高等数学(第七版)同济大学 习题11-7
函数作图软件:Mathematica
1.试对曲面Σ:z=x2+y2,x2+y2≤1,P=y2,Q=x,R=z2验证斯托克斯公式.\begin{aligned}&1. \ 试对曲面\Sigma:z=x^2+y^2,x^2+y^2 \le 1,P=y^2,Q=x,R=z^2验证斯托克斯公式.&\end{aligned}1. 试对曲面Σ:z=x2+y2,x2+y2≤1,P=y2,Q=x,R=z2验证斯托克斯公式.
解:
按右手法则,Σ取上侧,Σ的边界Γ为圆周x2+y2=1,z=1,从z轴正向看去,取逆时针方向,∬Σ∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zy2xz2∣=∬Σ(1−2y)dxdy=∬Dxy(1−2y)dxdy,转换为极坐标形式,上式=∫02πdθ∫01(1−2ρsinθ)ρdρ=∫02π[ρ22−23ρ3sinθ]01dθ=∫02π(12−23sinθ)dθ=π,Γ的参数方程取x=cost,y=sint,z=1,t从0变到2π,因此∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∫02π(−sin3t+cos2t)dt=π.\begin{aligned} &\ \ 按右手法则,\Sigma取上侧,\Sigma的边界\Gamma为圆周x^2+y^2=1,z=1,从z轴正向看去,取逆时针方向,\\\\ &\ \ \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}dydz &dzdx &dxdy\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\y^2 & x &z^2\end{array}\right|=\iint_{\Sigma}(1-2y)dxdy=\iint_{D_{xy}}(1-2y)dxdy,转换为极坐标形式,\\\\ &\ \ 上式=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}(1-2\rho sin\ \theta)\rho d\rho=\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{\rho^2}{2}-\frac{2}{3}\rho^3sin\ \theta\right]_{0}^{1}d\theta=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}sin\ \theta\right)d\theta=\pi,\\\\ &\ \ \Gamma的参数方程取x=cos\ t,y=sin\ t,z=1,t从0变到2\pi,因此\\\\ &\ \ \oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{0}^{2\pi}(-sin^3\ t+cos^2\ t)dt=\pi. & \end{aligned} 按右手法则,Σ取上侧,Σ的边界Γ为圆周x2+y2=1,z=1,从z轴正向看去,取逆时针方向, ∬Σdydz∂x∂y2dzdx∂y∂xdxdy∂z∂z2=∬Σ(1−2y)dxdy=∬Dxy(1−2y)dxdy,转换为极坐标形式, 上式=∫02πdθ∫01(1−2ρsin θ)ρdρ=∫02π[2ρ2−32ρ3sin θ]01dθ=∫02π(21−32sin θ)dθ=π, Γ的参数方程取x=cos t,y=sin t,z=1,t从0变到2π,因此 ∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∫02π(−sin3 t+cos2 t)dt=π.
2.利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分:\begin{aligned}&2. \ 利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分:&\end{aligned}2. 利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分:
(1)∮Γydx+zdy+xdz,其中Γ为圆周x2+y2+z2=a2,x+y+z=0,若从x轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向;(2)∮Γ(y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz,其中Γ为椭圆x2+y2=a2,xa+zb=1(a>0,b>0),若从x轴正向看去,这椭圆是取逆时针方向;(3)∮Γ3ydx−xzdy+yz2dz,其中Γ是圆周x2+y2=2z,z=2,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;(4)∮Γ2ydx+3xdy−z2dz,其中Γ是圆周x2+y2+z2=9,z=0,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \oint_{\Gamma}ydx+zdy+xdz,其中\Gamma为圆周x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0,若从x轴的正向看去,这圆周是\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 取逆时针方向;\\\\ &\ \ (2)\ \ \oint_{\Gamma}(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,其中\Gamma为椭圆x^2+y^2=a^2,\frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1\ (a \gt 0,b \gt 0),若从x轴\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 正向看去,这椭圆是取逆时针方向;\\\\ &\ \ (3)\ \ \oint_{\Gamma}3ydx-xzdy+yz^2dz,其中\Gamma是圆周x^2+y^2=2z,z=2,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;\\\\ &\ \ (4)\ \ \oint_{\Gamma}2ydx+3xdy-z^2dz,其中\Gamma是圆周x^2+y^2+z^2=9,z=0,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向. & \end{aligned} (1) ∮Γydx+zdy+xdz,其中Γ为圆周x2+y2+z2=a2,x+y+z=0,若从x轴的正向看去,这圆周是 取逆时针方向; (2) ∮Γ(y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz,其中Γ为椭圆x2+y2=a2,ax+bz=1 (a>0,b>0),若从x轴 正向看去,这椭圆是取逆时针方向; (3) ∮Γ3ydx−xzdy+yz2dz,其中Γ是圆周x2+y2=2z,z=2,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向; (4) ∮Γ2ydx+3xdy−z2dz,其中Γ是圆周x2+y2+z2=9,z=0,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向.
