文章目录

Ch2. 一维随机变量及其分布
- 1.一维随机变量
- - 1.随机变量
  - 2.分布函数 $F (x)$
  - - (1)定义
    - (2)分布函数的性质 (充要条件)
    - (3)分布函数的应用——求概率
    - - 3.最大最小值函数
- 2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)
- 3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)
- 4.一般类型(混合型)随机变量及其分布
- 5.常见的随机变量分布类型：八大分布
- - 1.离散型 (5种)
  - - ①0-1分布
    - ②二项分布 X~B(n,p)
    - ③泊松分布
    - ④几何分布
    - ⑤超几何分布
  - 2. 连续型 (3种)
  - - ①均匀分布
    - ②指数分布
    - ③正态分布
    - - 独立可加性 (XY独立且同类型分布)
- 6.一维随机变量函数的分布
Ch3. 多维随机变量及其分布
- 1.二维(n维)随机变量
- - 1.多维随机变量
  - 2.多维随机变量的分布函数
  - - (1)联合分布函数
    - (2)边缘分布函数
- 2.二维离散型随机变量及其分布
- - (1)联合分布律
  - (2)边缘分布律
  - (3)条件分布律
- 3.二维连续型随机变量及其分布
- - (1)二维随机变量的概率密度 f(x,y)：联合概率密度
  - - (1)定义
    - (2)性质
  - (2)边缘分布
  - - 1.边缘概率分布
    - 2.边缘概率密度
  - (3)条件分布
  - - 1.条件概率密度
    - 2.条件分布函数
  - (4)二维均匀分布
  - (5)二维正态分布
- 4.独立性【随机变量的独立性】
- - (1)定义 (相互独立的充要条件)
  - (2)独立的性质
- 5.二维随机变量函数的分布
- - (1)(离散型,离散型)→离散型
  - (2)(连续型,连续型)→连续型
  - - ①分布函数法
    - ②卷积公式
  - (3)(离散型,连续型)→连续型
  - - ①离散+连续：全概率公式

Ch2. 一维随机变量及其分布

1.一维随机变量

1.随机变量

①X=X(ω)
②一般用大写字母表示

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2.分布函数 $F (x)$

(1)定义

1.定义：
称函数 $F(x)=P\{ X≤x\} \ (-∞<x<+∞)$ 为随机变量X的分布函数，或称 X服从F(x)分布，记为X~F(x)

(2)分布函数的性质 (充要条件)

① $0 \leq F (x) \leq 1$ ：分布函数是事件的概率，满足有界性
② $F (x) 单调不减$ ：x从-∞取到+∞的过程中，F(x)单调不减，从0逐渐变大到1
③ $F (x) 右连续$ ：F(a+0)=F(a)
④ $\lim\limits_{x→-∞}F(x)=F(-∞)=0，\lim\limits_{x→+∞}F(x)=F(+∞)=1$

若函数F(x)满足性质②-④，则F(x)必为某个随机变量的分布函数。

⑤ $f (x) = F^{'} (x)$

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(3)分布函数的应用——求概率

1.一元分布函数：
$P\{X≤a\}=F(a)$

$P\{X<a\}=F(a^-)$

$P\{X=a\}=P\{X≤a\}-P\{X＜a\}=F(a)-F(a^-)$
【一点处的概率，用于离散型、混合型随机变量】

若 $P\{X=a\}=0，即F(a)-F(a^-)$ ，即要求左连续。

$P\{X>a\}=1-P\{X≤a\}=1-F(a)$

因为分布函数统一用F字母，所以不同分布函数是用F的不同角标来区分，如X和Y不同分布，则分布函数为 $F_X(z)、F_Y(z$ )

