1.树

1.1概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
  <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的。
• 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2相关定义

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 表示（左孩子右兄弟）

2.二叉树

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 可以为空
2. 由一个根节点加上两棵称为左子树和右子树的二叉树组成
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树：

每一个层的结点数都达到了最大值的二叉树。
如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k-1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树引出来的。
对于深度为K结点为n的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
前k-1层是满二叉树 ； 第k层不满且从左到右连续 ； 若第k层也满 则为满二叉树
满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质

若规定根节点的层数为1

1. 一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^（i - 1） 个结点
2. 深度为k的二叉树的最大结点数（即满二叉树）是 2^k - 1
3. 对任何一棵二叉树, 度为0的叶结点个数为x0 , 度为2的分支结点个数为 x2,则x0 ＝ x2＋1（度为0的永远比度为2的多1个）
4. 具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2（n+1）
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
   于序号为i的结点有：

i=0，i为根节点编号，无双亲节点
i>0，i的父节点：(i-1)/2

2i+1<n，左孩子序号：2i+1（2i+1>=n无左孩子）
2i+2<n，右孩子序号：2i+2（2i+2>=n无右孩子）

6. 高度为h的完全二叉树的结点个数区间：【2^(h-1) ，2^h-1】
   

2.4练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ 200 ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
x0 ＝ x2＋1
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ A ）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数(即x0)为（ A ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
完全二叉树：前k-1层是满二叉树 ; 第k层不满且从左到右连续 
2n = x0 + x1 + x2
2n = x0 + x1 + x0 - 1 
2n = 2x0 + x1 - 1
x1为0/1   2n为整数 x1只能为1 ==》x0 = n
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ B ）
A 11
B 10
C 8
D 12
法一：如果是满二叉树 h = 256 512 10242^  8   9   10
法二：利用结论【2^(h-1) ，2^h-1】
5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（ B ）
A 383
B 384
C 385
D 386
完全二叉树：前k-1层是满二叉树 ; 第k层不满且从左到右连续 
767 = x0 + x1 + x2
767 = x0 + x1 + x0 - 1 
767 = 2x0 + x1 - 1
x1为0/1   767为奇数 x1只能为0 ==》x0 = 384

3.二叉树的存储结构

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，不是完全二叉树会有空
间浪费。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。通常把堆(一种二叉树)用顺序结构的数组来存储，这里的堆是数据结构，操作系统虚拟进程地址空间中的堆是管理内存的一块区域分段。

2. 链式存储

链式存储结构是用链表来表示一棵二叉树，即用链表来指示元素的逻辑关系。 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在链结点的存储地址 。链式结构分为二叉链和三叉链。

4.完全二叉树的代码实现

4.1堆的介绍

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，
2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

1.堆的性质：

1. 堆中某个节点的值总是>= 或 <=其父节点的值；
2. 小根堆：子节点值>=父亲
3. 大根堆：子节点值<=父亲
4. 堆总是一棵完全二叉树。

2.堆的应用

1.堆排序： – O（N * logN）
2.topk问题

4.2堆的实现

1.Heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;//交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);//打印
void HeapPrint(HP* php);//上调
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);//下调
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int parent);//初始化
void HeapInit(HP* php);//销毁
void HeapDestroy(HP* php);//入堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);//出堆
void HeapPop(HP* php);//判空
bool HeapEmpty(HP* php);//取堆头
HPDataType HeapTop(HP* php);//堆大小
int HeapSize(HP* php);

