前言

之前介绍了顺序表的数据结构，包含队列，栈等，这种结构都是一对一的，但是现实生活中，经常会遇见一对多的数据结构，比如族谱，部门机构等，此时我们需要一个更复杂的数据结构来表示这种场景，这就是树。

1 树

树是一种数据结构，它是由n(n≥0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。**把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。**它具有以下的特点：

1. 每个节点有零个或多个子节点
2. 没有父节点的节点称为根节点
3. 每一个非根节点有且只有一个父节点
4. 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树
   

举例来说，在上图中：

1. 节点1是根节点（root），没有父节点
2. 节点5、6、7、8是树的末端，没有“孩子”，被称为叶子节点（leaf）
3. 节点2、3、4、是树的中端，有父节点，有孩子，被称为中间节点或枝节点
4. 图中的虚线部分，是根节点1的其中一个子树
5. 树的最大层级数，被称为树的高度或深度，上图这个树的高度是4

2 二叉树的定义

二叉树（binary tree）是树的一种特殊形式。二叉，顾名思义，这种树的每个节点最多有2个孩子节点。注意，这里是最多有2个，也可能只有1个，或者没有孩子节点。

2.1 满二叉树

一个二叉树的所有非叶子节点都存在左右孩子，并且所有叶子节点都在同一层级上，那么这个树就是满二叉树。

2.2 完全二叉树

对一个有n个节点的二叉树，按层级顺序编号，则所有节点的编号为从1到n。如果这个树所有节点和同样深度的满二叉树的编号为从1到n的节点位置相同，则这个二叉树为完全二叉树。

如上图所示，满二叉树要求所有分支都是满的；而完全二叉树只需保证最后一个节点之前的节点都齐全即可

2.3 二叉查找树

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉查找树要求左子树小于父节点，右子树大于父节点，正是这样保证了二叉树的有序性。二叉搜索树作为一种经典的数据结构，它既有链表的快速插入与删除操作的特点，又有数组快速查找的优势；所以应用十分广泛，例如在文件系统和数据库系统一般会采用这种数据结构进行高效率的排序与检索操作。

2.4 平衡二叉树

上面提到二叉查找树可以提高查询效率，但是在某些极端情况下，二叉查找树会退化为链表如下图：

此时，查询需要的时间复杂度还是O(n)。为此，我们需要调整二叉查找树，让根的左右子树均匀分布在左右两侧。这就是平衡二叉查找树。

2.4.1 AVL树

在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

平衡二叉树有如下特点：

1. 本身首先是一棵二叉搜索树。
2. 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

2.4.2 红黑树

红黑树是一种特化的AVL树（平衡二叉树），都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。

它虽然是复杂的，但它的最坏情况运行时间也是非常良好的，并且在实践中是高效的： 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n 是树中元素的数目。

红黑树是每个结点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色或红色或黑色。 在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:

1. 结点是红色或黑色。
2. 根结点是黑色。
3. 所有叶子都是黑色。（叶子是NIL结点） （为了简单期间，一般会省略该节点）
4. 每个红色结点的两个子结点都是黑色。（父子不能同为红）
5. 从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点（平衡的关键）
6. 新插入节点默认为红色，插入后需要校验红黑树是否符合规则，不符合则需要进行平衡

这些约束强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。是特点4 导致路径上不能有两个连续的红色结点确保了这个结果。最短的可能路径都是黑色结点，最长的可能路径有交替的红色和黑色结点。因为根特点5所有最长的路径都有相同数目的黑色结点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。
因为红黑树是一种特化的二叉查找树，所以红黑树上的只读操作与普通二叉查找树相同。

3 多路树

多路查找树(muitl-way search tree)，其每一个节点的孩子数可以多于两个，且每一个节点处可以存
储多个元素。

3.1 B树

B树（BalanceTree）是对二叉查找树的改进。它的设计思想是，将相关数据尽量集中在一起，以便一次读取多个数据，减少硬盘操作次数。

一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性如下：

1. B树中所有节点的孩子节点数中的最大值称为B树的阶，记为M
2. 树中的每个节点至多有M棵子树 —即：如果定了M，则这个B树中任何节点的子节点数量都不能超过M
3. 若根节点不是终端节点，则至少有两棵子树
4. 除根节点和叶节点外，所有点至少有m/2棵子树
5. 所有的叶子结点都位于同一层
   

3.2 B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树，其定义基本与B树相同。

特点如下：

1. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同
2. 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树
3. 为所有叶子结点增加一个链指针
4. 所有关键字都在叶子结点出现
   
   MySQL索引B+Tree
   B树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。

B树的高度一般都是在2-4这个高度，树的高度直接影响IO读写的次数。如果是三层树结构—支撑的数据可以达到20G，如果是四层树结构—支撑的数据可以达到几十T。

3.3 B和B+的区别：

1. 非叶子节点是否存储数据
2. B树是非叶子节点和叶子节点都会存储数据。
3. B+树只有叶子节点才会存储数据，而且存储的数据都是在一行上，而且这些数据都是有指针指向的，也就是有顺序的。

4 堆

堆（heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：

1. 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
2. 堆总是一棵完全二叉树。

4.1 大根堆

最大堆的任何一个父节点的值，都大于或等于它左、右孩子节点的值。

4.2 小根堆

最小堆的任何一个父节点的值，都小于或等于它左、右孩子节点的值。

最大堆和最小堆的特点决定了：最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素；最小堆的堆顶是整个堆中的最小的元素。

因为堆的这种特征，堆常被用来解决TopN的问题。

后续，我会就上面介绍的一些常用的数据结构，在数据结构专栏做详细介绍。

以上，本人菜鸟一枚，如有错误，请不吝指正。