abstract

• 坐标平面和平面点集,$n$维空间点集
• 点与点集的关系
• n维空间及其邻域

坐标平面

• 建立了坐标系的平面称为坐标平面
• 二元有序实数组$(x,y)$的全体(点坐标集合),即${\mathbf{R}}^2=\mathbf{R}\times \mathbf{R}$= { ( x , y ) ∣ x , y ∈ R } \set{(x,y)|x,y\in{\bold{R}}} {(x,y)∣x,y∈R}表示的就是坐标平面

平面点集

• 坐标平面上具有某种性质的点集合称为平面点集,记为 E = { ( x , y ) ∣ ( x , y ) 具有性质 P } E=\set{(x,y)|(x,y)具有性质P} E={(x,y)∣(x,y)具有性质P}
• 例如平面上以原点为中心,$r$为半径的圆内所有点的集合为 G = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 < r 2 } G=\set{(x,y)|x^2+y^2<r^2} G={(x,y)∣x2+y2<r2}
  • 或非坐标形式的平面点集,比如令$|OP|$表示$P$到$O$的距离,则 G = { P ∣ ∣ O P ∣ < r } G=\set{P||OP|<r} G={P∣∣OP∣<r}

平面邻域

• 平面邻域,即${\mathbf{R}}^2$中的邻域

• 设$P_0(x_0,y_0)$是平面上的一点,$\delta$是某个正数,与$P_0$的距离小于$\delta$的所有点的全体构成的集合,称为$P_0$的邻域,记为$U(P_0,\delta )$,即$U(P_0,\delta )$= { ( x , y ) ∣ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ } \set{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta} {(x,y)∣(x−x0​)2+(y−y0​)2 ​<δ};

  • 在不强调$\delta$时,点$P_0$的邻域简记为$U(P_0)$
  • 去心邻域:$\mathring{U}(P_0,\delta )$= { ( x , y ) ∣ 0 < ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ } \set{(x,y)|0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta} {(x,y)∣0<(x−x0​)2+(y−y0​)2 ​<δ};或简记为$\mathring{U}(P_0)$

• 在几何上,$U(P_0,\delta )$表示的是以$P_0$为圆心,以$\delta$为半径的圆内部的所有点的集合

利用邻域描述点与点集的关系

• 记$E$为平面上的一个点集,$P$是平面上的一点,则$P$和$E$之间,(即$P\in {\mathbf{R}}^2$和$E\subset {\mathbf{R}}^2$,$P,E$的关系)必然存在3种关系:内点,外点,边界点
  • 内点:若$\exists U(P)\subset E$,则$P$是$E$的内点,($P\in E$)
  • 外点:若$\exists U(P)\cap E$=$\varnothing$,则$P$为$E$的外点,$(P\notin E)$
  • 边界点:若$\forall U(P)\cap E\ne 0$,且$\forall U(P)\cap \overline{E}\ne 0$,则称$P$为$E$的边界点,($P\in E$或$P\notin E$都有可能)
    • 其中$\overline{E}$表示$E$以外的点的集合
• 边界:$E$的边界点全体称为$E$的边界,记为$\partial E$

聚点

• 点与点集的另一种关系:聚点,其同时也是上述三种基本关系的一种

• 聚点:$\forall \delta >0$,$\exists Q\in \mathring{U}(P,\delta )$且$Q\in E$,则称$P$为$E$的聚点

• 由定义可知,$E$的聚点$P$可能属于$E$,也可能不属于$E$

  • 例如,设平面点集 E = { ( x , y ) ∣ 1 < x 2 + y 2 ⩽ 2 } E=\set{(x,y)|1<x^2+y^2\leqslant{2}} E={(x,y)∣1<x2+y2⩽2}
    • 满足$1<x^2+y^2<2$的一切点$(x,y)$都是$E$的内点,
    • 满足$x^2+y^2=1$的一切点$(x,y)$都是$E$的边界点,它们都不属于$E$;
    • 满足$x^2+y^2=2$的一切点$(x,y)$也是$E$的边界点,它们都属于$E$;
    • 点$E$以及它的边界$\partial E$上的一切点都是$E$的聚点
  • 

点集分类

以下点集的分类都是基于边界与点集的关系作分类,作点集分类首先是找到边界

• 若$E$的所有点都是它的内点,则$E$为开集

  • 例如 { ( x , y ) ∣ 1 < x 2 + y 2 < 2 } \set{(x,y)|1<x^2+y^2<2} {(x,y)∣1<x2+y2<2}

• 若$E$的边界$\partial E\subset E$,则$E$为闭集

  • 例如 { ( x , y ) ∣ 1 ⩽ x 2 + y 2 ⩽ 2 } \set{(x,y)|1\leqslant x^2+y^2\leqslant 2} {(x,y)∣1⩽x2+y2⩽2}

• 非开集也非闭集

  • 例如: { ( x , y ) ∣ 1 < x 2 + y 2 ⩽ 2 } \set{(x,y)|1<x^2+y^2\leqslant 2} {(x,y)∣1<x2+y2⩽2},此点集属于半开半闭点集

• 连通集:若$\forall P_1,P_2\in E$,总可以用折线$S$连结起来,且折线上的点都属于$E$即($S\cap E=S$),则称点集$E$是连通的

• 区域:连通的开集称为开区域,简称区域

  • 例如: { ( x , y ) ∣ x + y ∈ ( − 1 , 1 ) } \set{(x,y)|x+y\in(-1,1)} {(x,y)∣x+y∈(−1,1)}; { ( x , y ) ∣ x + y > 0 } \set{(x,y)|x+y>0} {(x,y)∣x+y>0}

