高精度计算专题

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MT2191 整数大小比较

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

给出两个正整数，判断它们的大小。

格式

输入格式：两个正整数。
输出格式：若前者大，输出 >；若后者大，输出 <；若一样大，输出 =。

样例 1

输入：1412894619244619891 23762842222

输出：>

备注

保证所有数在 $2^{100}$ 以内。

相关知识点：高精度计算

题解

虽然这道题是比较数字的大小，但实际上我们不用关心其数字的取值范围（可以从字符串对象的角度出发进行比较）。对于任意两个正整数，它们之间的大小关系可根据以下两步进行比较：

1. 数字长度。对于正整数而言，显然长度越长的数更大。
2. 若长度相等，则从数的最高位到最低位依次比较大小，在某位上具有更大数字的数更大。

若 1、2 之后未能找到更大的数，则说明这两个数的取值相同。

基于此，可直接写出求解该题的完整代码（已 AC）：

/*MT2191 整数大小比较 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;// 比较两个大数的大小 
int compare(string stra, string strb)
{// 根据长度判断大小关系 int lenA = stra.length();int lenB = strb.length();if(lenA > lenB) return 1;if(lenA < lenB) return -1;// 长度相等需要进一步判断for(int i=0; i<lenA; i++){if(stra[i] - strb[i] > 0) return 1;if(stra[i] - strb[i] < 0) return -1;}// 或者直接比较字符串大小// if(stra > strb) return 1;// else if(stra < strb) return -1;// else return return 0;
}// 打印结果
void printResult(int result)
{if(result > 0) cout<<">"<<endl;else if(result < 0) cout<<"<"<<endl;else cout<<"="<<endl;
}int main( )
{// 获取输入 string stra, strb;cin>>stra>>strb;// 比较两个大数的大小int result = compare(stra, strb);// 输出比较结果printResult(result);return 0;
} 

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MT2192 A+B problem

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

计算 $A+B(1\le A,B\le {10}^{10000})$。

格式

输入格式：两行每行一个整数 $A,B$。
输出格式：一个整数 $A+B$。

样例 1

输入：

1
1

输出：

2

相关知识点： 高精度计算

题解

这道题考察的是大数运算（加法）。关于如何实现大数加法运算的分析请见博客 【算法与数据结构】——大数运算 。下面给出多位数加法的执行流程：

多位数加法的过程涉及到对各个位的加法运算，因此在处理大数的加法运算时，通常会用一个 int 型数组来存储大数在各个位上的值。例如，数：122333444455555666666，可通过一个足够长的数组 $ary[]$ ，使 $ary\left[0\right]=1,ary\left[1\right]=2,ary\left[3\right]=2,\dots ,ary\left[20\right]=6$ 进行存储。采取数位与索引大小相对应的存储方式（即数的低位对应较小的索引，高位对应较大的索引），是为了便于大数在执行加法运算时的进位可直接在数组中向后拓展。接下来，就能按照以上思路扫描数组并对各个位进行加法运算。最后，单独用一层循环处理进位即可。

下面直接给出求解本题的完整代码（已 AC）：

/*MT2192 A+B problem 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;const int N = 1e4+5;
int numa[N], numb[N];// 计算两个大数之和（输入为字符串） 
void getSum(string stra, string strb)
{// 赋初值memset(numa, 0, sizeof(numa));memset(numb, 0, sizeof(numb));int tmp = 0;// 将两个字符串保存至 int 型数组中（注意逆序） for(int i=stra.length()-1; i>=0; i--)numa[tmp++] = stra[i] - '0';tmp = 0;for(int i=strb.length()-1; i>=0; i--)numb[tmp++] = strb[i] - '0';// 将数组中的每个数按位进行加法运算for(int i=0;i<N;i++)numa[i] += numb[i];// 对存放加法结果的数组执行进位处理for(int i=0; i<N; i++){numa[i+1] += numa[i] / 10;numa[i] %= 10;}
}// 输出大数加法后的结果 
void printBigData()
{// 从最高位向后扫描，直到第 1 个非 0 数字出现 int p = N-1;while(numa[p] == 0) p--;while(p >= 0) cout<<numa[p--];cout<<"\n";
} int main( )
{// 获取输入 string stra, strb;cin>>stra>>strb;// 对两个大数进行加法运算 getSum(stra, strb);// 输出和printBigData();return 0;
} 

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MT2193 A-B problem

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

计算 $A-B(1\le B\le A\le {10}^{10000})$。

格式

输入格式：两行每行一个整数 $A,B$。
输出格式：一个整数 $A-B$。

样例 1

输入：

2
1

输出：

1

相关知识点： 高精度计算

题解

这道题考察的是大数运算（减法）。关于如何实现大数减法运算的分析请见博客 【算法与数据结构】——大数运算 。下面给出多位数减法的执行流程：

多位数减法需要用到 int 型数组来存储大数在各个位上的值，其存储规则和大数加法一致（即低位对应较小的索引，高位对应较大的索引）。接下来，只需要扫描数组，在每个位上按照以上思路进行减法运算即可得到大数减法的结果。

下面直接给出求解本题的完整代码（已 AC）：

/*MT2193 A-B problem 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;const int N = 1e4+5;
int numa[N], numb[N];// 计算两个大数之差（输入为字符串） 
void getSub(string stra, string strb)
{// 赋初值memset(numa, 0, sizeof(numa));memset(numb, 0, sizeof(numb));int tmp = 0;// 将两个字符串保存至 int 型数组中（注意逆序） for(int i=stra.length()-1; i>=0; i--)numa[tmp++] = stra[i] - '0';tmp = 0;for(int i=strb.length()-1; i>=0; i--)numb[tmp++] = strb[i] - '0';// 将数组中的每个数按位进行减法运算for(int i=0;i<N;i++){numa[i] -= numb[i];if(numa[i] < 0){// 借位 numa[i+1]--; numa[i] += 10;}}
}// 输出大数减法后的结果 
void printBigData()
{// 从最高位向后扫描，直到第 1 个非 0 数字出现 int p = N-1;while(numa[p] == 0) p--;while(p > -1) cout<<numa[p--];cout<<"\n";
} int main( )
{// 获取输入 string stra, strb;cin>>stra>>strb;// 对两个大数进行减法运算 getSub(stra, strb);// 输出和printBigData();return 0;
} 

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MT2194 大斐列

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

计算斐波那契数列第 $n$ 项。
斐波那契数列定义为：$F[1]=1，F[2]=1$，递推关系为：$F[N]=F[N-1]+F[N-2]$。即：$1、1、2、3、5、8、13、21、34、\dots \dots$

格式

输入格式：一个整数 $n$。
输出格式：一个整数 $F[n]$。

样例 1

输入：6

输出：8

备注

对于 30% 的数据：$3\le n\le 20$。
对于 100% 的数据：$3\le n\le 5000$。

相关知识点：高精度计算

题解

这道题实际上就是求斐波那契数列：即通过迭代公式 $F[N]=F[N-1]+F[N-2]$，不断获取下一个值。但是斐波那契数列的增长速度非常快，通过编写 Python 代码可知（代码如下），斐波那契数列的第 5000 个数的长度达到了 1045。因此这道题是一道妥妥的大数加法问题。

# 求斐波那契的第 5000 项
ary = [1,1]
for i in range(2,5000):ary.append(ary[i-1]+ary[i-2])
print(ary[4999])
print(len(str(ary[4999])))

所以这里依然需要用到大数加法。具体的实现方式和前面类似，在此就不赘述。

下面给出基于以上思路写出的完整代码（已 AC）：

/*MT2194 大斐列 通过 python 算出最后数字（即第 5000 项）的长度为 1045
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;const int N = 1100;
int numa[N], numb[N], numc[N];// 计算斐波那契数列
void getFibonacci(int n)
{// 赋初值memset(numa, 0, sizeof(numa));memset(numb, 0, sizeof(numb));memset(numc, 0, sizeof(numc));numa[0] = numb[0] = 1;n -= 2;// 递推求解斐波那契数列并统计前缀和 while(n--){// 将数组中的每个数按位进行加法运算 for(int i=0;i<N;i++)numc[i] = numa[i] + numb[i];// 对存放加法结果的数组执行进位处理for(int i=0; i<N; i++){numc[i+1] += numc[i] / 10;numc[i] %= 10;}// 将数组进行前向赋值（从而实现递推）memcpy(numa, numb, sizeof(numb));memcpy(numb, numc, sizeof(numc));}
}// 输出大数加法后的结果 
void printBigData()
{// 从最高位向后扫描，直到第 1 个非 0 数字出现 int p = N-1;while(numc[p] == 0) p--;while(p > -1) cout<<numc[p--];cout<<"\n";
} int main( )
{// 获取输入 int n;cin>>n;// 求出斐波那契数列 getFibonacci(n);// 输出指定项 printBigData();return 0;
} 

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MT2195 升级版斐波那契数列

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

我们都知道斐波那契数列一项是前两项的和，现在我们规定一个升级版斐波那契数列，其一项为前三项的和，要求算其前 $n$ 项的和。即，定义：$F[1]=1，F[2]=1，F[3]=1$，递推关系为：$F[N]=F[N-1]+F[N-2]+F[N-3]$。

格式

输入格式：一个整数 $n$；
输出格式：前 $n$ 项的和。

样例 1

输入：4

输出：6

备注

其中：$4\le n\le 1000$。

相关知识点：高精度计算

题解

这道题依然考察了大数加法，和前面一题类似，下面直接给出求解本题的完整代码（已 AC）：

/*MT2195 升级版斐波那契数列 通过 python 算出最后数字（即第 1000 项）的长度为 265，整个数列的数字之和长度为 265
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;const int N = 300;
int numa[N], numb[N], numc[N], numd[N], preSum[N];// 计算斐波那契数列
void getFibonacci(int n)
{// 赋初值memset(numa, 0, sizeof(numa));memset(numb, 0, sizeof(numb));memset(numc, 0, sizeof(numc));memset(numd, 0, sizeof(numd));memset(preSum, 0, sizeof(preSum));numa[0] = numb[0] = numc[0] = 1;preSum[0]  = 3;n -= 3;// 递推求解斐波那契数列并统计前缀和 while(n--){// 将数组中的每个数按位进行加法运算 for(int i=0;i<N;i++)numd[i] = numa[i] + numb[i] + numc[i];// 对存放加法结果的数组执行进位处理for(int i=0; i<N; i++){numd[i+1] += numd[i] / 10;numd[i] %= 10;}// 将当前项累加至前缀和数组中for(int i=0;i<N;i++)preSum[i] += numd[i];for(int i=0; i<N; i++){preSum[i+1] += preSum[i] / 10;preSum[i] %= 10;}// 将数组进行前向赋值memcpy(numa, numb, sizeof(numb));memcpy(numb, numc, sizeof(numc));memcpy(numc, numd, sizeof(numd));}
}// 输出大数加法后的结果 
void printBigData()
{// 从最高位向后扫描，直到第 1 个非 0 数字出现 int p = N-1;while(preSum[p] == 0) p--;while(p > -1) cout<<preSum[p--];cout<<"\n";
} int main( )
{// 获取输入 int n;cin>>n;// 求出斐波那契数列 getFibonacci(n);// 输出前缀和 printBigData();return 0;
} 

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MT2196 2的N次幂

难度：黄金    时间限制：1秒    占用内存：128M

题目描述

任意给定一个正整数 $N(N\le 100)$ ，计算 2 的 $N$ 次方的值。

格式

输入格式：一个正整数 $N$；
输出格式：输出 $2^N$ 的值。

样例 1

输入：5

输出：32

相关知识点：高精度计算

题解

$2^n$ 在 $n$ 取 100 时，是一个长度为 31 的大数，因此也是一道高精度题。与前面不同的是，这道题要求的是乘幂运算。但实际上，数的乘幂运算就等于进行 “幂” 次乘法运算（叠乘），乘数为底数。所以求解该题的关键实际是基于乘法运算的高精度计算问题，关于如何实现大数乘法运算的分析请见博客 【算法与数据结构】——大数运算 。

这里选用的数据结构依然是 int 型数组，其存储规则和大数加法一致（即低位对应较小的索引，高位对应较大的索引）。不过在算法一开始，需要将该数组的最低位置为底数（即 2）。接下来，定义一重循环（循环次数为 $n-1$），每遍都执行以下两步：

• 将存放大数的数组中的每一位都乘以底数；
• 遍历整个数组执行进位。

算法结束时，即得到了大数乘幂运算的结果。下面给出基于以上思路得到的完整代码：

/*MT2196 2的N次幂  
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;// 题目给的数据范围保证了结果不超过 32 位 
const int N = 32;
int num[N];// 高精度乘幂运算
void getHighPrecision(int base, int power)
{// 初始化存放运算结果的数组 memset(num, 0, sizeof(num));// 给数组赋初值 num[0] = base;// 执行乘幂运算 while(--power){// 将数组中的每个数进行乘法运算 for(int i=0; i<N; i++)num[i] *= base;// 对数组执行进位处理for(int i=0; i<N; i++){num[i+1] += num[i] / 10;num[i] %= 10;}}
}// 输出高精度运算后的大数
void printBigData()
{// 从最高位向后扫描，直到第 1 个非 0 数字出现 int p = N-1;while(num[p] == 0) p--;while(p > -1) cout<<num[p--];cout<<"\n";
} int main( )
{// 获取输入 int n;cin>>n;// 执行乘幂的高精度运算getHighPrecision(2, n);// 输出 printBigData();return 0;
} 

END

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