二重积分计算的一般步骤

分析积分区域草图

• 绘制积分区域D的草图,并考虑多元函数奇偶性的角度化简计算
  • 讨论奇偶性函数的判断必然蕴含某个区间(区域)内函数是关于某个轴对称的前提条件
  • 先定义域区域对称,然后才有函数对称

积分区域对称性

• 判断积分区域是否具有对称性
  • 如果积分区域不对称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用

区域分割

• 有时原始的积分区域不对称,但是可能可以通过划分区域,得到多个关于不同坐标轴分别对称的子区域
  • 这时候就可以再次尝试考虑被积分函数的奇偶性化简计算

可以简化计算的两类情况👺

利用对称性和奇偶性计算

• 被积区域的对称性,且被积函数奇偶性时有如下结论

  • 若积分区域$D$关于$y$轴对称,且被积函数$f(x,y)$关于$x$有奇偶性,则

    • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$2\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$,

      • $f(-x,y)$=$f(x,y)$

    • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =0$,

      • $f(-x,y)$=$-f(x,y)$

    • 其中$D_1$为$D$在$y$轴右侧的部分

  • 若积分区域$D$关于$x$轴对称,且被积函数$f(x,y)$关于$y$有奇偶性,则

    • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$2\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$,

      • $f(x,-y)$=$f(x,y)$

    • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =0$,

      • $f(x,-y)$=$-f(x,y)$

    • 其中$D_1$为$D$在$y$轴右侧的部分

• 可见,若被积函数是奇函数,可以大为化简计算,但是被积函数为偶函数时,化简效果就不那么好,但是某些情形下可以将原本要分段积分的式子合并成一个式子,在乘以2,例如后面的例6提到的积分区间:双曲线$x>0$部分的关于$x$轴对称的两点分别和坐标原点连线,构成的封闭区间积分借助对称性可以不用分段写

双轴对称

• 对称性很强的时候(关于$x,y$轴都对称),且被积函数是同时是$x,y$的偶函数,可以将积分区域再收缩

• 比如D:$|x|+|y|=1$;又设被积函数为$|x|$,$\underset{D}{\iint }|x|dx$=$4\underset{D_1}{\iint }|x|dx$=$4\underset{D_1}{\iint }x\mathrm{d}x$,

  • 此处,$D_1$为积分区域在第一象限的部分为$x=0,y=0$,$x+y=1$所围成的面积

  • $\underset{D_1}{\iint }x\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-x}x\mathrm{d}y$=${\int }_0^1(x(y{|}_0^{1-x}))\mathrm{d}x$=${\int }_0^1(x-x^2))\mathrm{d}x$=$\frac{1}{6}$

​

变量的对称性@轮换对称计算

• 若积分区域关于直线$y=x$对称

  • 则积分区域$D$的不等式或等式中将$x,y$对调后,原等式或不等式不变

  • 这类对称下的积分满足:$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$\underset{D}{\iint }f(y,x)\mathrm{d}\sigma$

  • 例如,以下积分区域都是关于$y=x$对称的

    1. $x^2+y^2⩽R^2$;半径为$R$的圆域
    2. $x,y\in [0,1];$第一象限内的边长为1的正方形

• 这条性质某些时候很有用,可以求解具有(轮换)对称形式的被积函数

选择合适的坐标系

• 选择积分坐标系(😀根据积分区域的特点和被积函数的形式)

直角坐标系

• 关键是将二重积分化为累次积分
  • 累次积分又有顺序之分
    • 往往根据积分区域和被积函数来确定

先$y$后$x$

• $D$= { ( x , y ) ∣ ϕ 1 ( x ) ⩽ y ⩽ ϕ 2 ( x ) ; a ⩽ x ⩽ b } \set{(x,y)|\phi_1(x)\leqslant{y}\leqslant\phi_2(x);a\leqslant{x}\leqslant{b}} {(x,y)∣ϕ1​(x)⩽y⩽ϕ2​(x);a⩽x⩽b}
  • $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$=${\int }_a^{b}dx{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)dy$

先$x$后y

• $D$= { ( x , y ) ∣ ψ 1 ( y ) ⩽ x ⩽ ψ 2 ( y ) ; a ⩽ y ⩽ b } \set{(x,y)|\psi_1(y)\leqslant{x}\leqslant\psi_2(y);a\leqslant{y}\leqslant{b}} {(x,y)∣ψ1​(y)⩽x⩽ψ2​(y);a⩽y⩽b}

  • $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dy{\int }_{{\varphi }_1(y)}^{{\varphi }_2(y)}f(x,y)dx$

极坐标系

• 如果积分区域和圆相关

  • 圆/扇环/扇形…

• 被积函数是复合了下列函数的复合函数

  • $\sqrt{x^2+y^2},\frac{x}{y},\frac{y}{x}$(1)

• 因为极坐标中

  • $x=r\cos \theta$
  • $y=r\sin \theta$
  • 上述形式的函数可以消去$r$或者$\theta$,得到一个一元函数

• 另一类被积函数是仅含$x^2,y^2$的情形,虽然不如(1)中列举的那么方便,但是其过渡到三角表达式后可以进行降次,正重要的是积分区间用极坐标表示更简单

确定积分区间

积分次序

• 确定累次积分的次序,根据积分区域和被积函数综合考虑

积分限

• 确定累次积分的积分限
• 在累次积分的过程中,每次只对一个变量进行积分
• 其余被视为常数的因子应当提取到外部,降低干扰和犯错误的几率

应用

例1

• 设 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ r 2 } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{r^2}} D={(x,y)∣x2+y2⩽r2},则$\underset{D}{\iint }(x^3+\sin y+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\pi r^2$
  • 分析积分区域是一个圆,关于$x,y$轴都对称,而$x^3$,$\sin y$分别是关于$x,y$的奇函数,从而
    • $\underset{D}{\iint }(x^3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=0
    • $\underset{D}{\iint }(\sin y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=0
  • $\underset{D}{\iint }(x^3+\sin y+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\underset{D}{\iint }1\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\pi r^2$