2.二元分布函数：
$F_Z(z) = P\{Z≤z\}=P\{Z(X,Y)≤z\}$

3.最大最小值函数

① $P\{max\{X,Y\}≤a\}=P\{X≤a，Y≤a\}$

② $P\{min\{X,Y\}≥a\}=P\{X≥a，Y≥a\}$

$P\{a<max\{X,Y\}≤b\}=P\{a<U≤b\}=P\{U≤b\}-P\{U≤a\}=P\{X≤b，Y≤b\}-P\{X≤a，Y≤a\}$

例题1：08年7. Z=max{X,Y}与Z=min{X,Y}的分布函数
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分析：
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$F²(x)：Z=max\{X,Y\}$ ，独立，同分布
$F(x)F(y)：Z=max\{X,Y\}$ ，独立，不同分布
$1-[1-F(x)]²：Z=min\{X,Y\}$ ，独立，同分布
$1-[1-F(x)][1-F(y)]：Z=min\{X,Y\}$ ，独立，不同分布

答案：A

例题1变式——将Z改为 $Z=min\{X,Y\}$ ，再求Z的分布函数

分析：主要是看①max还是min，②是否同分布。就看这两个。最大值是乘积，最小值是 1-[ ]，同分布无角标，不同分布有角标

①分布函数的定义：分布函数F与概率P的关系
②最大值最小值的定义
③独立：P的乘积可拆为乘积的P，同理F可拆
④同分布：角标可以抹去了，合并。

答案：
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4.习题

习题1：10年7.
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分析： $P{X=1}=F(1)-F(1-0)=1-e^{-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-e^{-1}$

答案：C

习题2：19年14. 分类讨论、数学期望
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分析：
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答案： $\dfrac{2}{3}$

习题3：09年8.
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分析：

答案：B

习题4：23李林四(一)9.
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分析：

答案：D

习题5：16年22(3)

常见的两类随机变量——离散型随机变量、连续型随机变量

2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)

1.离散型随机变量：如果随机变量X只能取有限个或可列个值 $x_1,x_2,...$ ，则称X为离散型随机变量

2.分布律：
(1)分布律的定义
称 $P\{X=x_i\}=p_i，i=1,2,...$ 为离散型随机变量X的分布律或 X的概率分布，记为 $\sim p_i$ 。其函数图形为“步步高的阶梯函数”。

离散型随机变量的概率分布是分布律。可用矩阵或表格表示。

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(2)分布律的性质(充要条件)
① $p_k≥0$
②规范性(归一性)： $\sum\limits_{i=1}^{+∞}p_i=1$

3.特点
(1)分布函数 $F(x)=\sum\limits_{x_i≤x}p_i$ ，即F(x) = x扫过的离散点的概率之和。F(x)是“步步高的阶梯函数”。
(2)归一性： $\sum\limits_{i=1}^np_i=1$
(3)概率：
①一点处概率： $P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)$
②区间上概率： $P\{X∈B\}=\sum\limits_{x_i∈B}p_i$

4.离散型随机变量的概率分布（分布律）

①先求该离散型随机变量的取值范围，一一列举：
Z=XY的取值范围：-1，0，1

②求每一个取值的概率：
P{XY=-1}=…
P{XY=0}=…
P{XY=1}=…

③列分布律：

Z=XY	-1	0	1
P

例题1：23李林四(一)16. 数学期望+分布律
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分析：

答案： $\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$

3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)

1.定义：
若随机变量X的分布函数可表示为 $F(x)=\int_{-∞}^xf(t)dt \ (-∞<x<+∞)$ ，
其中f(x)是非负可积函数，则称X为连续型随机变量，称f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度，记为 X~f(x)

2.概率密度f(x)的性质、充要条件：
①非负性： $f (x) \geq 0$

②归一性： $\int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1$

③ $P\{a<X≤b\} = F(b) - F(a)= \int_{a}^{b}f(x){\rm d}x$

④在f(x)的连续点x处， $F^{'} (x) = f (x)$

其中①② 非负性和归一性，是f(x)成为概率密度的充要条件

已知f(x)为概率密度，则 $f(ax+b)为概率密度\Leftrightarrow a=±1$
【若|a|≠1，或f(x²) 或f²(x)均不是概率密度】

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$F_1(x)F_2(x)$ 为 $max\{X₁,X₂\}$ 的分布函数， $f_1(x)F_2(x)+F_1(x)f_2(x)$ 为它的概率密度

3.求解f(x)
①F(x)求导：先求F(x)，则 $f (x) = F^{'} (x)$
②由二维概率密度求边缘概率密度：已知f(x,y)表达式，则 $f_X(x)=\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy$

