]表示到[i][j]位置的路径总数
状态转移方程: dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
边界条件: dp[0][j] = 1; dp[i][0] = 1
返回值: dp[m-1][n-1]
改进: 和上一题一样的思路
三、数组区间
-
数组区间和303简单
dp定义: dp[i]表示从0-i的元素和
状态转移方程: dp[i] = dp[i-1] + nums[i]
边界条件: dp[0] = 0
返回值: dp[right] - dp[left] + nums[left]
改进: 这种情况下dp[right] - dp[left]之后包右不包左
-
数组中等差递增子区间的个数
dp定义: dp[i]是i位置等差数列的个数,需要一个变量count记录到i位置之前等差数列的个数
状态转移方程: 如果公差还为d,dp[i] = dp[i-1] + 1; 如果方差变化,d = nums[i] - nums[i-1]
边界条件: d = nums[i] - nums[i-1], dp[0] = 0
返回值: count
改进: nums[i] - nums[i-1] = nums[i-1] - nums[i-2] 隐含了判断等差数列的长度大于等于3
改进代码:
class Solution { public:int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {int n = nums.size();// 长度必须大于3,所以如果数列长度小于3,返回0if (n < 3) {return 0;}vector<int> dp(n);dp[0] = 0;dp[1] = 0;// 等差数列个数int count = 0;for (int i = 2; i < n; i++) {if (nums[i] - nums[i-1] == nums[i-1] - nums[i-2]) {dp[i] = dp[i-1] + 1;count += dp[i];}}return count;} };
四、分割整数
-
分割整数的最大乘积343
dp定义: dp[i] 表示第i个数拆分后可以得到的最大乘积,会成为后面数的因数。
状态转移方程: i表示当前要计算最大乘积的数,j表示i的某个因数
for (int i = 2; i <= n; i++) {int curMax = 0;for (int j = 1; j < i; j++) {curMax = max(curMax, max(j* (i-j), j * dp[i-j]));}dp[i] = curMax; }
边界条件: 拆分的正整数的个数大于2,所以dp[0] = 0; dp[1] = 1
返回值: dp[n]
改进:
-
按平方数来分割整数279中等
dp定义: dp[i]表示i的完全平方数的最小数量
状态转移方程:
for (int i = 1; i <= n; i++) {int minValue = INT_MAX;for (int j = 1; j * j <= i; j++) {minValue = min(minValue, dp[i-j*j]);}dp[i] = minValue + 1; }
边界条件: dp[0] = 0
返回值: dp[n]
改进:
-
分割整数构成字母字符串91中等
dp定义: dp[i]表示0-i位置有的编码方式
状态转移方程: 因为26个字母编码有两位数,而且前缀0是不能包含在两位数的,所以分为两种情况:
第一种是只把加第i个数当成编码:
if (s[i-1] != '0') {dp[i] += dp[i-1];}
第二种加上前一个数看是否构成新的编码:
if (s[i-2] != 0 && ((s[i-2] - '0') * 10 + (s[i-1] - '0')) < 26) {dp[i] += dp[i-2]; }
边界条件: dp[0] = 1;
返回值: dp[n]
改进:
五、最长递增子序列
-
最长递增子序列300中等
dp定义: dp[i]表示从0-i可以构成递增子序列的最大长度
状态转移方程: 因为可以删除数组中的某些元素,所以递增子序列要从之前的所有数检查。
for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i] = 1;for (int j = i - 1; j>= 0; j--) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}} }
边界条件: dp[i] = 1,每个元素都是一个递增子序列
返回值: dp数组中的最大值。
改进: 贪心+二分查找
贪心:因为我们想要上升子序列尽可能长,所以就要序列上升得尽可能慢,每次在上升子序列最后加上的数尽可能小
dp定义:dp[i]表示长度为i的最长上升子序列的末尾元素的最小值,用len记录目前最长上升子序列的长度,起始为1
状态转移方程:
if (nums[i] > d[len]) {d[++len] = nums[i]; } else {// 二分查找int l = 1, r = len, pos = 0;while (l <= r) {int mid = (l + r) >> 1;if (d[mid] < nums[i]) {pos = mid;l = mid + 1;} else {r = mid - 1;}}d[pos + 1] = nusm[i];-0 }
边界条件:dp[1] = nums[0];
返回值:len
-
一组整数对能够构成的最长链646中等
dp定义: dp[i]表示以pairs[i]为结尾的最长数对链的长度
状态转移方程: 先将数对链的第一个元素进行排序,以第i位为定点,遍历之前一共可以组成多少个数对链
sort(pairs.begin(), pairs.end()); for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (pairs[i][0] > pairs[j][1]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}} }