例2

• 设 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ R 2 } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{R^2}} D={(x,y)∣x2+y2⩽R2},$f(x)$=$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$则$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
  • 这个形式适合用极坐标系积分,这样累次积分的积分区间形式简单
  • $x=r\cos \theta$,$y=r\sin \theta$,$r\in [0,R]$,$\theta \in [0,2\pi ]$
  • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^R(\frac{r^2{\cos }^2\theta }{a^2}+\frac{r^2{\sin }^2\theta }{b^2})r\mathrm{d}r$=$\frac{R^2}{4}{\int }_0^{2\pi }(\frac{1+\cos 2\theta }{2a^2}+\frac{1-\cos 2\theta }{2b^2})\mathrm{d}\theta$=$\frac{\pi }{4}{R}^2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

例3

• 设$D$= { ( x , y ) ∣ y = x 3 , y = 1 , x = − 1 围成的区域 } \set{(x,y)|y=x^3,y=1,x=-1围成的区域} {(x,y)∣y=x3,y=1,x=−1围成的区域},令$g(x,y)$=$xyf(x^2+y^2)$,求$\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
  • 显然$D$不关于任何坐标轴对称
  • 但可以构造辅助线$y=-x^3$,使得$D$划分成2个分别关于$x,y$轴对称的区间
    • 不妨将关于$x$对称的区间记为$D_x$,将关于$y$对称的区间记为$D_y$
  • 观察$g(x,y)$这是个关于$x,y$都是奇函数的函数
  • $\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\underset{D_x}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$+$\underset{D_y}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$0+0$=0

例4

• 设$D:|x|+|y|=1$,上述积分区域下,求解如下积分
• 分析可知该区域同时关于$x,y$轴对称
  • $\underset{D}{\iint }y{e}^{x^2}\mathrm{d}\sigma =0$
    • 被积函数$y{e}^{x^2}$是关于$y$的奇函数,区域$D$关于$x$轴对称,因此积分结果为0
  • $\underset{D}{\iint }|x|\mathrm{d}\sigma$=$4\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{3}$
    • 被积函数$|x|$关于$x$的偶函数,区域$D$关于$y$轴对称,积分结果为$2{\iint }_{D_1}x\mathrm{d}\sigma$=$2{\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{x-1}^{-x+1}x\mathrm{d}y$=$\frac{2}{3}$
  • $\underset{D}{\iint }(|x|+y{e}^{x^2})\mathrm{d}\sigma$=$\frac{2}{3}$
    • 被积函数关于$x$的偶函数,区域关于$y$轴对称,积分结果$2{\iint }_{D_1}x+y{e}^{x^2}\mathrm{d}\sigma$=$2{\iint }_{D_1}x\mathrm{d}\sigma$+$2{\iint }_{D_1}y{e}^{x^2}\mathrm{d}\sigma$=$\frac{2}{3}+0$=$\frac{2}{3}$

例5

• 设两曲面$z_1=2-x^2-y^2$,$z_2$=$x^2+y^2$;求两曲面所围成的空间区域体积$V$
  • 先求$V$的投影$D$,联立两个曲面方程,消去$z$,得积分区域应为:$2-x^2-y^2=x^2+y^2$,即$x^2+y^2=1$
  • 记 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ 1 } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{1}} D={(x,y)∣x2+y2⩽1}
  • $V$=$\underset{D}{\iint }|z_1-z_2|\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\underset{D}{\iint }|2-2x^2-2y^2|\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
    • 由积分区域$D$可知$1-x^2-y^2⩾0$,所以$V$=$2\underset{D}{\iint }(1-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
    • 该积分适合化为极坐标计算:$V$=$2{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^1(1-r^2)r\mathrm{d}r$=$\pi$

例6

• 令$f(x,y)$=$(x+y{)}^3$,区域$D$由以下3个曲线围成
  1. $x=\sqrt{1+y^2}$,
  2. $x+\sqrt{2}y=0$,
  3. $x-\sqrt{2}y=0$
• 求$V=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
• 分析$D$:第一个方程是双曲线$x^2+y^2=1$在$x⩾0$区间上的部分,而第2,3个方程是关于$x$轴对称的过原点的直线方程
• 并且联立方程(1,2),(1,3)得到2个方程组,解得两个对称的交点为$(\sqrt{2},1)$,$(\sqrt{2},1)$,因此可以明确直线和双曲线必相交,能够构成封闭区域
• 观察区域$D$图形可知,$D$关于$x$轴对称
• 将$f(x)$展开:$f(x)$=$x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$,所以
  • $V$=$\underset{D}{\iint }(x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
    • 其中$3x^{2}y$,$y^3$都是关于$y$的奇函数,因此这两项积分结果为0
    • 而剩余两项都是关于$y$的偶函数
    • $x^3,3x{y}^2$都可以视为二元函数,$x^3=x^3{y}^0$,也可以视为关于$y$的偶函数,积分区域可以再次收缩
    • $V$=$\underset{D}{\iint }(x^3+3x{y}^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$2\underset{D_1}{\iint }(x^3+3x{y}^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$2{\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}}(x^3+3x{y}^2)\mathrm{d}x$=$2[{\int }_0^1(\frac{1}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{y}^2{x}^2){|}_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}}\mathrm{dy}]$=$2[{\int }_0^1(-\frac{9}{4}{y}^4+2y^2+\frac{1}{4})\mathrm{d}y]$=$\frac{14}{15}$