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1 隐马尔可夫模型
隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,HMM)是可用于标注问题的统计学模型，描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程。
1.1 数学定义
隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成同一个观测从而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔可夫链随机生成状态序列，而每一个状态又生成一个观测。序列的每一个位置称作一个时刻。
隐马尔可夫模型可以由初始状态概率向量 π \pi π，状态转移矩阵 A A A和观测矩阵 B B B决定。 π \pi π和 A A A决定状态序列， B B B决定观测序列。隐马尔可夫模型可以记作： λ = ( π , A , B ) \lambda=(\pi,A,B) λ=(π,A,B)。其各个部分的介绍如下：
记 Q = { q 1 , q 2 , … , q N } Q=\{q_{1},q_{2},\dots,q_{N}\} Q={q1,q2,…,qN}为所有可能的状态集合， V = { v 1 , v 2 , … , v M } V=\{v_{1}, v_{2},\dots,v_{M}\} V={v1,v2,…,vM}为所有可能的观测集合。假设目前得到的 T T T个时刻观测序列 O = ( o 1 , o 2 ， … , o T ) O=(o_{1},o_{2}，\dots,o_{T}) O=(o1,o2，…,oT)，其对应的状态序列记为 I = ( i 1 , i 2 , … , i T ) I=(i_{1},i_{2},\dots,i_{T}) I=(i1,i2,…,iT)。状态序列是不可知的
状态转移矩阵 A = [ a i j ] N × N A=[a_{ij}]_{N\times N} A=[aij]N×N, 其中 a i j = P ( i t + 1 = q j ∣ i t = q i ) , i , j = 1 , 2 , … , N a_{ij}=P(i_{t+1}=q_{j}|i_{t}=q_{i}),i,j=1,2,\dots,N aij=P(it+1=qj∣it=qi),i,j=1,2,…,N，即为在时刻 t t t处于状态 q i q_{i} qi的条件下在时刻 t + 1 t+1 t+1转移到状态 q j q_{j} qj的概率。观测矩阵 B = [ b j ( k ) ] N × M B=[b_{j}(k)]_{N\times M} B=[bj(k)]N×M，其中 b j ( k ) = P ( o t = v k ∣ i t = q j ) , k = 1 , 2 , … , M , j = 1 , 2 , … , N b_{j}(k)=P(o_{t}=v_{k}|i_{t}=q_{j}),k=1,2,\dots,M,j=1,2,\dots,N bj(k)=P(ot=vk∣it=qj),k=1,2,…,M,j=1,2,…,N为时刻 t t t处于状态 q j q_{j} qj的条件下生成观测 v k v_{k} vk的概率。
初始状态变量 π = ( π i ) \pi=(\pi_{i}) π=(πi)，其中 π i = P ( i 1 = q i ) , i = 1 , 2 , … , N \pi_{i}=P(i_{1}=q_{i}),i=1,2,\dots,N πi=P(i1=qi),i=1,2,…,N为初始时刻 t = 1 t=1 t=1处于状态 q i q_{i} qi的概率。
1.2 基本假设
- 齐次马尔可夫假设：隐藏的马尔科夫链在任意时刻 t t t的状态只依赖于其前一个时刻状态，与其他时刻的状态和观测无关，也与时刻 t t t无关： P ( i t ∣ i t − 1 , o t − 1 , … , i 1 , o 1 ) = P ( i t ∣ i t − 1 ) , t = 1 , 2 , … , T P(i_{t}|i_{t-1},o_{t-1},\dots,i_{1},o_{1})=P(i_{t}|i_{t-1}),t=1,2,\dots,T P(it∣it−1,ot−1,…,i1,o1)=P(it∣it−1),t=1,2,…,T
- 观测独立性假设：任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态，与其他观测及状态无关。
1.3 基本问题
- 概率计算问题：给定模型 λ = ( π , A , B ) \lambda=(\pi,A,B) λ=(π,A,B)和观测序列 O O O，计算该观测序列出现的概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\lambda) P(O∣λ)。求解该问题可以使用前向算法和后向算法，这里不详细介绍。
- 学习问题：已知观测序列 O O O，估计模型 λ = ( π , A , B ) \lambda=(\pi,A,B) λ=(π,A,B)参数，使得在该模型下观测序列概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\lambda) P(O∣λ)最大。求解该问题主要使用Baum-Welch算法(这个算法是EM算法的一种特例，EM算法在三硬币模型上的推导过程参考：https://blog.csdn.net/yeshang_lady/article/details/132151771)。这里不再赘述。
- 预测问题：又被称为解码问题。已知模型 λ = ( π , A , B ) \lambda=(\pi,A,B) λ=(π,A,B)和观测序列 O O O，求对给定观测序列条件概率 P ( I ∣ O ) P(I|O) P(I∣O)最大的状态序列。这里主要介绍维特比算法。
2 预测问题
2.1 维特比算法
维特比算法是一个动态规划算法，其规划过程与前向算法类似。两个算法的区别在于：评估问题的前向算法会保留每一条路径的概率，最终结果是各概率之和；维特比算法是计算给定观测序列下最可能的隐藏状态序列，因此每一步都只保留概率最大的路径，最终结果是一条概率最大的路径。其算法流程如下：
输入: 模型 λ = ( A , B , π ) \lambda=(A,B,\pi) λ=(A,B,π)和观测序列 O = ( o 1 , o 2 , … , o T ) O=(o_{1},o_{2},\dots,o_{T}) O=(o1,o2,…,oT)；
输出：最优路径 I ∗ = ( i 1 ∗ , i 2 ∗ , … , i T ∗ ) I^{*}=(i_{1}^{*},i_{2}^{*},\dots,i_{T}^{*}) I∗=(i1∗,i2∗,…,iT∗)。
步骤: (1)初始化 δ 1 ( i ) = π i b i ( o 1 ) , i = 1 , 2 , … , N \delta_{1}(i)=\pi_{i}b_{i}(o_{1}),i=1,2,\dots,N δ1(i)=πibi(o1),i=1,2,…,N Ψ 1 ( i ) = 0 , i = 1 , 2 , … , N \Psi_{1}(i)=0,i=1,2,\dots,N Ψ1(i)=0,i=1,2,…,N(2)递推。对 t = 2 , 3 , … , T t=2,3,\dots,T t=2,3,…,T δ t ( i ) = m a x 1 ≤ j ≤ N [ δ t − 1 ( j ) a j i ] b i ( o t ) , i = 1 , 2 , … , N \delta_{t}(i)=\underset {1\le j\le N}{max}[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]b_{i}(o_{t}),i=1,2,\dots,N δt(i)=1≤j≤Nmax[δt−1(j)aji]bi(ot),i=1,2,…,N Ψ t ( i ) = a r g m a x 1 ≤ j ≤ N [ δ t − 1 ( j ) a j i ] b i ( o t ) , i = 1 , 2 , … , N \Psi_{t}(i)=arg \underset {1\le j \le N}{max}[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]b_{i}(o_{t}),i=1,2,\dots,N Ψt(i)=arg1≤j≤Nmax[δt−1(j)aji]bi(ot),i=1,2,…,N(3)终止 P ∗ = m a x 1 ≤ j ≤ N δ T ( i ) P^{*}=\underset {1\le j\le N}{max}\delta_{T}(i) P∗=1≤j≤NmaxδT(i) i T ∗ = a r g m a x 1 ≤ j ≤ N [ δ T ( i ) ] i^{*}_{T}=arg \underset {1\le j\le N}{max} [\delta_{T}(i)] iT∗=arg1≤j≤Nmax[δT(i)](4)最优路径回溯。对 t = T − 1 , T − 2 , … , 1 t=T-1,T-2,\dots,1 t=T−1,T−2,…,1 i t ∗ = Ψ t + 1 ( i t + 1 ∗ ) i^{*}_{t}=\Psi_{t+1}(i^{*}_{t+1}) it∗=Ψt+1(it+1∗)求得最优路径 I ∗ = ( i 1 ∗ , i 2 ∗ , … , i T ∗ ) I^{*}=(i_{1}^{*},i_{2}^{*},\dots,i_{T}^{*}) I∗=(i1∗,i2∗,…,iT∗)
参考资料
- 《统计学习方法》
