本文是ZJU Crypto School 2023中Lattice 3-4相关内容的总结。

在这一篇文章中，我们将涉及：

1. $LWE\le PKE$，此即，我们可以基于LWE构造公钥加密
2. 进一步地，我们如何构造签名？FHE？怎么优化参数？

此即：构造
$$LWE\le PKE$$
$$LWE\le SIG$$
$$LWE\le FHE$$
（在后两者中，我们将使用格Trapdoor技巧）

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PKE

首先，我们回顾Oded Regev的PKE构造方案（的一种构造方式）。它是很多IBE/FHE方案的基础。

$\mathrm{KeyGen}$：我们生成$A\in {\mathbb{Z}}_q^{n\times m}$。（这里需要$A$是一个矮胖的矩阵，即$n<m$）。$r$是一个短向量，不妨认为 r ∈ { 0 , 1 } m r \in \{0, 1\}^m r∈{0,1}m。计算$u=Ar$。
于是：

• 公钥$pk=(A,u=Ar)$
• 私钥$sk=r$。

${\mathrm{Enc}}_{pk}(m)$：我们生成均匀随机(uniformly random)的$s\leftarrow {\mathbb{Z}}_q^n$，计算
$$(c_1,c_2)=(sA+e,su+e^{\prime }+\frac{q}{2}m)$$
其中$e,e^{\prime }$都是噪声。则$(c_1,c_2)$为密文。

${\mathrm{Dec}}_{sk}(c_1,c_2)$：计算$\lfloor c_2-c_1\cdot r\rceil$。其中$\lfloor \cdot \rceil$是取整。

我们考察解密正确性，即计算$c_2-c_1\cdot r$。

$$c_2-c_{1}r$$
$$=(su+e^{\prime }+\frac{q}{2}m)-(sA+e)r$$
$$=sAr+e^{\prime }+\frac{q}{2}m-sAr-er$$
$$=\frac{q}{2}m+e^{\prime }-er$$

其中后面的$e^{\prime }+se-er$是小的。于是，我们只需要考察$\frac{q}{2}m$是接近于0还是接近于$\frac{q}{2}$（在$\mathrm{mod}q$意义下）。

在这里。我们需要知道$r$是一个短向量。如果$r$太大，那么无法保证解密的正确性。

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PKE安全性

下面，我们考虑上述PKE方案的安全性。我们首先观察密文的形式：

$$(c_1,c_2)=(sA+e,su+e^{\prime }+\frac{q}{2}m)$$

注意到$c_1,c_2$长得都比较像LWE的sample。$c_1$显然就是一个LWE。如果$u$是uniformly random的向量，那么$c_2$也将是一个LWE的sample。

但是$u=Ar+e$，从构造上来看，$u$其实并不是在${\mathbb{Z}}_q^n$上uniformly random的。因为$r$是在 { 0 , 1 } m \{0, 1\}^m {0,1}m上均匀随机的而不是在${\mathbb{Z}}_q^n$上均匀随机的。

但是$u$实际上和uniformly random（在统计上）不可区分的。

为了说明这样一件事情，我们引入Leftover Hash Lemma（LHL）。

它大概是说，你如果从 { 0 , 1 } \{0, 1\} {0,1}中均匀随机选$r$，那么$u=Ar$的分布和均匀随机（在统计上）不可区分。

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剩余哈希引理（LHL）

引理（Leftover Hash Lemma, LHL）. $A\leftarrow {\mathbb{Z}}_q^{n\times m}$， r ← { 0 , 1 } m r \leftarrow \{0, 1\}^m r←{0,1}m，$u\leftarrow {\mathbb{Z}}_q^n$。如果$m>n\log q+O(\frac{1}{\log q})$，那么
$$(A,Ar){\approx }_{ϵ}(A,u)$$

其中，${\approx }_{ϵ}$指统计距离的差为$ϵ$。

即，$(A,Ar)$和$(A,u)$是统计上不可区分的。

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我们在这里不会去证明LHL。但是，我们提供一种理解LHL的思路：LHL本质上是一种对随机性的提取或者降维(Randomness extraction)。

假设存在一个随机源$r$。这个$r$均匀采样于 { 0 , 1 } m \{0, 1\}^m {0,1}m，但是如果把这个$r$放在${\mathbb{Z}}_q^m$下，那么它显然不是${\mathbb{Z}}_q^m$上均匀随机的。

我们计算$Ar$。这个$Ar$就是一个提取（或者压缩）随机性的过程。矮胖的矩阵$A$就是提取器。

取对数底数为2，于是$r$的熵是$m\log 2$。如果$u$是真随机的，那么$u$的熵就是$n\log q$。

因此，如果$m\log 2$比$n\log q$大一点点，那么可以认为$r$中包含的随机性足够萃取成一个${\mathbb{Z}}_q^n$上的随机向量。我们就可以在计算上认为$Ar$就是随机的。

从这里的分析来看，引理中涉及的不等式$m>n\log q+O(\frac{1}{\log q})$似乎是存在一些不准确的地方。

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定理. 上述PKE是安全的，并且密文是伪随机的。

我们需要证明，$(pk,{\mathrm{Enc}}_{pk}(m))$和$(pk,uniform)$是统计不可区分的。

$(pk,{\mathrm{Enc}}_{pk}(m))=(A,u=Ar,sA+e,su+e^{\prime }+\frac{q}{2}m)$，

我们有$pk=(A,u=Ar)$和$(A,u_0)$不可区分(LHL)。这里$u_0$是真·均匀随机。

于是$(pk,{\mathrm{Enc}}_{pk}(m))$和$(A,u_0,sA+e,su+e^{\prime }+\frac{q}{2}m)$不可区分。

根据LWE问题（和LHL），$(A,u_0,sA+e,su+e^{\prime }+\frac{q}{2}m)$和$(A,u_0,u_1,u_2+\frac{q}{2}m)$是不可区分的。其中$u_1,u_2$是真·均匀随机。

最后，由于一次性密码本，$(A,u_0,u_1,u_2+\frac{q}{2}m)$和$(A,u_0,u_1,u_2)$是不可区分的。

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PKE的另一种形式

$\mathrm{KeyGen}$：

• $pk=(A,u)$，其中$A\leftarrow {\mathbb{Z}}_q^{m\times n}(m>n),u=As+e$。$A$是一个高矩阵。
• $sk=s$

$\mathrm{Enc}$：生成向量 r ← { 0 , 1 } m r \leftarrow \{0, 1\}^m r←{0,1}m。注意到$r$是小的。则${\mathrm{Enc}}_{pk}(m)=(rA,ru+\frac{q}{2}m)$。注意到，这里我们在加密的时候没有加噪声，那么密文的形式不再是LWE。于是在分析安全性的时候，就不能用到LWE了。

$\mathrm{Dec}$：给定密文$(c_1,c_2)$，计算$\lfloor c_2-c_{1}s\rceil$。

（希望大家可以根据上下文分清$m$作为维度和作为明文的区别。本文中这么写并不严谨，但是希望不会影阅响读）

解密的正确性：$$c_2-c_{1}s$$
$$=ru+\frac{q}{2}m-rAs$$
$$=rAs+re+\frac{q}{2}m-rAs$$
$$=\frac{q}{2}m+re$$

安全性分析：我们将简述$(pk,Enc(m))\approx (pk,u_0)$的证明思路，其中$u_0$是真·均匀随机。

首先，
$$(A,u,c_1,c_2)$$
$$=(A,u=As+e,c_1=rA,c_2=ru+\frac{q}{2}m)$$

于是根据DLWE，我们无法区分
$(A,As+e,rA,ru+\frac{q}{2}m)$和$(A,z_1,rA,r{z}_2+\frac{q}{2}m)$。其中$z_i$是真·均匀随机。

又根据LHL，我们无法区分$rA$和均匀随机向量、$r{z}_2$和随机向量。

名词拓展：Dual Mode Encryption。我们真实的pk是$(A,u=As+e)$，但是这个pk是和$(A,z)$是不可区分的。如果我们用真实的pk加密，就会得到上面的分布，用sk解密的话也能恢复明文的信息。但是如果用$(A,z)$进行加密，那么你得到的结果就是均匀随机的东西。DME大概的意思是，你有可能在KeyGen时生成真实世界的pk，然后加解密过程就一切如常。但是在分析的时候，我们可以生成一个和真实世界不可区分的pk，那么在加密后，你的消息会被完完全全地掩盖。于是安全性得到了保证。

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格中的陷门(Trapdoor)

陷门这个东西，可以拿来构造一些诸如签名、IBE、FHE的方案。

首先，什么是陷门？一种未经证实的类比，陷门类似于软件的后门。一个黑客直接攻破一个App难度很大。但是如果我们有软件后门，那么攻破这个App就有可能变得简单。

给定LWE/SIS问题，如果我们有了陷门，那么求解SIS/LWE问题就是简单的。如果没有陷门，那么求解SIS/LWE问题就是难的。

我们以SIS问题为例。随机选定$A$, 任意给定$u$，我们想找一个短向量$r$，使得$Ar=u$。这就是SIS问题。找到符合要求的$r$就意味着破解了SIS。

但是，如果我们换个顺序，给定$A,r$，计算$Ar=u$，这就是很简单的事情。

陷门的存在就支持我们做这样的更换顺序的事情。具体地，SIS陷门意味着给你一个矩阵$T$，你就可以把上述SIS问题变成给定$A,r$，计算$Ar=u$的问题。如果没有这个$T$，你就做不到这个事情。

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早期，GPV方案构造了一个陷门，但是构造比较复杂。

后来，MP12方案构建了一个非常漂亮的陷门：G-Trapdoor。G-Trapdoor的命名来源于构造中产生的一个特定矩阵$G$。可以基于MP12方案构造很多有意思的东西。

给定矩阵$G$和向量$u$，我们要找小的$r$，使得$Gr=u$。如果$G$和$u$是随机的，那么这个事情不容易啊。但是，如果我们非常巧合地把$G$选成了单位矩阵$I$，那么这个事情就有可能是非常简单的。

具体地，假如我们在格${\mathbb{Z}}_q^2$上随机采样选取格基$(1,0)$和$(0,1)$，把它捏成矩阵$G$（于是$G$是单位矩阵），那么对于任意的向量$u$，求解$Gr=u$的过程将变成无聊的报坐标过程。但是如果我们对$G$做一个线性变换，搞出来一个随机矩阵$A$，那么求解$Az=u$就基本意味着解SIS了。

今天，我们假设有这样一个让整件事情变得容易的$G$。如果对于选定的随机矩阵$A$，存在一个矩阵$T$，使得$AT=G$，那么如何找到$z$，使得$Az=u$？

我们可以走如下的步骤：

1. 采样$r$，使得$Gr=u$
2. 输出$z=Tr$。于是$A(Tr)=u$。

此处，$T$就是陷门。其实，给定随机的矩阵$A$，寻找$T$是很困难的。

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$G$能做到的事情还不止这些。

给定$(G,sG+e)$，找出$s$和$e$也是比较简单的。

我们假设这样的$G$存在。那么我们是不是也可以构造一个LWE的陷门呢？

假设我们知道$AT=G$，那么我们有$sAT+eT=sG+e^{\prime }$。于是可以顺利地求解出$s$和$e$。在这里，我们说这个$G$可以做LWE Inversion。

注意，我们对于$T$有一些额外的要求：如果$T$过大，那么$eT=e^{\prime }$就是大的，可能导致解密的失败。

在前述的SIS陷门中也有同样的要求：如果$T$太大，$Tr$也不可避免地会变大（输出的$z$就不是短向量了）。

下面的问题就是，能不能以及如何找到一个高品质的（小的）$T$。

构造方法：

1. 首先，和经典的、不带Trapdoor的LWE一样，采样$A\leftarrow {\mathbb{Z}}_q^{n\times m}$（A是一个矮胖的矩阵）

2. Trapdoor采样：采样$(A,B)$。并且，如果我们把$B$遮住，我们希望$A$看着就像均匀随机。MP12中的构造方法如下：

   构造$[A_1{A}_2]$，其中$A_i\in Z_q^{n\times m},i=1,2$。$A_1$来自均匀采样，$A_2=A_{1}R+G$，其中 R ← { 0 , 1 } m × m R \leftarrow \{0, 1\}^{m \times m} R←{0,1}m×m均匀随机。

   这里，我们还没说$G$怎么生成，但是我们先假设存在这样的$G$。

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几个问题：

1. 这里的$A$为什么和Uniformly random不可区分？因为LHL。

2. 怎么把$A$转换到$G$？即$A\cdot ?=G$？

   我们构造$\left[\begin{array}{c}{A}_1{A}_{1}R+G\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-R\\ I\end{array}\right]=G$，于是$T=\left[\begin{array}{c}-R\\ I\end{array}\right]$。这里，矩阵$R$决定了$T$的构造品质（范数）。

3. 需要注意，$G$并不唯一。但是，存在构造$G$的方法（比如下面将要介绍的构造）。

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$G$是什么，需要满足什么性质？

1. 给定$G$，$\forall u$，可以找到短向量$Gr=u$。
2. 当用$G$作为LWE中的矩阵时，LWE问题应当是简单的。

MP12中给出了$G$的构造：

选取向量$g=[1248\cdots \frac{q}{2}]$。于是$G=g\otimes I_n$，其中$\otimes$是Kroneckor积。

有了这个向量$g$，给定数字$a$，我们可以求解$r$，使得$g\cdot r=a$。（二进制分解）

同理，$Gr=u$也可以进行计算。其中$u$是向量。

上面的步骤构造了基于SIS的陷门。

这个陷门如何用于LWE问题呢？

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假设$q=2^k$。我们给定如前所述的向量$g$，采样LWE example：$sg+e$。其中，$s$是数字，$e$是向量。LWE问题的的目标是，寻找$s$和$e$。

我们将向量拆解。$sg+e$是对这两个向量（都在$\mathrm{mod}q$意义下）求和：
$$(ss\cdot 2\cdots s\cdot 2^{k-1})$$
$$(e_0{e}_1\cdots e_{k-1})$$

我们考虑$s\cdot 2^{k-1}+e_{k-1}$。我们总是可以将$s$写成$s=2s^{\prime }+s_0$。于是$s\cdot 2^{k-1}+e_{k-1}=2^k{s}^{\prime }+2^{k-1}\cdot s_0+e_{k-1}$。

在$q=2^k$的时候，你可以把$2^k{s}^{\prime }$模掉，于是得到：$2^{k-1}{s}_0+e_{k-1}$。通过rounding就可以从中提取到$s_0$。这意味着，我们提取到了$s$的最低比特位。重复这一步骤，于是我们可以求解出数字$s$的每一个比特位，于是求解到整个$s$。

最后，在SIS Trapdoor中，实际过程并不是输出$z=Tr$这么简单。它确实是输出短向量，但是这个短向量有可能泄露$T$的信息。于是另一个问题是，我有一个Trapdoor，我可以找到一个短向量，但是这个短向量并不泄露$T$的信息。处理的方法是给整套流程再添加一些随机项。

最后达到的目的就是，我们采样的样本只和格有关系，而和我们使用哪一组Trapdoor无关。

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基于陷门的签名

有了Trapdoor以后，GPV方案基于它构造了签名：

$\mathrm{KeyGen}$：$(A,T)$——产生陷门。$pk=A,sk=T$。

$\mathrm{Sign}(m)$。计算$r_m$，使得$A\cdot r_m=H(m)$。其中，$H(m)$是$m$的哈希值。注意，需要有私钥$T$的参与才能完成签名。

关于验签，我们只需要验证两件事：

1. $r_m$是一个短向量；
2. $A\cdot r_m=H(m)$。

定理. 在SIS问题的安全性假设以及random oracle（用于哈希）的安全性假设下，签名函数$\mathrm{Sign}(\cdot )$是安全的。

证明思路. 我们假设存在攻击者，他可以攻破这个签名函数。我们的证明目标是，存在归约，使得攻击者可以攻破SIS。

签名安全性的大致内容：一个对消息$m$的签名如果是不安全的，那么意味着可以找到碰撞$m^{\prime }$，使得对$m,m^{\prime }$进行签名的结果是一样的。

首先，我们生成$(A,T)$对，将$A$公开。攻击者知道签名$r$，于是知道$H(m)$，但是不知道私钥$T$和签名对应的明文$m$。

根据定义，攻击者可以通过查询RO来获取消息对应的哈希值。这意味着，RO需要维护一张表，对于给定的输入$x$，RO要能查到对应的$r$，并且返回$H(x)=Ar$。

现在假设攻击者要伪造$m^{\ast },r^{\ast }$使得$A{r}^{\ast }=H(m^{\ast })=H(m)$。

于是有$A(r-r^{\ast })=0$。

这意味着攻击者可以攻破SIS。

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全同态加密（Fully Homomorphic Encryption）

首先，看一下全同态加密的概念。

我们任意选取若干的明文$x_1,...,x_n$。与此同时有一个特殊的加密方案$(KeyGen,Enc,Dec)$。我们可以计算一个函数$f(x_1,...,x_n)$。现在我们分别对这些明文进行加密，得到$c_i=Enc(x_i),i=1,...,n$。这个特殊加密方案还支持对密文$c_1,...,c_n$做一些密文的运算$EncEval(f)$。计算$EncEval(f)(c_1,...,c_n)$之后解密的结果，和在明文状态下计算$f(x_1,...,x_n)$的结果是一样的。这就是同态加密的概念。

同态加密到目前为止经历了四代：

• 第一代：Gentry在2009年提出的基于ideal lattice的加密方案。
• 第二代：BV, BGV, BFV等方案——基于RLWE问题，支持对一个整数向量进行加密，进而支持SIMD运算。
• 第三代：GSW，一个非常简洁的方案。FHEW, TFHE等。
• 第四代：CKKS方案，支持浮点向量的运算。但是，第四代和第二代的方法没有什么本质上的差别，主要是编码消息时使用的技巧(基于Canonical Embedding)有所不同。但是这个方案因为可以对浮点数进行操作，所以在隐私保护机器学习中还是比较火的。

这一部分将基于GSW方案进行介绍。

这个方案有一个特征，就是在$KeyGen$时需要对外暴露两个Key。一个是公钥$pk$，一个是在做同态计算时用到的密钥$evk$。

下面，我们来看具体的实现。

$\mathrm{KeyGen}$. 首先生成随机矩阵$A$，采样私钥$sk=s$，计算公钥$pk=\left[\begin{array}{c}A\\ b\end{array}\right]=B$，其中$b=sA+e$，$e$是误差。可以根据LHL证明$pk$的伪随机性。

$\mathrm{Enc}$. 对比特$m$进行加密。给定比特 m ∈ { 0 , 1 } m \in \{0, 1\} m∈{0,1}，计算$C=BR+mG$，其中 R ∈ { 0 , 1 } M × M R \in \{0, 1\}^{M \times M} R∈{0,1}M×M。

$\mathrm{Dec}$. 假如我们直接计算$(-s,1)\cdot C=(-s,1)BR+(-s,1)mG=eR+(-s,1)mG$，我们会发现仍然无法计算出$m$。其中，$(-s,1)\cdot B=b-sA=e$。

下面的问题在于如何提取$m$。我们找一个向量$r$，使得
$$Gr=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ q/2\end{array}\right]$$

于是有：$(-s,1)\cdot Cr=(-s,1)BRr+(-s,1)mGr=e^{\prime \prime }+mq/2$。只需要考察$e^{\prime \prime }+mq/2$更接近0还是$q/2$就可以了。

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下面，我们考察加法的计算。假设有$C_1=B{R}_1+m_{1}G$和$C_2=B{R}_2+m_{2}G$。

可以直接得到：$C_1+C_2=B(R_1+R_2)+(m_1+m_2)G$。

但是做乘法不是那么容易。假设有$C_1=B{R}_1+m_{1}G$和$C_2=B{R}_2+m_{2}G$。我们所希望的是，做乘法之后的密文仍然有类似于$BR+mG$的密文形式。

一个直观的想法是计算$C_1{G}^{-1}{C}_2$。

首先，我们可以计算矩阵$G$的逆$G^{-1}$。则有$G{G}^{-1}=I$。

于是计算密文乘法的过程就类似于：

$$(B{R}_1+m_{1}G)G^{-1}{C}_2$$
$$=B{R}_1{G}^{-1}{C}_2+m_{1}G{G}^{-1}{C}_2$$
$$=B{R}^{\prime }+m_{1}B{R}_2+m_1{m}_{2}G$$
$$=B{R}^{\prime }+B{m}_1{R}_2+m_1{m}_{2}G$$
$$=B{R}^{\prime \prime }+m_1{m}_{2}G$$

于是转化成了我们想要的形式。

我们观察上述的乘法操作，可以发现：

1. $G^{-1}$大概将噪声扩大了$\sqrt{n}$倍。

2. 假如给定密文$C_1,C_2$，它们的噪声界分别为$b_1>b_2$，那么你计算$C_1{C}_2$和计算$C_2{C}_1$的噪声界存在差别，因为乘法的先后次序不同，引入的噪声是不一样的。

   在这个情况下，计算$C_2{G}^{-1}{C}_1$的噪声要比$C_1{G}^{-1}{C}_2$要小。

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全同态加密的自举操作（Bootstrapping）

由于时间不够，课件里主要从high level讲了Bootstrapping。这里，我们建议读者参考本人的这篇博客给出的关于自举的简介。