• 区域连同它的边界一同构成闭区域

  • 例如: { ( x , y ) ∣ x + y ∈ [ − 1 , 1 ] } \set{(x,y)|x+y\in[-1,1]} {(x,y)∣x+y∈[−1,1]}

• 有界集:对于平面点集$E$,若存在一个正数$r$,使得$(E\subset U(O,r))$,则称$E$是有界的;否则称为无界的(其中$O$为坐标原点)

  • 例如: { ( x , y ) ∣ 1 ⩽ x 2 + y 2 ⩽ 2 } \set{(x,y)|1\leqslant{x^2+y^2\leqslant{2}}} {(x,y)∣1⩽x2+y2⩽2}是有界闭区域
  • 而 { ( x , y ) ∣ x + y ⩾ 0 } \set{(x,y)|x+y\geqslant 0} {(x,y)∣x+y⩾0}是无界闭区域(该点集只有一条边界,即直线$x+y=0$;另一侧则是无限衍生没有边界;而只要边界位于点集内,那么就是闭区域,而不要求闭区域是有界的)

$n$维空间

基础概念

• 设$n$为取定的一个正整数,我们用${\mathbf{R}}^n$表示$n$元有序实数组$(x_1,\cdots ,x_n)$的全体所构成的集合,即${\mathbf{R}}^n$=$\mathbf{R}\times \mathbf{R}\times \cdots \times \mathbf{R}$= { ( x 1 , ⋯ , x n ) ∣ x i ∈ R , i = 1 , 2 , ⋯ , n } \set{(x_1,\cdots,x_n)|x_{i}\in{\bold{R}},i=1,2,\cdots,n} {(x1​,⋯,xn​)∣xi​∈R,i=1,2,⋯,n}
• ${\mathbf{R}}^n$中的元素$(x_1,\cdots ,x_n)$有时也用单个粗体字母表示,例如$\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$,
• 零元:当$x_i=0$,$i=1,2,\cdots ,n$时,称该元素为${\mathbf{R}}^n$中的零元,记为$0$或$O$
• 在解析几何中,通过直角坐标系,${\mathbf{R}}^2$(或${\mathbf{R}}^3$)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量一一对应,所以${\mathbf{R}}^n$中的元素$\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$也称为${\mathbf{R}}^n$的一个点或一个$n$维向量
• $x_i$称为点$\mathbf{x}$的第$i$个坐标或向量的第$i$个分量
• ${\mathbf{R}}^n$中的零元称为${\mathbf{R}}^n$中的坐标原点或**$n$维零向量**

线性运算和空间概念

• 设$\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$,$\mathbf{y}=(y_1,\cdots ,y_n)$为${\mathbf{R}}^n$中任意两个元素,$\lambda \in \mathbf{R}$规定
  • $\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,\cdots ,x_n+y_n)$
  • $\lambda \mathbf{x}$=$(\lambda x_1,\cdots ,\lambda x_n)$
• 定义了线性运算的集合${\mathbf{R}}^n$称为**$n$维空间**

空间中的两点距离

• ${\mathbf{R}}^n$中的点$\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$,$\mathbf{y}=(y_1,\cdots ,y_n)$的距离记为$\rho (\mathbf{x},\mathbf{y})$
• 规定$\rho (\mathbf{x},\mathbf{y})$=$\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}$
• ${\mathbf{R}}^n$中,$\mathbf{x}$与$0$的距离$\rho (\mathbf{x},0)$记为$||\mathbf{x}||$
  • 特别的,在${\mathbf{R}}^k,k⩽3$时,$||\mathbf{x}||$简记为$|x|$
  • $||x||$=$\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$
  • 令$\mathbf{z}=\mathbf{x}-\mathbf{y}$=$(x_1-y_1,\cdots ,x_n-y_n)$,那么有$||z||=||x-y||$=$\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}$=$\rho (\mathbf{x},\mathbf{y})$

$n$维空间中的变元极限

• 在$n$维空间${\mathbf{R}}^n$中定义了距离后,就可以定义${\mathbf{R}}^n$中的变元极限
• 设$\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$,$\mathbf{a}$=$(a_1,\cdots ,a_n)$,$\mathbf{x},\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^n$,若$||x\to \mathbf{a}||\to 0$,则称变元$\mathbf{x}$在${\mathbf{R}}^n$中趋于固定元$\mathbf{a}$,记为$\mathbf{x}\to \mathbf{a}$
  • 显然,$\mathbf{x}\to \mathbf{a}$ $\iff$ $x_i\to a_i$,$(i=1,2,\cdots ,n)$

$n$维空间内的邻域

• 设$\mathbf{a}$=$(a_1,\cdots ,a_n)\in {\mathbf{R}}^n$,$\delta$是某个正数,则$n$维空间内的点集$U(\mathbf{a},\delta )$= { x ∣ x ∈ R n , ρ ( x , a < δ ) } \set{\bold{x}|\bold{x\in{R}}^{n},\rho(\bold{x,a}<\delta)} {x∣x∈Rn,ρ(x,a<δ)}就定义为${\mathbf{R}}^n$中$\mathbf{a}$的$\delta$邻域
• 类似的可以定义$n$为空间${\mathbf{R}}^n$内的点集的内点,外点,边界点,聚点;以及点集的分类:开集,闭集,区域等概念