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Probabilistic Perspective of Noise

假设数据来源于一个确定的函数，叠加了高斯噪声。我们有：
$$y=h(x)+ϵ$$
其中 $ϵ\sim \mathcal{N}(0,{\beta }^{-1})$

等价地，给定输入 $x$，以及函数 $h$ 和噪声的精度 $\beta$，$y$ 的条件分布可以写作：
p { y ∣ x , h , β } = N ( y ∣ h ( x ) , β − 1 ) p\{y|x, h, \beta\} = \mathcal{N}(y|h(x), \beta ^ {-1}) p{y∣x,h,β}=N(y∣h(x),β−1)

即$y$ 的条件分布是以 $h(x)$ 为均值、以 ${\beta }^{-1}$ 为方差的正态分布。

我们现在有一个由 $n$ 个数据点组成的数据集 $S=\{(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)\}$。我们假设数据点是独立同分布的，即每个数据点的生成不依赖于其他数据点。因此，整个数据集 $S$ 的似然是所有单个数据点似然的乘积：
$$p(S|X,h,{\beta }^{-1})=\prod _{i=1}^{n}p(y_i|h(x_i),{\beta }^{-1})$$

这个似然模型告诉我们，对于给定的函数 $h$ 和噪声精度 $\beta$，数据集 $S$ 的"可能性"或"合理性"是多少。

假设我们的模型参数为 $h$，先验分布为 $p(h)$，那么基于贝叶斯定理，参数 $h$ 的后验分布为：
$$p(h|S)=\frac{p(S|h)p(h)}{p(S)}$$
其中，$p(S|h)$ 是似然，$p(S)$ 是边缘似然，与参数 $h$ 无关。

MAP估计就是找到使后验分布 $p(h|S)$ 最大的参数 $h$。由于分母 $p(S)$ 与 $h$ 无关，所以MAP估计等价于：
$$h_{\text{MAP}}=\underset{h}{\mathrm{argmax}}p(S|h)p(h)$$
取负对数，问题可以转化为：
h MAP = arg min ⁡ h { − ln ⁡ p ( S ∣ h ) − ln ⁡ p ( h ) } h_{\text{MAP}} = \argmin_{h} \{-\ln p(S|h) - \ln p(h)\} hMAP​=hargmin​{−lnp(S∣h)−lnp(h)}

为了解决这个优化问题，你通常需要的是：

1. 一个关于似然的负对数的表达式
2. 一个关于先验的负对数的表达式

回顾我们的似然模型：
$$p(S|X,h,{\beta }^{-1})=\prod _{i=1}^n\mathcal{N}(y_i|h(x_i),{\beta }^{-1})$$

根据正态分布的定义：
$$\mathcal{N}(y|h(x),{\beta }^{-1})=\frac{\beta }{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{\beta (y-h(x){)}^2}{2}\right)$$

因此，我们可以写出似然函数为：
$$p(S|X,h,{\beta }^{-1})=\prod _{i=1}^n\frac{\beta }{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{\beta (y_i-h(x_i){)}^2}{2}\right)$$

对似然函数取对数，我们得到：
$$\ln p(S|X,h,{\beta }^{-1})=\sum _{i=1}^n\ln \frac{\beta }{\sqrt{2\pi }}-\frac{\beta (y_i-h(x_i){)}^2}{2}$$

将上述式子进一步拆分并合并相似的项，我们可以得到：
$$\ln p(S|X,h,{\beta }^{-1})=n\ln \beta -\frac{n}{2}\ln (2\pi )-\frac{\beta }{2}\sum _{i=1}^n(y_i-h(x_i){)}^2$$

此时，$-\frac{\beta }{2}{\sum }_{i=1}^n(y_i-h(x_i){)}^2$就是我们定义的风险$R_S(h)$的部分，它表示模型在训练数据上的平均误差。

因此，我们有：
$$-\ln p(S|h)=-\frac{n}{2}\ln \beta +\frac{n}{2}\ln (2\pi )+\frac{\beta }{2}n{R}_S(h)$$

这就是似然的负对数的表达式。

为了完整地解决优化问题，你还需要一个先验的负对数形式。比如，如果$h$的先验是高斯分布，那么负对数先验的形式会是$h$的二次函数。

结合似然和先验的负对数形式，你可以使用优化技巧（例如梯度下降）来求解$h_{\text{MAP}}$。这样得到的$h_{\text{MAP}}$既考虑了数据的似然，又考虑了先验知识，从而可能得到更好、更稳定的估计结果。