4.特点
(1)分布函数 $F(x)=P\{X≤x\}=\int_{-∞}^xf(t)dt$ ，记为 $X\sim f(x)$ 。F(x)是连续函数。
(2)f(x)非负、可积，且有归一性： $\int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1$
(3)概率：
①一点处概率： $P\{X=a\}=0$ 。(即＜、≤的概率相等)
②区间上概率： $P\{X∈B\}=\int_Bf(x){\rm d}x$

5.概率P、分布函数F、概率密度f的关系
① $P\{X≤a\}=F(a)=\int_{-∞}^af(x)dx$
$P\{X>a\}$ $1-P\{X≤a\}=1-F(a)$ $=\int_a^{+∞}f(x)dx$
$P$ { $a < X \leq b$ } $=\int_a^bf(x)dx$

② $F(x)=\int_{-∞}^xf(t)dt$
$f (x) = F^{'} (x)$

f可以唯一确定F，但F不能推出f。如U(a,b)和U[a,b]，f的x一个开区间，一个闭区间，都能得到同样的F(x)

例题1：02年10.
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分析：
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A. $\int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=\int_{-∞}^{+∞}(f_1(x)+f_2(x))dx=\int_{-∞}^{+∞}f_1(x)dx+\int_{-∞}^{+∞}f_2(x)dx=2≠1 \quad ∴f_1(x)+f_2(x)$ 不是概率密度
B. $\int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=\int_{-∞}^{+∞}f_1(x)f_2(x)dx≠1\quad ∴f_1(x)f_2(x)$ 不是概率密度
C. $F(+∞)=F_1(+∞)+F_2(+∞)=2≠1 \quad ∴F_1(x)+F_2(x)$ 不是分布函数

D.① $0≤F_1(x)F_2(x)≤1$
② $F_1(x)F_2(x)$ 单调不减
③ $F_1(x)F_2(x)$ 右连续
④ $F(+∞)=F_1(+∞)F_2(+∞)=1，F(-∞)=F_1(-∞)F_2(-∞)=0$
∴ $F_1(x)F_2(x)$ 必为某个随机变量的分布函数。

答案：D

例题2：11年7.
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分析：
①如果对乘法的求导法则熟悉，则会发现D的 $f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x) = [F_1(x)F_2(x)]'$
②验证性质： $\int_{-∞}^{+∞}f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)\rm dx=F_1(x)F_2(x)|_{-∞}^{+∞}=1×1-0×0=1$
满足 $f (x) \geq 0$ 、 $\int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1$ ，为概率密度

答案：D

6.习题

习题1：2016年23.

求概率密度，先求分布函数，再求导。

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答案：
（1）F_T(t) = P{T≤t} = P{ max{X₁，X₂，X₃}≤t } = P{ X₁≤t，X₂≤t，X₃≤t } = P{X₁≤t}·P{X₂≤t}·P{X₃≤t} = P³{X≤t} = F³_X(t)

（2）aT为θ的无偏估计 ⇦⇨ E(aT)=θ

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4.一般类型(混合型)随机变量及其分布

1.定义
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2.解题
只能用定义 $F(X)=P\{X≤x\}$ ，分区间讨论。最好画图。注意自变量取遍(-∞,+∞)

3.类型
①离散型→离散型
②连续型→连续型或混合型

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5.常见的随机变量分布类型：八大分布

1.离散型 (5种)

①0-1分布

0-1分布的概率分布为：
① $P\{X=1\}=p，P\{X=0\}=1-p$

或 ② $P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}，k=0,1$

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②二项分布 X~B(n,p)

n重伯努利实验：干一件事，要么成功，要么失败。成功概率为p，失败概率为1-p。则干这件事n次，成功了k次的概率为

$P\{X=k\}={\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} \qquad (k=0,1,2,...,n)$
其中， ${\rm C}_n^k=\dfrac{n·(n-1)·...·(n-k+1)}{k!}$

习题1：09年14. 二项分布的期望与方差、E(S²)=D(X)、无偏估计
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分析：