解:
(1)取Σ为平面x+y+z=0的上侧被Γ所围成的部分,则Σ的面积为πa2,Σ的单位法向量为n=(cosα,cosβ,cosγ)=(13,13,13),根据斯托克斯公式,∮Γydx+zdy+xdz=∬Σ∣131313∂∂x∂∂y∂∂zyzx∣dS=∬Σ(−13−13−13)dS=−33∬ΣdS=−3πa2.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 取\Sigma为平面x+y+z=0的上侧被\Gamma所围成的部分,则\Sigma的面积为\pi a^2,\Sigma的单位法向量为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ n=(cos\ \alpha, \ cos\ \beta, \ cos\ \gamma)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \frac{1}{\sqrt{3}}, \ \frac{1}{\sqrt{3}}\right),根据斯托克斯公式,\oint_{\Gamma}ydx+zdy+xdz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{3}} &\frac{1}{\sqrt{3}} &\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\y &z &x\end{array}\right|dS=\iint_{\Sigma}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)dS=-\frac{3}{\sqrt{3}}\iint_{\Sigma}dS=-\sqrt{3}\pi a^2.\\\\ & \end{aligned} (1) 取Σ为平面x+y+z=0的上侧被Γ所围成的部分,则Σ的面积为πa2,Σ的单位法向量为 n=(cos α, cos β, cos γ)=(31, 31, 31),根据斯托克斯公式,∮Γydx+zdy+xdz= ∬Σ31∂x∂y31∂y∂z31∂z∂xdS=∬Σ(−31−31−31)dS=−33∬ΣdS=−3πa2.
(2)取Σ为平面xa+zb=1的上侧被Γ所围成的部分,Σ的单位法向量n=(cosα,cosβ,cosγ)=(ba2+b2,0,aa2+b2),根据斯托克斯公式,∮Γ(y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz=∬Σ∣ba2+b20aa2+b2∂∂x∂∂y∂∂zy−zz−xx−y∣dS=−2(a+b)a2+b2∬ΣdS,因为∬ΣdS=Σ的面积A,而A⋅cosγ=A⋅aa2+b2=Σ在xOy面上的投影区域的面积=πa2,所以∬ΣdS=πa2aa2+b2=πaa2+b2,则原式=−2(a+b)a2+b2⋅πaa2+b2=−2πa(a+b).\begin{aligned} &\ \ (2)\ 取\Sigma为平面\frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1的上侧被\Gamma所围成的部分,\Sigma的单位法向量n=(cos\ \alpha, \ cos\ \beta, \ cos\ \gamma)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ 0, \ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right),根据斯托克斯公式,\oint_{\Gamma}(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} &0 &\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\y-z &z-x &x-y\end{array}\right|dS=\frac{-2(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}\iint_{\Sigma}dS,因为\iint_{\Sigma}dS=\Sigma的面积A,而A\cdot cos\ \gamma=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ A\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\Sigma在xOy面上的投影区域的面积=\pi a^2,所以\iint_{\Sigma}dS=\frac{\pi a^2}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\pi a\sqrt{a^2+b^2},\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则原式=\frac{-2(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \pi a\sqrt{a^2+b^2}=-2\pi a(a+b).\\\\ & \end{aligned} (2) 取Σ为平面ax+bz=1的上侧被Γ所围成的部分,Σ的单位法向量n=(cos α, cos β, cos γ)= (a2+b2b, 0, a2+b2a),根据斯托克斯公式,∮Γ(y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz= ∬Σa2+b2b∂x∂y−z0∂y∂z−xa2+b2a∂z∂x−ydS=a2+b2−2(a+b)∬ΣdS,因为∬ΣdS=Σ的面积A,而A⋅cos γ= A⋅a2+b2a=Σ在xOy面上的投影区域的面积=πa2,所以∬ΣdS=a2+b2aπa2=πaa2+b2, 则原式=a2+b2−2(a+b)⋅πaa2+b2=−2πa(a+b).