2.Heap.c

#include "Heap.h"//交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//打印
void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);for (int i = 0; i < php->size; ++i){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}//上调logN
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{//定位父节点下标int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){//	if (a[child] > a[parent])  //大堆if (a[child] < a[parent])  //小堆{//交换数据Swap(&a[child], &a[parent]);//交换后更新child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//下调logN
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int parent)
{//设左孩子较小int child = parent * 2 + 1;//当未达到堆末 进入循环while (child < size){//确定real大孩子//	if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])  //大堆//确定real小孩子if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])  //小堆{++child;}//	if (a[parent] > a[child])  //大堆if (a[parent] > a[child])  //小堆{Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}//初始化
void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php); free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//入堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (tmp == NULL){printf("realloc fail\n");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;//上调         插入的新数据的下标AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}//出堆
void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);//想要删除堆头 把堆头与堆末交换Swap(&(php->a[0]), &(php->a[php->size - 1]));//删除堆末 -- 原目标值(堆头)已被删除php->size--;//将原堆末(现堆头下调置适当位置)AdjustDwon(php->a, php->size, 0);
}//取堆头
HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}//判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}//堆大小
int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

3.test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include"Heap.h"//测试函数
void TestHeap()
{//创建HP hp;//初始化HeapInit(&hp);//入堆int a[] = { 27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37 };for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); ++i){HeapPush(&hp, a[i]);}///打印HeapPrint(&hp);//入堆 -- 打印HeapPush(&hp, 10);HeapPrint(&hp);//出堆 -- 打印HeapPop(&hp);HeapPrint(&hp); HeapPop(&hp);HeapPrint(&hp);
}

4.3堆的应用

1.堆排序

1.1建堆时间复杂度（最优为下调N）

1.1.1下调O(N)

1.1.2 上调O(NlogN)

1.2代码实现

//堆排序1.0 升序<-->用<-->小堆 降序<-->用<-->大堆
//问题：
//1、需要有一个堆数据结构存在 才能创建堆对象
//2、在堆对象空间再创建一个数组 调整后回写 空间复杂度为 O(N)
void Low_HeapSort(int* a, int n)
{HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < n; ++i){HeapPush(&hp, a[i]);}int i = 0;while (!HeapEmpty(&hp)){a[i++] = HeapTop(&hp);HeapPop(&hp);}HeapDestroy(&hp);
}
//堆排序2.0 升序<-->建<-->大堆 降序<-->建<-->大堆
void Plus_HeapSort(int* a, int n)
{
//一、建堆
// 	1.0 上调建堆法 O(N*logN)
// 	将数组a传参后 假设原数组就是一颗树 只不过这棵树待调整
// 	上调法：遍历数组 从1到n-1 上调至合适位置
//  定位父节点下标 int parent = (child - 1) / 2 -->  i从1开始而非0/*for (int i = 1; i < n; ++i){AdjustUp(a, i);}*/
//  2.0 下调建堆法 O(N)
// 	将数组a传参后 假设原数组就是一颗树 只不过这棵树待调整
// 	下调法：遍历数组 叶子节点无孩子不用下调 
//          从倒数第一个非叶子节点开始遍历至根节点
// 	        倒数第一个非叶子节点：末节点的父亲
// 	        公式计算父节点下标 int parent = (child - 1) / 2
// 	        末节点下标：n - 1 - 1
//  设左孩子较小 int child = parent * 2 + 1;for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDwon(a, n, i);}
//二、排序(升序法：将大值一次排到尾部 建大堆-->根最大) O(N*logN)//定位末节点int end = n - 1;//排序 遍历已经调好位置的大堆while (end > 0){//头尾交换(最大的值(根结点)与末节点的值交换)//下调Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDwon(a, end, 0);//下标前移--end;}
}//测试堆排序
void TestHeapSort()
{int a[] = { 27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37 };Plus_HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++){printf("%d ", a[i]);}
}int main()
{TestHeapSort();return 0;
}

1.3堆排序时间复杂度

堆排序时间复杂度 = 建堆 + 排序
= O(N) + O(N*longN)
= O(NlogN)