答案：-1

习题2：16年8.
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分析：

答案：A

习题3：01年19. 考点：二项分布、泊松分布、条件概率

③泊松分布

若随机变量X的概率分布为
$P\{X=k\}=\dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} \qquad (k=0,1,2,...;λ>0)$
则称X服从参数为λ的泊松分布(Poisson)，记作 $X\sim P(λ)$ 。E(X)=λ，D(X)=λ。

λ称为强度。泊松分布的数学期望 E(X)=λ。

应用：
①某场合下，单位时间内源源不断的质点来流的数量
②稀有事件发生的概率

泊松分布由二项分布近似而来。

习题1：01年19. 考点：二项分布、泊松分布、条件概率
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分析：
X服从泊松分布，X~P(λ)
Y服从二项分布，Y~B(n,p)

④几何分布

【几何分布 $G (p)$ ，首中即停止的伯努利试验。】

若X的概率分布为 $P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p \qquad (k=1,2,...;0<p<1)$ ，则称X服从参数为p的几何分布，记为 $X\sim G(p)$

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几何分布是离散型的等待分布

例题1：几何分布推广，首二中即停止： $P=C_{k-1}^1(1-p)^{k-2}p^2$

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答案：
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⑤超几何分布

超几何分布 $H (n, N, M)$

$P\{X=k\}=\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$

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2. 连续型 (3种)

①均匀分布

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均匀分布，是一维的几何概型

②指数分布

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1.指数分布的概率密度：
若连续型随机变量X的概率密度为
$f(x)=\begin{cases} λe^{-λx}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases}$
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记为X~E(λ)

2.指数分布的分布函数：
$F(x)=\begin{cases} 1-e^{-λx}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases}$

指数分布是连续型等待分布。
指数分布的λ是失效率，指数分布的数学期望 $E(X)=\dfrac{1}{λ}$

3.指数分布的无记忆性
$P\{X>s+t|X>t\}=\dfrac{P\{X>s+t\}}{P\{X>t\}}=\dfrac{e^{-λ(s+t)}}{e^{-λt}}=e^{-λs}=P\{X>s\}$

① $P\{X>X_1|X>X_2\}=P\{X>X_1-X_2\}$
②指数分布的λ是失效率，在失效率λ不变的情况下，该理想元件是无损耗的。因此工作1年失效的概率和工作2年失效的概率相等，因此有无记忆性。

习题1：19年22(1)
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分析：Z = 指数分布×两点分布

答案：
(1) E(X)~1，∴ $F(x)=\begin{cases} 1-e^{-x}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases}$

$f_Z(z)=F_Z'(z)$

对于F_Z(z)：
F_Z(z) = P{Z≤z} = P{XY≤z} = P{Y=-1}·P{XY≤z|Y=-1} + P{Y=1}·P{XY≤z|Y=1} = p·P{-X≤z} + (1-p)·P{X≤z}

对于P{-X≤z} ：
P{-X≤z} = P{-z≤X} = P{X≥-z} = 1-P{X≤-z} =1-F_X(-z) [连续型随机变量，某一点的概率为0]

∴F_Z(z) =p·[1-F_X(-z)] + (1-p)·F_X(z)

对z的取值进行分类讨论：
当z>0时，F_Z(z) =p·[1-0] + (1-p)·(1-e^-z) = p+(1-p)·(1-e^-z)
当z≤0时，F_Z(z) =p·[1-(1-e^z)] + (1-p)·0 = pe^z

∴ $F_Z(z) =\begin{cases} p+(1-p)·(1-e^{-z}) , & z>0\\ pe^z, & z≤0 \end{cases}$

∴ $f_Z(z) =F_Z'(z)\begin{cases} (1-p)·e^{-z} , & z>0\\ pe^z, & z≤0 \end{cases}$

③正态分布

若X的概率密度为：
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-μ}{σ})^2}=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{{(x-μ^)}^2}{2σ^2}} \quad(-∞<x<+∞)$
其中-∞<μ<+∞，σ>0，则称X服从参数为N(μ,σ²)的正态分布，或称X为正态变量，记为 $X\sim N(μ,σ²)$ 。

①f(x)关于x=μ对称。
②当 $x = μ$ 时，f(x)取最大值 $f(μ)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}$ ，只与 $σ$ 有关。