(3)取Σ为平面z=2的上侧被Γ所围成的部分,则Σ的单位法向量为n=(0,0,1),Σ在xOy面上的投影区域Dxy为x2+y2≤4,根据斯托克斯公式,∮Γ3ydx−xzdy+yz2dz=∬Σ∣001∂∂x∂∂y∂∂z3y−xzyz2∣dS=−∬Σ(z+3)dS=−∬Dxy(2+3)dxdy=−5⋅π⋅22=−20π.(4)Γ为xOy面上的圆周x2+y2=9,取Σ为圆域x2+y2≤9的上侧,根据斯托克斯公式,∮Γ2ydx+3xdy−z2dz=∬Σ∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂z2y3x−z2∣=∬Σdxdy=∬Dxydxdy=9π.\begin{aligned} &\ \ (3)\ 取\Sigma为平面z=2的上侧被\Gamma所围成的部分,则\Sigma的单位法向量为n=(0, \ 0, \ 1),\Sigma在xOy面上的投影区域\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ D_{xy}为x^2+y^2 \le 4,根据斯托克斯公式,\oint_{\Gamma}3ydx-xzdy+yz^2dz=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}0 &0 &1\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\3y &-xz &yz^2\end{array}\right|dS=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -\iint_{\Sigma}(z+3)dS=-\iint_{D_{xy}}(2+3)dxdy=-5 \cdot \pi \cdot 2^2=-20\pi.\\\\ &\ \ (4)\ \Gamma为xOy面上的圆周x^2+y^2=9,取\Sigma为圆域x^2+y^2 \le 9的上侧,根据斯托克斯公式,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}2ydx+3xdy-z^2dz=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}dydz &dzdx &dxdy\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\2y &3x &-z^2\end{array}\right|=\iint_{\Sigma}dxdy=\iint_{D_{xy}}dxdy=9\pi. & \end{aligned} (3) 取Σ为平面z=2的上侧被Γ所围成的部分,则Σ的单位法向量为n=(0, 0, 1),Σ在xOy面上的投影区域 Dxy为x2+y2≤4,根据斯托克斯公式,∮Γ3ydx−xzdy+yz2dz=∬Σ0∂x∂3y0∂y∂−xz1∂z∂yz2dS= −∬Σ(z+3)dS=−∬Dxy(2+3)dxdy=−5⋅π⋅22=−20π. (4) Γ为xOy面上的圆周x2+y2=9,取Σ为圆域x2+y2≤9的上侧,根据斯托克斯公式, ∮Γ2ydx+3xdy−z2dz=∬Σdydz∂x∂2ydzdx∂y∂3xdxdy∂z∂−z2=∬Σdxdy=∬Dxydxdy=9π.
3.求下列向量场A的旋度:\begin{aligned}&3. \ 求下列向量场A的旋度:&\end{aligned}3. 求下列向量场A的旋度:
(1)A=(2z−3y)i+(3x−z)j+(y−2x)k;(2)A=(z+siny)i−(z−xcosy)j;(3)A=x2sinyi+y2sin(xz)j+xysin(cosz)k.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ A=(2z-3y)i+(3x-z)j+(y-2x)k;\\\\ &\ \ (2)\ \ A=(z+sin\ y)i-(z-xcos\ y)j;\\\\ &\ \ (3)\ \ A=x^2sin\ yi+y^2sin(xz)j+xysin(cos\ z)k. & \end{aligned} (1) A=(2z−3y)i+(3x−z)j+(y−2x)k; (2) A=(z+sin y)i−(z−xcos y)j; (3) A=x2sin yi+y2sin(xz)j+xysin(cos z)k.
解:
(1)rotA=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂z2z−3y3x−zy−2x∣=2i+4j+6k.(2)rotA=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zz+siny−(z−xcosy)0∣=i+j+(cosy−cosy)k=i+j.(3)rotA=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zx2sinyy2sin(xz)xysin(cosz)∣=[xsin(cosz)−xy2cos(xz)]i−ysin(cosz)j+[y2zcos(xz)−x2cosy]k.\begin{aligned} &\ \ (1)\ rot A=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\2z-3y &3x-z &y-2x\end{array}\right|=2i+4j+6k.\\\\ &\ \ (2)\ rot A=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\z+sin\ y &-(z-xcos\ y) &0\end{array}\right|=i+j+(cos\ y-cos\ y)k=i+j.\\\\ &\ \ (3)\ rot A=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\x^2sin\ y &y^2sin(xz) &xysin(cos\ z)\end{array}\right|=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ [xsin(cos\ z)-xy^2cos(xz)]i-ysin(cos\ z)j+[y^2zcos(xz)-x^2cos\ y]k. & \end{aligned} (1) rotA=i∂x∂2z−3yj∂y∂3x−zk∂z∂y−2x=2i+4j+6k. (2) rotA=i∂x∂z+sin yj∂y∂−(z−xcos y)k∂z∂0=i+j+(cos y−cos y)k=i+j. (3) rotA=i∂x∂x2sin yj∂y∂y2sin(xz)k∂z∂xysin(cos z)= [xsin(cos z)−xy2cos(xz)]i−ysin(cos z)j+[y2zcos(xz)−x2cos y]k.
