1 包含每个查询的最小区间

1.1 题目描述

给你一个二维整数数组 intervals ，其中 $intervals[i]=[lef{t}_i,righ{t}_i]$ 表示第 $i$ 个区间开始于 $lef{t}_i$ 、结束于 $righ{t}_i$（包含两侧取值，闭区间）。区间的 长度 定义为区间中包含的整数数目，更正式地表达是 $righ{t}_i-lef{t}_i+1$。

再给你一个整数数组 queries 。第 j 个查询的答案是满足 $lef{t}_i<=queries[j]<=righ{t}_i$ 的 长度最小区间 i 的长度 。如果不存在这样的区间，那么答案是 -1 。

以数组形式返回对应查询的所有答案。

示例 1：
输入：intervals = [[1,4],[2,4],[3,6],[4,4]], queries = [2,3,4,5]
输出：[3,3,1,4]
解释：查询处理如下：

• Query = 2 ：区间 [2,4] 是包含 2 的最小区间，答案为 4 - 2 + 1 = 3 。
• Query = 3 ：区间 [2,4] 是包含 3 的最小区间，答案为 4 - 2 + 1 = 3 。
• Query = 4 ：区间 [4,4] 是包含 4 的最小区间，答案为 4 - 4 + 1 = 1 。
• Query = 5 ：区间 [3,6] 是包含 5 的最小区间，答案为 6 - 3 + 1 = 4 。

示例 2
输入：intervals = [[2,3],[2,5],[1,8],[20,25]], queries = [2,19,5,22]
输出：[2,-1,4,6]
解释：查询处理如下：

• Query = 2 ：区间 [2,3] 是包含 2 的最小区间，答案为 3 - 2 + 1 = 2 。
• Query = 19：不存在包含 19 的区间，答案为 -1 。
• Query = 5 ：区间 [2,5] 是包含 5 的最小区间，答案为 5 - 2 + 1 = 4 。
• Query = 22：区间 [20,25] 是包含 22 的最小区间，答案为 25 - 20 + 1 = 6 。

解法一：区间端点排序+离线查询+优先队列（小根堆）

首先我们对问题进行分析，对于第 $j$ 个查询，可以遍历 $\text{intervals}$，找到满足 ${\text{left}}_i\le {\text{queries}}_j\le {\text{right}}_i$ 的长度最小区间 $i$ 的长度。以上思路对于每个查询，都需要重新遍历 $\text{intervals}$。

如果查询是递增的，那么我们可以对 $\text{intervals}$ 按左端点 $\text{left}$ 从小到大进行排序，使用一个指针 $i$ 记录下一个要访问的区间 $\text{intervals}[i]$，初始时 $i=0$，使用优先队列 $\text{pq}$ 保存区间（优先队列的比较 $\text{key}$ 为区间的长度，队首元素为长度最小的区间）。对于第 $j$ 个查询，我们执行以下步骤：

1. 如果 $i$ 等于 $\text{intervals}$ 的长度或 ${\text{left}}_i>\text{queries}[j]$，终止步骤；
2. 将 $\text{intervals}[i]$ 添加到优先队列 $\text{pq}$，将 $i$ 的值加 1，继续执行步骤 1。

此时所有符合 $\text{left}\le {\text{queries}}_j\le \text{right}$ 的区间都在 $\text{pq}$，我们不断地获取优先队列 $\text{pq}$ 的队首区间：

• 如果队首区间的右端点 $\text{right}<\text{queries}[j]$，那么说明该区间不满足条件，从 $\text{pq}$ 中出队；

如果队首区间的右端点 $\text{right}\ge \text{queries}[j]$，那么该区间为第 $j$ 个查询的最小区间，终止过程。

对于第 $j+1$ 个查询，因为查询是递增的，所以有 $\text{queries}[j+1]\ge \text{queries}[j]$，那么此时 $\text{pq}$ 中的区间都满足 $\text{left}\le \text{queries}[j+1]$。在第 $j$ 个查询中丢弃的区间有 $\text{right}<\text{queries}[j]\le \text{queries}[j+1]$，因此丢弃的区间不满足第 $j+1$ 个查询。同样在第 $j+1$ 个查询执行与第 $j$ 个查询类似的步骤，将可能满足条件的区间加入优先队列 $\text{pq}$ 中，那么此时所有满足条件的区间都在优先队列 $\text{pq}$ 中，执行类似第 $j$ 个查询的出队操作。

由以上分析，如果查询满足递增的条件，那么可以利用优先队列进行优化。题目一次性提供所有的查询，基于离线原理，我们对所有查询从小到大进行排序，然后执行以上算法。

class Solution:def minInterval(self, intervals: List[List[int]], queries: List[int]) -> List[int]:n, m = len(intervals), len(queries)intervals.sort()queries = sorted((x, i) for i, x in enumerate(queries))ans = [-1] * mpq = []i = 0for x, j in queries:while i < n and intervals[i][0] <= x:a, b = intervals[i]heappush(pq, (b - a + 1, b))i += 1while pq and pq[0][1] < x:heappop(pq)if pq:ans[j] = pq[0][0]return ans

复杂度分析

• 时间复杂度 $O(n\times \log n+m\times \log m)$
• 空间复杂度 $O(n+m)$。其中 n 和 m 分别是数组 intervals 和 queries 的长度。

解法二：区间长度排序+离线询问+并查集

class Solution:def minInterval(self, intervals: List[List[int]], queries: List[int]) -> List[int]:m, n = len(intervals), len(queries)intervals.sort(key=lambda x: x[1] - x[0])queries = sorted([(q, i) for i, q in enumerate(queries)])fa = list(range(n + 1))def find(x):if x != fa[x]:fa[x] = find(fa[x])return fa[x]ans = [-1] * nfor l, r in intervals:length = r - l + 1pos = bisect_left(queries, (l, -1))idx = find(pos)while idx < n and queries[idx][0] <= r:ans[queries[idx][1]] = lengthfa[idx] = idx + 1idx = find(idx + 1)return ans