2.topk问题

2.1介绍及解决方式

介绍：
求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素
解决方式：
用堆来解决 基本思路：

1. 思路一：O(N * logN)
   将N个数据进行排序 目前接触到的排序算法最优为堆排序
2. 思路二：O(N + k * logN) 【N个数据建堆空间浪费巨大】
   将N个数据建成大堆 然后Top/Pop k次 时间复杂度 = 下调建大堆 + Top/Pop
3. 思路三：O[K + (N-K) * logK] 【最优 时间上可能比二差点 但空间上效率提高】
   将N个数据前K个元素建堆：取前k个最大的元素–建小堆；取前k个最小的元素，建大堆
   用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素比较，不满足则替换堆顶元素
   将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
   

2.2代码举例

//打印Topk函数
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{// 1.下调建堆 -- 用前k个元素建堆//申请空间int* kHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);assert(kHeap);//拷贝前k个for (int i = 0; i < k; ++i){kHeap[i] = a[i];}//显示kHeapprintf("kHeap的数据显示\n");for (int i = 0; i < k; ++i){printf("%d ", kHeap[i]);}printf("\n");//下调建堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDwon(kHeap, k, i); //此时AdjustDwon实现的是建小堆} //显示kHeapprintf("kHeap的数据显示\n");for (int i = 0; i < k; ++i){printf("%d ", kHeap[i]);}printf("\n");// 2.访问数组a中n-k个元素 -- 依次与堆顶元素比较 -- 不满足则替换for (int j = k; j < n; ++j){if (a[j] > kHeap[0]){kHeap[0] = a[j];AdjustDwon(kHeap, k, 0);printf("kHeap的数据显示\n");for (int i = 0; i < k; ++i){printf("%d ", kHeap[i]);}printf("\n");}}//打印printf("kHeap的数据显示\n");for (int i = 0; i < k; ++i){printf("%d ", kHeap[i]);}printf("\n");
}//Topk测试函数
void TestTopk()
{//一、生成10个<=100的数int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * 10);srand(time(0));for (int i = 0; i < 10; ++i){a[i] = rand() % 100;}//将其中5个数修改成大于100的数a[6] = 100 + 6;a[4] = 100 + 9;a[8] = 100 + 2;a[2] = 100 + 1;a[0] = 100 + 4;//打印查看printf("a的数据显示\n");for (int i = 0; i < 10; ++i){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");//检验PrintTopK(a, 10, 5);
}int main()
{TestTopk();return 0;
}

5.普通二叉树的结构

5.1术语翻译

5.2层序遍历图解

5.3层序遍历底层

5.4判断是否为完全二叉树

5.5代码实现

1.Queue.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>//前置声明
struct BinaryTreeNode;
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;typedef struct QueueNode
{struct QueueNode* next;QDataType data;
}QNode;typedef struct Queue
{//int size;QNode* head;QNode* tail;
}Queue;//初始化
void QueueInit(Queue* pq);//销毁
void QueueDestroy(Queue* pq);//入队
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x);//出队
void QueuePop(Queue* pq);//取首
QDataType QueueFront(Queue* pq);//取尾
QDataType QueueBack(Queue* pq);//判空
bool QueueEmpty(Queue* pq);//队列大小
int QueueSize(Queue* pq);

2.Queue.c

#include "Queue.h"//初始化
void QueueInit(Queue* pq)
{assert(pq);pq->head = pq->tail = NULL;
}//销毁
void QueueDestroy(Queue* pq)
{assert(pq);QNode* cur = pq->head;while (cur){QNode* next = cur->next;free(cur);cur = next;}pq->head = pq->tail = NULL;
}//入队
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x)
{assert(pq);QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (newnode == NULL){printf("malloc fail\n");exit(-1);}newnode->data = x;newnode->next = NULL;if (pq->tail == NULL){pq->head = pq->tail = newnode;}else{pq->tail->next = newnode;pq->tail = newnode;}
}//出队
void QueuePop(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));// 1һڵ// 2ڵif (pq->head->next == NULL){free(pq->head);pq->head = pq->tail = NULL;}else{QNode* next = pq->head->next;free(pq->head);pq->head = next;}
}//取首
QDataType QueueFront(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->head->data;
}//取尾
QDataType QueueBack(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->tail->data;
}//判空
bool QueueEmpty(Queue* pq)
{assert(pq);return pq->head == NULL;
}//队列大小
int QueueSize(Queue* pq)
{assert(pq);QNode* cur = pq->head;int size = 0;while (cur){++size;cur = cur->next;}return size;
}