4.利用斯托克斯公式把曲面积分∬ΣrotA⋅ndS化为曲线积分,并计算积分值,其中A,Σ及n分别如下:\begin{aligned}&4. \ 利用斯托克斯公式把曲面积分\iint_{\Sigma}rot A\cdot ndS化为曲线积分,并计算积分值,其中A,\Sigma及n分别如下:&\end{aligned}4. 利用斯托克斯公式把曲面积分∬ΣrotA⋅ndS化为曲线积分,并计算积分值,其中A,Σ及n分别如下:
(1)A=y2i+xyj+xzk,Σ为上半球面z=1−x2−y2的上侧,n是Σ的单位法向量;(2)A=(y−z)+yzj−xzk,Σ为立方体{(x,y,z)∣0≤x≤2,0≤y≤2,0≤z≤2}的表面外侧去掉xOy面上的那个底面,n是Σ的单位法向量.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ A=y^2i+xyj+xzk,\Sigma为上半球面z=\sqrt{1-x^2-y^2}的上侧,n是\Sigma的单位法向量;\\\\ &\ \ (2)\ \ A=(y-z)+yzj-xzk,\Sigma为立方体\{(x, \ y, \ z)\ |\ 0 \le x \le 2,0 \le y \le 2,0 \le z \le 2\}的表面外侧去掉xOy面上\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 的那个底面,n是\Sigma的单位法向量. & \end{aligned} (1) A=y2i+xyj+xzk,Σ为上半球面z=1−x2−y2的上侧,n是Σ的单位法向量; (2) A=(y−z)+yzj−xzk,Σ为立方体{(x, y, z) ∣ 0≤x≤2,0≤y≤2,0≤z≤2}的表面外侧去掉xOy面上 的那个底面,n是Σ的单位法向量.
解:
(1)Σ的正向边界曲线Γ为xOy面上的圆周x2+y2=1,从z轴正向看去Γ取逆时针向,Γ的参数方程为x=cost,y=sint,z=0,t从0变到2π,根据斯托克斯公式,∬ΣrotA⋅ndS=∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γy2dx+xydy+xzdz=∫02π[sin2t⋅(−sint)+cost⋅sint⋅cost]dt=∫02π(1−2cos2t)d(cost)=0.(2)Σ的边界曲线Γ为xOy面上由直线x=0,y=0,x=2,y=2所围成的正方形的边界,从z轴正向看去取逆时针向,根据斯托克斯公式,∬ΣrotA⋅ndS=∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(y−z)dx+yzzdy−xzdz=∮Γydx=∫202dx=−4.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \Sigma的正向边界曲线\Gamma为xOy面上的圆周x^2+y^2=1,从z轴正向看去\Gamma取逆时针向,\Gamma的参数方程为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ x=cos\ t,y=sin\ t,z=0,t从0变到2\pi,根据斯托克斯公式,\iint_{\Sigma}rot A\cdot ndS=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}y^2dx+xydy+xzdz=\int_{0}^{2\pi}[sin^2\ t\cdot (-sin\ t)+cos\ t\cdot sin\ t\cdot cos\ t]dt=\int_{0}^{2\pi}(1-2cos^2\ t)d(cos\ t)=0.\\\\ &\ \ (2)\ \Sigma的边界曲线\Gamma为xOy面上由直线x=0,y=0,x=2,y=2所围成的正方形的边界,从z轴正向看去取\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 逆时针向,根据斯托克斯公式,\iint_{\Sigma}rot A\cdot ndS=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\oint_{\Gamma}(y-z)dx+yzzdy-xzdz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}ydx=\int_{2}^{0}2dx=-4. & \end{aligned} (1) Σ的正向边界曲线Γ为xOy面上的圆周x2+y2=1,从z轴正向看去Γ取逆时针向,Γ的参数方程为 x=cos t,y=sin t,z=0,t从0变到2π,根据斯托克斯公式,∬ΣrotA⋅ndS=∮ΓPdx+Qdy+Rdz= ∮Γy2dx+xydy+xzdz=∫02π[sin2 t⋅(−sin t)+cos t⋅sin t⋅cos t]dt=∫02π(1−2cos2 t)d(cos t)=0. (2) Σ的边界曲线Γ为xOy面上由直线x=0,y=0,x=2,y=2所围成的正方形的边界,从z轴正向看去取 逆时针向,根据斯托克斯公式,∬ΣrotA⋅ndS=∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(y−z)dx+yzzdy−xzdz= ∮Γydx=∫202dx=−4.
