传送门:洛谷

解题思路:

设$f(i)$表示$i$个点的无向联通图的个数.设$g(i)$为$i$个点的无向图的个数.
考虑枚举一个点的联通分量包含点的个数,不妨标记为1号点.那么有:$$g(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)\ast C_{n-1}^{i-1}\ast g(n-i)$$
上述式子的含义就是枚举一号点的联通分量的个数,那么对于枚举的个数$i$,我们都可以选出除了$1$号点的$n-1$个点中的$i-1$个点作为我们的与$1$联通的点.该部分的方案数就是$i$个点的无向联通图的个数.那么对于剩下的$n-i$个来说,我们是无所谓的.所以该部分的方案数就是无向图的个数.

此时会发现,我们需要$g(0)=1$,但是我们光光由上述的式子无法确定$g(0)=1$,所以我们其实是需要考虑补充定义的,这部分全网几乎没有人提及.所以我们考虑补充定义:$$g(n)=[n=0]+\sum _{i=1}^{n}f(i)\ast C_{n-1}^{i-1}\ast g(n-i)$$.
接下来考虑$n>0$的情况(因为我们$g(0)=1$是规定好的),我们化解一下我们的式子:
$$g(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)\ast g(n-i)\ast \frac{(n-1)!}{(i-1)!\ast (n-i)!}$$$$\frac{g(n)}{(n-1)!}=\sum _{i=1}^n\frac{f(i)}{(i-1)!}\ast \frac{g(n-i)}{(n-i)!}$$

考虑设$F={\sum }_{i=1}^n\frac{f(i)}{(i-1)!}$,$G={\sum }_{i=0}^n\frac{g(i)}{i!},H={\sum }_{i=1}^n\frac{i}{(i-1)!}$
发现是一个卷积的形式.$$H=F\ast G$$
PS:此时可能会有人会有疑问了,我们此时为什么不需要加上$1$,这是由于我们左边的0次项系数为0,右边F的0此项系数也为0,G的0次项系数为1,我们此时不加上1才是满足等式成立的

然后此时我们的$F=H\ast G^{-1}$,使用多项式求逆和多项式乘法即可

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下面是具体的代码部分:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1,n,1
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
inline ll read() {ll x=0,w=1;char ch=getchar();for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';return x*w;
}
inline void print(__int128 x){if(x<0) {putchar('-');x=-x;}if(x>9) print(x/10);putchar(x%10+'0');
}
#define maxn 1000000
#define int long long
const int mod=1004535809;
const double eps=1e-8;
#define	int_INF 0x3f3f3f3f
#define ll_INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
int qpow(int a,int b) {int ans=1;while(b) {if(b&1) ans=ans*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return ans;
}
int rev[maxn];
void NTT(int *a,int n,int inv) {for(int i=0;i<=n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int len=1;len<=(n>>1);len<<=1) {int gn=qpow(inv==1?3:qpow(3,mod-2),(mod-1)/(len<<1));for(int i=0;i<=n;i+=(len<<1)) {int g0=1;for(int j=0;j<=len-1;j++) {int x=a[i+j],y=a[i+j+len]*g0;a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+len]=((x-y)%mod+mod)%mod;g0=g0*gn%mod;}}}
}
int INV_temp[maxn];
void INV(int *a,int *b,int deg) {if(deg==1) {b[0]=qpow(a[0],mod-2);return ;}INV(a,b,(deg+1)>>1);for(int i=0;i<deg;i++) INV_temp[i]=a[i];int limit=1,len=0;while(limit<=deg-1+deg-1) limit<<=1,len++;for(int i=0;i<=limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));NTT(INV_temp,limit,1);NTT(b,limit,1);for(int i=0;i<=limit;i++) {b[i]=((2*b[i]-INV_temp[i]*b[i]%mod*b[i]%mod)%mod+mod)%mod;}NTT(b,limit,-1);int inv=qpow(limit,mod-2);for(int i=0;i<=limit;i++) b[i]=b[i]*inv%mod;for(int i=deg;i<=limit;i++) b[i]=0;for(int i=0;i<=limit;i++) INV_temp[i]=0;
}
int fac[maxn],in_fac[maxn];
void init(int limit) {fac[0]=in_fac[0]=1;for(int i=1;i<=limit;i++) {fac[i]=fac[i-1]*i%mod;in_fac[i]=in_fac[i-1]*qpow(i,mod-2)%mod;}
}
int g[maxn],h[maxn],inv_g[maxn],f[maxn];
signed main() {int n=read();init(n);for(int i=0;i<=n;i++) {g[i]=qpow(2,i*(i-1)/2)*in_fac[i]%mod;}for(int i=1;i<=n;i++) {h[i]=qpow(2,i*(i-1)/2)*in_fac[i-1]%mod;}INV(g,inv_g,n+1);int limit=1,len=0;while(limit<=n+n) limit<<=1,len++;for(int i=0;i<=limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));NTT(h,limit,1);NTT(inv_g,limit,1);for(int i=0;i<=limit;i++) f[i]=h[i]*inv_g[i]%mod;NTT(f,limit,-1);int inv=qpow(limit,mod-2);for(int i=0;i<=limit;i++) f[i]=f[i]*inv%mod;cout<<fac[n-1]*f[n]%mod<<endl;return 0;
}