3.BinaryTree.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>
#include"Queue.h"typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;BTDataType data;
}BTNode;//创建新结点
BTNode* CreatNode(BTDataType x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(node);node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}//二叉树的销毁
void TreeDestroy(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;TreeDestroy(root->left);TreeDestroy(root->right);free(root);
}//自创二叉树
BTNode* CreatBinaryTree()
{BTNode* node1 = CreatNode(1);BTNode* node2 = CreatNode(2);BTNode* node3 = CreatNode(3);BTNode* node4 = CreatNode(4);BTNode* node5 = CreatNode(5);BTNode* node6 = CreatNode(6);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;return node1;
}//前序遍历NLR
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("# ");return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}//中序遍历LNR
void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("# ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}//后序遍历LRN
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("# ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}//层序遍历
void Level0rder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){//front指向队头的数据  队头的数据是一个二叉树结点BTNode* front = QueueFront(&q);printf("%d ", front->data);//出队 队头的数据被pop 但是二叉树结点仍然存在QueuePop(&q);if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}}printf("\n");QueueDestroy(&q);
}//结点个数1.0--NLR
int count = 0;
void TreeSize1(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}++count;TreeSize1(root->left);TreeSize1(root->right);
}//结点个数2.0--LRN
int TreeSize2(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 : TreeSize2(root->left) + TreeSize2(root->right) + 1;
}//叶子结点数--LRN
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}//第k层结点个数--LRN
int TreeKLevel(BTNode* root, int k)
{assert(k >= 1);if (root == NULL)return 0;if (k == 1)return 1;return TreeKLevel(root->left, k - 1) + TreeKLevel(root->right, k - 1);
}// 求二叉树深度--LRN
int TreeDepth(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int leftDepth = TreeDepth(root->left);int rightDepth = TreeDepth(root->right);return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}//查找目标结点--NLR
BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;BTNode* ret1 = TreeFind(root->left, x);  if (ret1) return ret1;BTNode* ret2 = TreeFind(root->right, x); if (ret2) return ret2;return NULL;
}//判断是否为完全二叉树
//性质：前k - 1层是满二叉树  第k层不满且从左到右连续
int TreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front){QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}else{break;}}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front){QueueDestroy(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true;
}int main()
{//创建二叉树 BTNode* root = CreatBinaryTree();//NLRPreOrder(root);printf("\n");//LNRInOrder(root);printf("\n");//LRNPostOrder(root);printf("\n");//层序遍历printf("层序遍历的结果为：");Level0rder(root);//结点个数1.0count = 0;TreeSize1(root);printf("TreeSize:%d\n", count);//结点个数2.0printf("TreeSize:%d\n", TreeSize2(root));printf("TreeSize:%d\n", TreeSize2(root));//叶子结点数printf("LeafSize:%d\n", TreeLeafSize(root));//第k层结点个数printf("KLevelSize:%d\n", TreeKLevel(root, 1));printf("KLevelSize:%d\n", TreeKLevel(root, 2));printf("KLevelSize:%d\n", TreeKLevel(root, 3));printf("KLevelSize:%d\n", TreeKLevel(root, 4));// 求二叉树深度--LRNprintf("此树深度为%d\n", TreeDepth(root));//查找值为x的结点int x = 1;BTNode* node = TreeFind(root, x);if (node){printf("已找到--所在子树为：");PreOrder(node);printf("\n");}elseprintf("不存在值为%d的结点\n",x);//判断是否为完全二叉树if(TreeComplete(root))printf("此树为完全二叉树\n");elseprintf("此树非完全二叉树\n");//二叉树的销毁TreeDestroy(root);root = NULL;return 0;
}

5.6算法图解(递归)