Bias and Variance

当 $\lambda$ 很小或为0时：模型可能会过于复杂，拟合训练数据中的每一个细节，包括噪声。这会导致低偏差但高方差，即模型容易过拟合。

当 $\lambda$ 很大时：模型会变得过于简单，参数值会被强烈地压缩，导致模型不能很好地捕获数据中的模式。这会导致高偏差但低方差，即模型容易欠拟合。

Robustness among Surrogate Loss Functions

在许多优化问题中，直接对目标函数进行操作可能会非常困难。可能是因为这个函数在数学上很复杂，或者它涉及到的计算量太大，导致直接优化不切实际。在这些情况下，转化或重参数化问题可以使其更容易处理。

在这里，考虑 $g(t)=f(th)$ 是一个这样的尝试。通过引入新的变量 $t$ 并考虑如何改变 $h$ 的长度（即通过 $t$ 来缩放），我们试图在某种程度上简化问题。

当 $t=1$ 时，我们实际上是在查看原始函数 $f$ 在点 $h$ 的行为。如果 $g^{\prime }(1)=0$，那么我们知道 $f$ 在 $h$ 这点取得极值（可能是最小值或最大值）。因此，这个技巧为我们提供了另一种方式来寻找 $f(h)$ 的最小值点，而不是直接对 $f$ 进行操作。

现在考虑四种损失函数及其对应的$g^{\prime }(1)$：

1. 最小二乘损失 (Least squares loss):
   $$\ell (h(x_i),y_i)=(y_i-h(x_i){)}^2$$
   这意味着，
   $$g^{\prime }(1)=-2\sum _{i=1}^n(y_i-h(x_i))h(x_i)$$

2. 绝对损失 (Absolute loss):
   $$\ell (h(x_i),y_i)=|y_i-h(x_i)|$$
   这的导数与误差的符号有关。

3. Cauchy损失 (Cauchy loss):
   $$\ell (h(x_i),y_i)=\log (1+\frac{(y_i-h(x_i){)}^2}{{\sigma }^2})$$
   其中，$\sigma$是一个正的常数。

4. Correntropy损失 (Welsch loss):
   $$\ell (h(x_i),y_i)=\frac{{\sigma }^2}{2}(1-\exp (-\frac{(y_i-h(x_i){)}^2}{{\sigma }^2}))$$

对于每个损失函数，$g^{\prime }(1)$都会有一个与$c_i=(y_i-h(x_i))(-h(x_i))$相关的项。这个项可以被看作是数据点$(x_i,y_i)$对损失函数的贡献与$h(x_i)$的关系。具体地说，$c_i$可以被看作为两部分的乘积：

• $(y_i-h(x_i))$：这是观测值$y_i$与预测值$h(x_i)$之间的误差。此误差项衡量了模型在特定数据点上的预测准确性。

• $-h(x_i)$：这是模型预测的负值，这种乘积形式通常是为了衡量模型的响应强度和误差之间的关系。在某些情境中，更强烈的模型响应（无论正负）可能与更大的误差相关。

整体来说，$c_i$是一个衡量在数据点$(x_i,y_i)$上模型响应强度与模型误差之间关系的量。不同的损失函数会对这些项赋予不同的权重，当误差（或噪声）增大时，某些损失函数会对这些项赋予更小的权重，从而更"鲁棒"。

NMF

1. 标准的NMF (Basic NMF):
   使用欧氏距离或Frobenius范数来最小化重建误差。此方法对噪声敏感。
   $$\underset{W,H}{\min }\Vert X-WH{\Vert }_F^2\text{ subject to }W\ge 0,H\ge 0$$

2. L1-Norm Regularized Robust NMF:
   在NMF的基础上加入L1正则化项，旨在捕获噪声和离群值。
   $$\underset{W,H,E}{\min }\Vert X-WH-E{\Vert }_F^2+\lambda \Vert E{\Vert }_1\text{ subject to }W\ge 0,H\ge 0$$

3. L1-Norm Based NMF:
   使用L1范数来衡量重建误差，使得分解更加鲁棒，尤其是对噪声和离群值。L1范数倾向于产生稀疏的解。
   $$\underset{W,H}{\min }\Vert X-WH{\Vert }_1\text{ subject to }W\ge 0,H\ge 0$$

4. L2,1-Norm Based NMF:
   使用L2,1范数来增强鲁棒性。L2,1范数可以鼓励列的稀疏性，使得某些特定的特征在所有样本上都为零，这有助于去除离群值带来的影响。
   $$\underset{W,H}{\min }\Vert X-WH{\Vert }_{2,1}\text{ subject to }W\ge 0,H\ge 0$$

5. Truncated Cauchy NMF:
   这种方法使用截断的Cauchy损失来增加鲁棒性。与L1和L2范数相比，Cauchy损失更能够容忍较大的离群值，因此这种方法在面对有很多噪声和离群值的数据时更为鲁棒。

6. Hypersurface Cost Based NMF:
   通过在损失函数中加入超曲面成本项来增加鲁棒性。此方法试图找到描述数据变化的超曲面，从而更好地应对噪声和离群值。