理解随机变量$X$和$x$的区别，$F_X(x)$、$f_X(x)$
$X$代表的是随机变量，$x$是样本值，是$X$的具体取值，分布函数$F_X(x)$和概率密度$f_X(x)$中的下角标大写$X$代表的就是随机变量，$x$是自变量取值。
$e.g.P(X=x)=0.3$

$F_X(x)$和$F_X(y)$的理解
问：$F_X(y)$是谁的函数？对$F_X(y)$求导得到的是谁的概率密度函数？
$e.g.$
已知随机变量X的分布函数是F_X(x)，随机变量$Y=\frac{X}{2}$，求Y的概率密度函数$
解：
F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { X 2 ≤ y } = P { X ≤ 2 y } = F X ( 2 y ) F_Y(y)=P\{Y≤y\}=P\{\frac{X}{2}≤y\}=P\{X≤2y \}=F_X(2y) FY​(y)=P{Y≤y}=P{2X​≤y}=P{X≤2y}=FX​(2y)
$f_Y(y)=2f_X(2y)$(求导后由分布函数变成概率密度函数)
总结：
$F_X(2y)$虽然右下角下标是$X$，但它依然是$y$的函数，对$F_X(2y)$求导的本质是对$y$求导，得到$2f_X(2y)$，这是一个复合函数求导，先对$F_X(x)$求导，再对$x=2y$求导

$F(x)$和$F(X)$的理解
$F(x)$是$F_X(x)$的简写，是$X$的分布函数，那$F(X)$是____？
理解：给随机变量$X$作用一个函数$F()$，得到的$F(X)$是一个新的随机变量，一般做题时令$Y=F(X)$，去求$Y$的分布函数、概率密度函数或者数字特征.
e.g.
2019年（数一、数三）14题
设随机变量X的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}& 0<x<2\\ 0& 其他\end{array}$，$F(x)$为$X$的分布函数，$EX$为$x$的数学期望，则 P { F ( X ) > E X − 1 } = _ _ _ _ P \{ F(X)>EX-1 \}=\_\_\_\_ P{F(X)>EX−1}=____
解：$EX={\int }_0^{2}x\cdot \frac{x}{2}dx=\frac{x^3}{6}{|}_0^2=\frac{4}{3}$
现在就是求 P { F ( X ) > 1 3 } P\{ F(X)>\frac{1}{3}\} P{F(X)>31​}，令$Y=F(X)$，注意这是个随机变量（不是分布函数），但我们需要先求x的分布函数
$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ {\int }_0^x\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}& 0\le x<2\\ 1& x\ge 2\end{array}$
由于$F(X)$和$F(x)$的对应法则是一样的，所以直接把$x$变成$X$即可得到$F(X)$
$F(X)=\{\begin{array}{ll}0& X<0\\ \frac{X^2}{4}& 0\le X<2\\ 1& X\ge 2\end{array}$