5.求下列向量场A沿闭曲线Γ(从z轴正向看Γ依逆时针方向)的环流量:\begin{aligned}&5. \ 求下列向量场A沿闭曲线\Gamma(从z轴正向看\Gamma依逆时针方向)的环流量:&\end{aligned}5. 求下列向量场A沿闭曲线Γ(从z轴正向看Γ依逆时针方向)的环流量:
(1)A=−yi+xj+ck(c为常量),Γ为圆周x2+y2=1,z=0;(2)A=(x−z)i+(x3+yz)j−3xy2k,其中Γ为圆周z=2−x2+y2,z=0.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ A=-yi+xj+ck(c为常量),\Gamma为圆周x^2+y^2=1,z=0;\\\\ &\ \ (2)\ \ A=(x-z)i+(x^3+yz)j-3xy^2k,其中\Gamma为圆周z=2-\sqrt{x^2+y^2},z=0. & \end{aligned} (1) A=−yi+xj+ck(c为常量),Γ为圆周x2+y2=1,z=0; (2) A=(x−z)i+(x3+yz)j−3xy2k,其中Γ为圆周z=2−x2+y2,z=0.
解:
(1)Γ的参数方程为x=cost,y=sint,z=0,t从0变到2π,则∮ΓA⋅τds=∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(−y)dx+xdy+cdz=∫02π[(−sint)(−sint)+costcost]dt=∫02πdt=2π.(2)Γ是xOy面上的圆周x2+y2=4,参数方程为x=2cost,y=2sint,z=0,t从0变到2π,则∮ΓA⋅τds=∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(x−z)dx+(x3+yz)dy−3xy2dz=∮Γxdx+x3dy=∫02π[2cost⋅(−2sint)+8cos3t⋅2cost]dt=−4∫02πsintcostdt+16∫02πcos4tdt=0+64∫0π2cos4tdt=64⋅34⋅12⋅π2=12π.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \Gamma的参数方程为x=cos\ t,y=sin\ t,z=0,t从0变到2\pi,则\oint_{\Gamma}A\cdot \tau ds=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\oint_{\Gamma}(-y)dx+xdy+cdz=\int_{0}^{2\pi}[(-sin\ t)(-sin\ t)+cos\ tcos\ t]dt=\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi.\\\\ &\ \ (2)\ \Gamma是xOy面上的圆周x^2+y^2=4,参数方程为x=2cos\ t,y=2sin\ t,z=0,t从0变到2\pi,则\oint_{\Gamma}A\cdot \tau ds=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\oint_{\Gamma}(x-z)dx+(x^3+yz)dy-3xy^2dz=\oint_{\Gamma}xdx+x^3dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{2\pi}[2cos\ t \cdot (-2sin\ t)+8cos^3\ t\cdot 2cos\ t]dt=-4\int_{0}^{2\pi}sin\ tcos\ tdt+16\int_{0}^{2\pi}cos^4\ tdt=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 0+64\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^4\ tdt=64\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}=12\pi. & \end{aligned} (1) Γ的参数方程为x=cos t,y=sin t,z=0,t从0变到2π,则∮ΓA⋅τds= ∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(−y)dx+xdy+cdz=∫02π[(−sin t)(−sin t)+cos tcos t]dt=∫02πdt=2π. (2) Γ是xOy面上的圆周x2+y2=4,参数方程为x=2cos t,y=2sin t,z=0,t从0变到2π,则∮ΓA⋅τds= ∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(x−z)dx+(x3+yz)dy−3xy2dz=∮Γxdx+x3dy= ∫02π[2cos t⋅(−2sin t)+8cos3 t⋅2cos t]dt=−4∫02πsin tcos tdt+16∫02πcos4 tdt= 0+64∫02πcos4 tdt=64⋅43⋅21⋅2π=12π.