边界条件: 无
返回值: dp[n-1]
改进: 按元组的第二个数的大小进行排序
-
最长摆动子序列376中等
dp定义: 两个dp分别定义上升序列up和下降序列down
状态转移方程:
如果差是正,up序列更新,如果差是负,down序列更新,如果差为0都不更新。
up[0] = down[0] = 1; for (int i = 1; i < n; i++) {if (nums[i] > nums[i-1]) {up[i] = max(up[i-1], down[i-1] + 1);down[i] = down[i-1];} else if (nums[i] < nums[i-1]) {down[i] = max(down[i-1], up[i-1] + 1);up[i] = up[i-1];} else {up[i] = up[i-1];down[i] = down[i-1];} }
边界条件: up[0] = down[0] = 1;
返回值: max(down[i-1], up[i-1]);
改进: 减少空间消耗,使用up和down两个变量进行存储
int up = 1, dowm = 1 for (int i = 1; i < n; i++) {if (nums[i] - nums[i-1] > 0) {down += 1;} else if (nums[i] - nums[i-1] < 0){up += 1;} } return max(up, down);
六、最长公共子序列
-
最长公共子序列1143中等
dp定义: dp[i][j]表示word1的第i位和word2的第j位之前序列的最长公共子序列
状态转移方程:
如果word1[i] == word2[j], dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
如果word1[i] != word2[j], dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
边界条件: dp[0][0] = 0
返回值: dp[n][m]
改进:
七、0-1背包
-
划分数组为和相等的两部分416中等
dp定义: dp[i][j]表示到nums数组的第i个位置,和能否是j,true表示和可以是j,false表示不可以
状态转移方程:
如果j < 当前数nums[i],说明不能放入:dp[i][j] = dp[i-1][j]
如果j > 当前数nums[i],有两种情况:dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-nums[i]]
边界条件:
和为0,哪个元素都不选:dp[i][0] = true
dp[0][nums[0]] = true
返回值: dp[n-1][target]
改进: 空间优化
-
改变一组数的正负号使得它们的和为一给定数494中等 —— 回溯递归
应该想法简单一点,不能把全过程都想清楚,把子问题想明白就行
dp定义:
状态转移方程:
边界条件:
返回值:
改进:
-
01字符构成最多的字符串474中等——三维数组
dp定义: dp[i][j][k]三维dp数组,第一维表示在前多少个字符串中找0和1,j表示0的个数,k表示1的个数。
状态转移方程:
for (int i = 1; i <= length; i++) {// 计算该字符串中0和1的个数for (int j = 0; j <= m; j++) {for (int k = 0; k <= n; k++) {dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];if (j >= zeros && k >= ones) {dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-zeros][k-ones] + 1);}}} }
边界条件: dp[0][j][k] = 0
返回值: dp[length][m][n]
改进:
-
找零钱的最少硬币数322中等
dp定义: dp[i]表示金额和为i的最小硬币的数量
状态转移方程:
for (int i = 1; i <= amount; i++) {for (int j = 0; j < coins.size(); j++) {if (coins[j] <= i) {dp[i] = min(dp[i], dp[i-coins[j]] + 1);}} } if (dp[amount] > amount) {return -1; } return dp[amount];
边界条件: dp[0] = 0;dp[other] = amount + 1(表示没有构成amount金额的方案);
返回值: 如果硬币不能构成所需金额,则返回-1;如果硬币可以构成所需金额,返回所需的最小硬币数。
改进:
-
找零钱的硬币数组合518中等
dp定义: dp[i]表示和为i的总方案数
状态转移方程:
for (int i = 1; i <= amount; i++) {for (int j = 0; j < coins.size(); j++) {if (i >= coins[j]) {dp[i] += dp[i-coins[j]] + 1;}} } return dp[amount];
边界条件: dp[0] = 0
返回值: dp[amount]
改进:
-
字符串按单词列表分割139中等
dp定义: dp[i]表示截止i位置前的字符串是否可以有wordDict中的单词构成
将wordDict进行去重是因为可以减小重复计算
状态转移方程:
vector<bool> dp(s.size() + 1); for (int i = 1; i <= size(); i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (dp[j] && wordDictSet.find(s.substr(j, i - 1)) != wordDictSet.end()) {dp[i] = true;break;}} }