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1.标准正态分布
X~N(0,1)，则标准正态分布的概率密度φ(x)为：
$φ(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}，\quad (-∞<x<+∞)\\[5mm] Ф(x)=\int_{-∞}^x\dfrac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\[5mm] \int_{-∞}^{+∞}φ(x)dx=\int_{-∞}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}{\rm d}x = 1$

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上α分位点
若X~N(0,1)，点 $μ_α$ 右侧概率为α ( $P\{X>μ_α\}=α$ )，则称 $μ_α$ 为标准正态分布的上α分位点(上侧α分位数)

公式：
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推论：
① $Ф(0)=\dfrac{1}{2}$
② $Ф (x) + Ф (- x) = 1$

结论：对于标准正态分布 $X\sim N(0,1)$
① $P=\int_{-∞}^{+∞}φ(x)dx=1$
② $E(X)=\int_{-∞}^{+∞}xφ(x)dx=0$
（理解1：φ(x)是偶函数，xφ(x)为奇函数，在对称区间上积分为0. 理解2： $\int_{-∞}^{+∞}xφ(x)dx$ 即为标准正态分布的数学期望，X~N(0,1)，则期望为0）

2.正态分布的独立可加性
若X与Y分别服从正态分布 $N(μ_1,σ_1^2)$ 与 $N(μ_2,σ_2^2)$ ，且X与Y相互独立。
则 $Z = X - Y$ 也服从正态分布， $Z\sim N( μ_1-μ_2, σ_1^2+σ_2^2)$

独立可加性 (XY独立且同类型分布)

若X与Y独立，且满足以下5种同类型分布，则具有独立可加性.

分布	X,Y独立	⇨ 独立可加性
①二项分布	X~B(m,p)， Y~B(n,p)	X+Y~ B(m+n,p)
②泊松分布	X~P(λ₁)， Y~P(λ₂)	X+Y~ P(λ₁+λ₂)
③正态分布	X~N(μ₁,σ₁²)， Y~N(μ₂,σ₂²)	$X±Y\sim N(μ₁±μ₂，σ²₁+σ₂²)$
④卡方分布	X~χ²(m)， Y~χ²(n)	X+Y~ χ²(m+n)
⑤指数分布	X~E(λ₁)， X~E(λ₂)	$min\{X,Y\}$ $\sim E(λ₁+λ₂)$

3.正态分布 μ，σ 对图像的影响
期望μ：对称轴位置
方差σ：方差越大，越分散（越不集中，在均值附近的面积越小）

例题1：23李林六套卷(三)9. 独立可加性
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分析：
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答案：C

习题1：17年14. 标准正态分布
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分析：

答案：2

习题2：19年23(1)
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习题3：12年23. 正态分布的独立可加性
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分析：
(3)注意样本与总体独立同分布

答案：
(1)∵X与Y相互独立且分别服从正态分布
∴由正态分布的独立可加性知 Z=X-Y 也服从正态分布，Z~N(0,3σ²)

(3) $E(\hat{σ}^2)=E(\dfrac{{\sum\limits_{i=1}^n}Z_i^2}{3n})=\dfrac{1}{3n}E(\sum\limits_{i=1}^n{Z_i^2})=\dfrac{1}{3n}\sum\limits_{i=1}^nE({Z_i^2})=\dfrac{1}{3n}\sum\limits_{i=1}^nE({Z^2})=\dfrac{1}{3n}×n×[D(Z)+E^2(Z)]=\dfrac{1}{3}×(3σ^2+0)=σ^2$
∴ $\hat{σ}^2$ 是σ²的无偏估计

习题4：13年07. 正态分布 μ，σ 对图像的影响
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答案：A

习题5：06年14. 正态分布 μ，σ 对图像的影响

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答案：A

习题6：16年7. 正态分布 μ，σ 对图像的影响
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分析：将X标准化为标准正态分布