6.证明 rot(a+b)=rota+rotb.\begin{aligned}&6. \ 证明\ rot(a+b)=rot\ a+rot\ b.&\end{aligned}6. 证明 rot(a+b)=rot a+rot b.
解:
设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,其中ax,ay,az,bx,by,bz均为x,y,z的函数,则rot(a+b)=rot((ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k)=[∂(az+bz)∂y−∂(ay+by)∂z]i+[∂(ax+bx)∂z−∂(az+bb)∂x]j+[∂(ay+by)∂x−∂(ax+bx)∂y]k=[(∂az∂y−∂ay∂z)i+(∂ax∂z−∂az∂x)j+(∂ay∂x−∂ax∂y)k]+[(∂bz∂y−∂by∂z)i+(∂bx∂z−∂bz∂x)j+(∂by∂x−∂bx∂y)k]=rota+rotb.\begin{aligned} &\ \ 设a=a_xi+a_yj+a_zk,b=b_xi+b_yj+b_zk,其中a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z均为x,y,z的函数,则\\\\ &\ \ rot(a+b)=rot((a_x+b_x)i+(a_y+b_y)j+(a_z+b_z)k)=\\\\ &\ \ \left[\frac{\partial(a_z+b_z)}{\partial y}-\frac{\partial(a_y+b_y)}{\partial z}\right]i+\left[\frac{\partial(a_x+b_x)}{\partial z}-\frac{\partial(a_z+b_b)}{\partial x}\right]j+\left[\frac{\partial(a_y+b_y)}{\partial x}-\frac{\partial(a_x+b_x)}{\partial y}\right]k=\\\\ &\ \ \left[\left(\frac{\partial a_z}{\partial y}-\frac{\partial a_y}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial a_x}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y}\right)k\right]+\left[\left(\frac{\partial b_z}{\partial y}-\frac{\partial b_y}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial b_x}{\partial z}-\frac{\partial b_z}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial b_y}{\partial x}-\frac{\partial b_x}{\partial y}\right)k\right]=\\\\ &\ \ rot\ a+rot\ b. & \end{aligned} 设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,其中ax,ay,az,bx,by,bz均为x,y,z的函数,则 rot(a+b)=rot((ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k)= [∂y∂(az+bz)−∂z∂(ay+by)]i+[∂z∂(ax+bx)−∂x∂(az+bb)]j+[∂x∂(ay+by)−∂y∂(ax+bx)]k= [(∂y∂az−∂z∂ay)i+(∂z∂ax−∂x∂az)j+(∂x∂ay−∂y∂ax)k]+[(∂y∂bz−∂z∂by)i+(∂z∂bx−∂x∂bz)j+(∂x∂by−∂y∂bx)k]= rot a+rot b.
7.设u=u(x,y,z)具有二阶连续偏导数,求rot(gradu).\begin{aligned}&7. \ 设u=u(x, \ y, \ z)具有二阶连续偏导数,求rot(grad\ u).&\end{aligned}7. 设u=u(x, y, z)具有二阶连续偏导数,求rot(grad u).
解:
gradu=∂u∂xi+∂u∂yj+∂u∂zk,rot(gradu)=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂z∂u∂x∂u∂y∂u∂z∣=(∂2u∂z∂y−∂2u∂y∂z)i+(∂2u∂x∂z−∂2u∂z∂x)j+(∂2u∂y∂x−∂2u∂x∂y)k=0i+0j+0k=0.\begin{aligned} &\ \ grad\ u=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k,rot(grad\ u)=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\\frac{\partial u}{\partial x} &\frac{\partial u}{\partial y} &\frac{\partial u}{\partial z}\end{array}\right|=\\\\ &\ \ \left(\frac{\partial^2\ u}{\partial z\partial y}-\frac{\partial^2\ u}{\partial y\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial^2\ u}{\partial x\partial z}-\frac{\partial^2\ u}{\partial z\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial^2\ u}{\partial y\partial x}-\frac{\partial^2\ u}{\partial x\partial y}\right)k=0i+0j+0k=0. & \end{aligned} grad u=∂x∂ui+∂y∂uj+∂z∂uk,rot(grad u)=i∂x∂∂x∂uj∂y∂∂y∂uk∂z∂∂z∂u= (∂z∂y∂2 u−∂y∂z∂2 u)i+(∂x∂z∂2 u−∂z∂x∂2 u)j+(∂y∂x∂2 u−∂x∂y∂2 u)k=0i+0j+0k=0.