二分

一、整数二分

（一）整数二分思路

（二）整数二分算法模板

1.左查找（寻找左侧边界）

• 查找的情况分为三种：
  • 当a[mid]>2时，r=mid-1，l不变
  • 当a[mid]<2时，l=mid+1，r不变
  • 当a[mid]==2时，如果我们一找到就返回，那么，返回的结果将会是下标4，此时并不是目标值

​ 因此，我们需要向左缩小区间

• 向左缩小区间：就是令r=mid，l不变；此时区间变为[0,4],既保证了下标为4的2保留在区间里，又保证可以继续查找[0,4]中是否还有数字2，如果[0,3]中没有数字2了，则下标4就会是该区间唯一一个满足条件的值，也就会是最终结果。而如果[0,3]中还有其他的2，就如本例，那么下标为4的数字就会被下一次缩小区间所抛弃。

• 这里模拟一下样例：
  
  最后l == r退出循环。此时如果r就是最终结果，那么l同时也是最终结果。另一种退出循环的方式就是l>r，l跑到r的右边，那么不管怎么说，l都不可能是最终目标。因此最后只用判断r是否是最终目标就好了。

• 判断r是否是x：如果退出循环后a[r]==x，说明找到了x，并且这个x是左边界的x；如果a[r]!=x，说明连x都找不到，返回-1；

• 结果如下：

void query_l(int a)
{int l=0,r=n-1;while(l<r){int mid=(l+r)/2;if(arr[mid]==a)		r=mid;else if(arr[mid]>a)	r=mid-1;else				l=mid+1;}if(arr[l]==a)	cout<<r<<" ";else cout<<-1<<" ";
}

我们可以将等于和大于的情况合二为一，因为不管怎样最终都是要判断r是否为目标值的。所以，升级后的代码如下。

void query_l(int a)
{int l=0,r=n-1;while(l<r){int mid=(l+r)/2;if(arr[mid]>=a)	r=mid;else l=mid+1;}if(arr[l]==a)	cout<<r<<" ";else	cout<<-1<<" ";
}

2.右查找（寻找右侧边界）

• 右查找就是要找到最后出现的值，不断向右缩小区间。分析过程与左查找类似。
• 需要注意的一点，右查找和左查找确定mid值的方式不同。左查找采用（l+r）/2向下取整的方式，右查找采用（l+r+1）/2向上取整的方式。
• 原因分析：
• 对于左查找：假设l=2，r=3，向下取整得到的mid=(2+3+1)/2=3，若取r=mid，那么l和r任保持原值不变，陷入死循环。
• 对于右查找：假设l=2，r=3，向下取整得到mid=(2+3)/2=2。若取l=mid，那么l和r任保持原值不变，陷入死循环。
  

void query_r(int a)
{int l=0,r=n-1;while(l<r){int mid=(l+r+1)/2;if(arr[mid]<=a)	l=mid;else			r=mid-1;}if(arr[r]==a)	cout<<r;else	cout<<-1;
}

3.总模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{while (l < r){int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质else l = mid + 1;}return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{while (l < r){int mid = l + r + 1 >> 1;if (check(mid)) l = mid;else r = mid - 1;}return l;
}

（三）题目：数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n的整数数组，以及 q个查询。对于每个查询，返回一个元素 k的起始位置和终止位置（位置从 0开始计数）。如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式
第一行包含整数 n和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n个整数（均在 1∼10000范围内），表示完整数组。

接下来 q行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式
共 q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;int n,m;
int q[N];int main()
{scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&q[i]);while(m--){int x;scanf("%d",&x);int l=0,r=n-1;while(l<r){int mid=(l+r)/2;if(q[mid]>=x)r=mid;else l=mid+1;}if(q[l]!=x)cout<<"-1 -1"<<endl;else{cout<<l<<" ";int l=0,r=n-1;while(l<r){int mid=(l+r+1)/2;if(q[mid]<=x)l=mid;elser=mid-1;}cout<<l<<endl;}}return 0;
}

二、浮点数二分

（一）浮点数二分思路

思路和整数二分一样，区别是浮点型二分不需要注意边界问题（也就是不需要+1）

（二）浮点数二分算法模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质double bsearch_3(double l, double r)
{const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求while (r - l > eps){double mid = (l + r) / 2;if (check(mid)) r = mid;else l = mid;}return l;
}

（三）题目：数的三次方根

题目描述

给定一个浮点数n，求它的三次方根。

输入格式
共一行，包含一个浮点数n。

输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留6位小数。

数据范围
−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{double x;cin>>x;double l=-100,r=100;//根据题目范围 开三次方根 估计答案大概范围while(r-l>1e-8){double mid=(l+r)/2;if(mid*mid*mid>=x)r=mid;elsel=mid;}printf("%.6lf\n",l);return 0;
}