答案：B

6.一维随机变量函数的分布

Ch3. 多维随机变量及其分布

多维随机变量：联合、边缘、条件、独立性、函数分布

1.二维(n维)随机变量

1.多维随机变量

X：一维随机变量
(X,Y)：二维随机变量
(X₁,X₂,…,X_n)：n维随机变量

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2.多维随机变量的分布函数

(1)联合分布函数

(1)概念
$F(x,y)=P\{X≤x,Y≤y\}$ (-∞<x<+∞,-∞<y<+∞)

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(2)性质
③二维规范性/归一性：若为二维连续型随机变量， $F(+∞,+∞)=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y = 1$

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例题1：10年22.(1)

(2)边缘分布函数

$F_X(x)=P\{X≤x,Y≤+∞\}=F(x,+∞)$
$F_Y(y)=P\{X≤+∞,Y≤y\}=F(+∞,y)$

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边缘分布函数，考试常考

常见的两类二维随机变量：离散型随机变量、连续型随机变量

2.二维离散型随机变量及其分布

(1)联合分布律

$p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\} \quad i,j=1,2,...$
(X,Y)的分布律或 X和Y的联合分布律，记为 $(X,Y)\sim p_{ij}$

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联合分布律的求法：求出每个P{ }的值，画分布律

例题1：09年22.(2)

(2)边缘分布律

联合分布律的右边缘 $p_{i·}$ 、下边缘 $p_{·j}$ ，称为X、Y的边缘分布律

联合分布律： $p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}$

边缘分布率：
① $p_{i·}=P\{X=x_i\}$
② $p_{·j}=P\{Y=y_j\}$

(3)条件分布律

$条件=\dfrac{联合}{边缘}$

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3.二维连续型随机变量及其分布

(1)二维随机变量的概率密度 f(x,y)：联合概率密度

(1)定义

设F(x,y) 是 二维随机变量(X,Y) 的 分布函数，若存在非负函数f(x,y),使得对于任意实数x、y，有 $F(x,y)=\int_{-∞}^y\int_{-∞}^xf(u,v)dudv$
则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度（随机变量X和Y的联合概率密度）

(2)性质

1.非负性：f(x,y)≥0
2.规范性/归一性：
$F(x,y)=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1$
3.设D是xOy平面上的一个区域，则(X,Y)落在D内的概率为
$P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y$

举例： $若Z=2X-Y，则F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{2X-Y≤z\}=\iint\limits_{2x-y≤z}f(x,y)dxdy$

当(X,Y)服从二维均匀分布时， $P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y=\dfrac{S(D)}{S(A)}$

4.偏导
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例题1：03年5. 二维连续型随机变量的分布：f(x,y)的性质注意积分区域的限：D∩定义域
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分析：设D是xOy平面上的一个区域，则(X,Y)落在D内的概率为 $P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y$
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答案： $\dfrac{1}{4}$

例题2：12年07. f(x,y)的性质： $P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y$
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分析：

答案：A

例题3：16年22.(2)

(2)边缘分布

1.边缘概率分布

$F_X(x)=F(x,+∞)=\int_{-∞}^x[\int_{-∞}^{+∞}f(u,v)dv]du$
$F_Y(y)=F(+∞,y)$

2.边缘概率密度

$f_X(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}y$ 【注意上下限是代y的取值，x是常数】

$f_Y(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}x$

例题1：由联合概率密度求边缘概率密度
口诀：求谁不积谁，后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限
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例题2：10年22.(2)

(3)条件分布

1.条件概率密度

$f_{X|Y}(x\ |\ y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

$f_{Y|X}(y\ |\ x) = \dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$ 【条件= 联合/边缘】

概率密度乘法公式：
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2.条件分布函数

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例题1：07年10. 条件概率密度

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分析：
∵ 随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，则X与Y相互独立。
∴ $f_{X|Y}(x\ |\ y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\dfrac{f_X(x)·f_Y(y)}{f_Y(y)}=f_X(x)$

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答案：A

例题2：22年10.
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答案：D

例题3：10年22.(2)

(4)二维均匀分布

设D是坐标平面xOy上面积为A的有界区域D，若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
$\left \{\begin{array}{cc} \dfrac{1}{A}, &(x,y)∈D，\\ 0, & (x,y)∉D \end{array}\right.$
则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布，记为 (X,Y) ~ U_D