边界条件: dp[0] = true
返回值: dp[s.size()]
改进:
-
组合总和377组合总和Ⅳ
dp定义: dp[i] 表示和为i时的元素组合个数
状态转移方程:
for(int i = 1; i <= target; i++) {for (int j = 0; j < nums.size(); j++) {if (i >= nums[j] && dp[i - nums[j]] < INT_MAX - dp[i]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}} }
边界条件: dp[0] = 1
返回值: dp[target]
改进:
八、股票交易
允许的交易次数
能否在同一天进行买卖
增加限制条件要增加维度
-
股票交易Ⅰ 121简单
dp定义: 最简单的情况,只有一个限制是不能在同一天进行买卖,只进行一次交易,dp[i]表示第i天卖出能获得的最大利润
状态转移方程:
dp[i] = max(dp[i-1], prices[i] + minprices)
边界条件:
dp[0] = 0;
返回值: dp[n]
改进: 空间优化,两个变量buy和sell分别保存
int buy = -prices[0]; int sell = 0; for (int i = 1; i < n; i++) {buy = max(buy, -prices[i]);sell = max(sell, buy + prices[i]); }
-
股票交易Ⅱ 122中等
没有限制交易次数
可以在同一天进行买卖
dp定义: dp[i][j]表示第i天的买入(j=0)可以获得的最大利润和第i天卖出(j=1)可以获得的最大利润
状态转移方程:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
边界条件:
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
返回值: dp[n-1][1]
改进: 空间优化
int buy = -prices[0]; int sell = 0; for (int i = 1; i < n; i++) {// int temp_buy = max(buy, sell - prices[i]);// int temp_sell = max(sell, buy + prices[i]);// buy = temp_buy;// sell = temp_sell;// 第二种// int temp_buy = buy;// int temp_sell = sell;// buy = max(temp_buy, temp_sell - prices[i]);// sell = max(temp_sell, temp_buy + prices[i]);// 第三种buy = max(buy, sell - prices[i]);sell = max(sell, buy + prices[i]); } return sell;
-
股票交易Ⅲ123困难
两次交易
允许同一天买卖
dp定义: dp[i][j]表示第i天的利润,j=0表示第一次买入;j=1表示第一次卖出;j=2表示第二次买入;j=3表示第二次卖出
状态转移方程:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] - prices[i]);
dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] + prices[i]);
边界条件:
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][2] = -prices[0];
返回值: dp[n-1][3]
改进: 空间优化
for (int i = 1; i < n; i++) {// 第一种// int temp_buy1 = buy1;// int temp_sell1 = sell1;// int temp_buy2 = buy2;// int temp_sell2 = sell2;// buy1 = max(temp_buy1, -prices[i]);// sell1 = max(temp_sell1, temp_buy1 + prices[i]);// buy2 = max(temp_buy2, temp_sell1 - prices[i]);// sell2 = max(temp_sell2, temp_buy2 + prices[i]);// 第二种buy1 = max(buy1, -prices[i]);sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i]);buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i]);sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i]); }
-
股票交易Ⅳ188困难
K次交易
允许同一天进行买卖
dp定义: 定义dp数组,i表示第i天,k表示完成了k次交易,j有两个状态,1表示手中持有股票,0表示手中没有股票
状态转移方程:
// 状态转移 for (int i = 1; i < n; i++) {for (int K = 1; K <= k; K++) {dp[i][K][0] = max(dp[i-1][K][0], dp[i-1][K-1][1] + prices[i]);dp[i][K][1] = max(dp[i-1][K][1], dp[i-1][K][0] - prices[i]);} }
边界条件:
// 初始化 for (int i = 0; i <= k; i++) {dp[0][i][0] = 0;dp[0][i][1] = -prices[0]; } for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i][0][0] = 0;dp[i][0][1] = max(dp[i-1][0][1], dp[i-1][0][0] - prices[i]); }
返回值: dp[n-1][k][0]
改进:
-
需要冷却期的股票交易309中等
没有限制交易次数
允许同一天进行买卖,但是卖掉之后要有一天冷冻期,在冷冻期内不能买入股票
dp定义: dp[i][j], j的范围是0, 1, 2,分别表示i位置买入,卖出、冷冻的最大利润
状态转移方程:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][2] - prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])
dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1])
边界条件: dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; dp[0][2] = 0;
返回值: max(dp[n][0], max(dp[n][1], dp[n][2]));
改进: 空间优化,因为只用到了i-1时候的利润,所以可以减小一个维度,用三个变量来存储上一次买入、卖出、冷冻的最大利润
int n = prices.size(); // 初始化 int get = -prices[0]; int out = 0; int no = 0; for (int i = 1; i < n; i++) {// 第一种// int temp_get = get;// int temp_out = out;// int temp_no = no;// get = max(temp_get, temp_no - prices[0]);// out = max(temp_out, temp_get + prices[0]);// no = max(temp_no, temp_out);// 第二种,冷冻期只有上一天卖出之后的后一天为冷冻期int temp_out = out;get = max(get, no - prices[i]);out = get + prices[i];no = max(temp_out, no); }
-
需要交易费用的股票交易714中等
dp定义: dp[i][j]表示到第i支股票时,j=0时表示买入的利润,j=1时表示卖出的利润
状态转移方程:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i] - fee)
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])
边界条件: dp[0][0] = -prices[i] - fee
返回值: dp[n][1]
改进: 空间优化,因为只用到了前一天的买入、卖出的值,所以只需要两个变量进行存储
int get = -prices[0] - fee; int out = 0; for (int i = 1; i < n; i++) {// 第一种// int temp_get = get;// int temp_out = out;// get = max(temp_get, temp_out - prices[i] - fee);// out = max(temp_out, temp_get + prices[i]);// 第二种get = max(get, out - prices[i] - fee);out = max(get + prices[i], out); }
九、字符串编辑
1. 删除两个字符串的字符使他们相等583
本质:二维DP
dp定义: dp[i][j]表示word1的i位置和word2的j位置最长公共子序列的长度,删除操作数为两个字符串的长度和减去两倍最长公共子序列的长度
状态转移方程:
if (word1[i-1] == word2[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
} else {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
边界条件: dp[0][j] = 0; dp[i][0] = 0;
返回值: (n + m) - 2 * dp[n][m]
改进:
2. 编辑距离72困难
dp定义: dp[i][j]表示word1的第i个位置与word2的第j个位置相同的话需要的最少操作数,行表示插入,列表示删除,对角线表示
状态转移方程:
for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {if (word1[i-1] = word2[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1];} else {dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1;}}
}
边界条件: dp[i][0] = i,表示删除;dp[0][j] = j,表示插入。
返回值: dp[n][m]
改进:
3. 复制粘贴字符650中等
dp定义: dp[i]表示能够打印i个’A’的最少操作次数
状态转移方程:
for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = INT_MAX;for (int j = 1; j * j <= i; j++) {if (i % j == 0) {dp[i] = min(dp[i], min(dp[i / j] + j, dp[j] + i / j));}}
}
边界条件: dp[1] = 0
返回值: dp[n]
改进: