二分查找（Binary Search）及常见的具体实现(C++和Python)

二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的算法。它通过将目标值与数组中间元素进行比较，从而排除掉一半的元素。如果目标值小于中间元素，则在数组的左半部分继续查找；如果目标值大于中间元素，则在数组的右半部分继续查找；如果目标值等于中间元素，则找到了目标值。重复这个过程，直到找到目标值或者确定目标值不存在于数组中。二分查找通常要求待查找的数组是有序的。相比线性搜索，二分查找具有更高的效率。

二分查找前提是数据是有序的，具体实现方式：递归实现和迭代实现。应用于二分查找，递归实现将搜索范围逐渐缩小，直到找到目标元素或搜索范围为空。迭代实现使用一个循环来更新搜索范围，直到找到目标元素或搜索范围为空。

下面是对递归和迭代的解释：

递归：

递归是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。在递归中，函数会调用自身来解决同类的子问题，直到达到基本情况（也称为递归终止条件），然后再将所有子问题的解合并得到最终结果。递归的关键在于找到递归终止条件和递归调用的过程。

递归算法的一个关键概念是“自相似性”，也就是说，一个问题的解决方案可以通过解决一个或多个较小的、类似的子问题来得到。

迭代：

迭代是一种通过循环来重复执行一系列操作，直到达到预期结果的方法。在迭代中，问题的解决方案被分解为一系列有序的步骤，每一步都会改变问题的状态，直至达到目标状态或条件。迭代通常使用循环结构（如 for、while 循环）来实现。

二分查找（Binary Search）是一种高效的查找算法，它可以在有序数组或有序列表中快速定位目标值。下面介绍以下两种常见的具体实现方式：

二分查找递归实现

1.确定搜索范围的low 端 （也称为左边界 left）和high 端（右边界 right），初始时为数组的第一个元素和最后一个元素。

2.计算中间元素的索引 mid：mid = low + (high - low) / 2。

3.如果中间元素等于目标值，则返回该索引。

4.如果中间元素大于目标值，则在左半部分继续查找：递归调用二分查找函数，更新搜索范围的右边界为 mid - 1。

5.如果中间元素小于目标值，则在右半部分继续查找：递归调用二分查找函数，更新搜索范围的左边界为 mid + 1。

6、如果左边界大于右边界，则表示没有找到目标值，返回 -1。

二分查找迭代实现

1.确定搜索范围的low 端 和high 端，初始时为数组的第一个元素和最后一个元素。

2.循环终止条件是左边界小于等于右边界。

3.在循环中，计算中间元素的索引 mid：mid = low + (high - low) / 2。

4.如果中间元素等于目标值，则返回该索引。

5.如果中间元素大于目标值，则更新搜索范围的右边界为 mid - 1。

6.如果中间元素小于目标值，则更新搜索范围的左边界为 mid + 1。

7.如果循环结束时左边界大于右边界，则表示没有找到目标值，返回 -1。

以上两种实现方式都是基于有序数组或有序列表进行查找，通过不断缩小搜索范围来快速定位目标值。递归实现使用函数递归调用来实现查找过程，而迭代实现则使用循环来进行迭代查找。两种方式的时间复杂度都是 O(log n)。

下面给出C++和Python实现递归算法和迭代算法的二分查找代码示例。

★二分法查找C++ 递归算法实现：

#include <iostream>
using namespace std;int binarySearchRecursive(int arr[], int low, int high, int target) {if (low > high) {return -1; // 没有找到目标值，返回-1}int mid = low + (high - low) / 2;if (arr[mid] == target) {return mid; // 找到目标值，返回索引} else if (arr[mid] > target) {return binarySearchRecursive(arr, low, mid - 1, target); // 在左半部分继续查找} else {return binarySearchRecursive(arr, mid + 1, high, target); // 在右半部分继续查找}
}int main() {int arr[] =  {1, 3, 5, 7, 9, 11};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);int target = 3; // int result = binarySearchRecursive(arr, 0, n - 1, target);if (result == -1) {cout << "Target not found" << endl;} else {cout << "Target found at index: " << result << endl;}return 0;
}

提示：C++ 中，sizeof(arr) / sizeof(arr[0]) 可以得到一维数组的长度。

★Python 递归算法实现

def binarySearchRecursive(arr, low, high, target):if low > high:return -1 # 没有找到目标值，返回-1mid = low + (high - low) // 2if arr[mid] == target:return mid # 找到目标值，返回索引elif arr[mid] > target:return binarySearchRecursive(arr, low, mid - 1, target) # 在左半部分继续查找else:return binarySearchRecursive(arr, mid + 1, high, target) # 在右半部分继续查找arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11]
target = 3result = binarySearchRecursive(arr, 0, len(arr) - 1, target)if result == -1:print("Target not found")
else:
print("Target found at index:", result)

★C++ 迭代算法实现：

#include <iostream>
using namespace std;int binarySearchIterative(int arr[], int low, int high, int target) {while (low <= high) {int mid = low + (high - low) / 2;if (arr[mid] == target) {return mid; // 找到目标值，返回索引} else if (arr[mid] < target) {low = mid + 1; // 在右半部分继续查找} else {high = mid - 1; // 在左半部分继续查找}}return -1; // 没有找到目标值，返回-1
}int main() {int arr[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);int target = 3;int result = binarySearchIterative(arr, 0, n - 1, target);if (result == -1) {cout << "Target not found" << endl;} else {cout << "Target found at index: " << result << endl;}return 0;
}

★python迭代算法实现：

def binarySearchIterative(arr, low, high, target):while low <= high:mid = low + (high - low) // 2if arr[mid] == target:return mid # 找到目标值，返回索引elif arr[mid] < target:low = mid + 1 # 在右半部分继续查找else:high = mid - 1 # 在左半部分继续查找return -1 # 没有找到目标值，返回-1arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11]
target = 3result = binarySearchIterative(arr, 0, len(arr) - 1, target)if result == -1:print("Target not found")
else:print("Target found at index:", result)

以上代码示例分别展示了使用C++和Python语言实现递归算法和迭代算法的二分查找。核心思想都是二分查找的模板算法，所不同的是实现方式的不同，但二者的原理都是相同的。