一、最长递增子序列
题目：
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出：4 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3] 输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7] 输出：1
思路：
首先明确dp数组的含义，本题中dp数组含义是在结尾是nums[i]的最长递增子序列的长度为dp[i]，由于dp数组由nums数组相照应，因此对dp数组中的所有元素均初始化为1，启用一个判断条件，若后者元素值大于前者，则结果值加一，因此dp数组的递归关系式为
dp[i] = max(dp[j]+1，dp[i])
代码：
java">public int lengthOfLIS(int[] nums) {int n = nums.length; // 获取输入数组的长度int[] dp = new int[n]; // 创建一个数组 dp，用于记录以每个元素为结尾的最长递增子序列的长度// 初始化 dp 数组，每个位置的初始值设为 1// 因为每个元素至少可以组成一个长度为 1 的递增子序列（它自己）for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i] = 1;}int result = 1; // 初始化 result，用于记录全局的最长递增子序列的长度// 遍历每个元素，确定以每个元素为结尾的最长递增子序列的长度for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {// 如果 nums[j] 小于 nums[i]，说明 nums[i] 可以接在 nums[j] 后面形成递增子序列if (nums[j] < nums[i]) {// 更新 dp[i] 为以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度dp[i] = Math.max(dp[j] + 1, dp[i]);}}// 更新 result 为当前最大递增子序列的长度result = result > dp[i] ? result : dp[i];}// 返回全局最长递增子序列的长度return result;
}
n是输入数组nums的长度。dp数组用于存储以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。初始化dp[i]为 1，表示每个元素自身是一个长度为 1 的递增子序列。- 外层循环
i遍历数组的每一个元素。 - 内层循环
j遍历i前面的所有元素，检查是否存在比nums[i]小的元素。 - 如果
nums[j] < nums[i]，则说明nums[i]可以接在nums[j]后面形成一个递增子序列，因此更新dp[i]为dp[j] + 1和dp[i]的较大值。 - 更新
result为当前的dp[i]和result的较大值，记录全局的最大递增子序列长度。 - 最终，
result存储了数组中最长递增子序列的长度，返回这个值。
二、最长连续递增子序列
题目：
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
示例 1：
输入：nums = [1,3,5,4,7] 输出：3 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。 尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。
示例 2：
输入：nums = [2,2,2,2,2] 输出：1 解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。
思路：
dp数组的含义是nums数组中第 i 个元素的最长连续连续子序列的产地古为dp[i]，与最长连续子序列不同的是，本题子序列中的元素必须前后连续，因此需要比较的是i+1与i元素的大小，dp数组初始化仍为1，递归关系为
dp[i+1] = dp[i]+1
代码：
java">public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {int n = nums.length; // 获取输入数组的长度int[] dp = new int[n]; // 创建一个数组 dp，用于记录以每个元素为结尾的最长连续递增子序列的长度// 初始化 dp 数组，每个位置的初始值设为 1// 因为每个元素至少可以组成一个长度为 1 的递增子序列（它自己）for (int i = 0; i < dp.length; i++) {dp[i] = 1;}int result = 1; // 初始化 result，用于记录全局的最长连续递增子序列的长度// 遍历数组中的每一对相邻元素for (int i = 0; i < n - 1; i++) {// 如果当前元素小于下一个元素，说明可以继续形成递增子序列if (nums[i + 1] > nums[i]) {dp[i + 1] = dp[i] + 1; // 更新 dp[i + 1]，表示以 nums[i + 1] 为结尾的递增子序列长度}// 更新 result 为当前的 dp[i + 1] 和 result 的较大值result = result > dp[i + 1] ? result : dp[i + 1];}// 返回全局最长连续递增子序列的长度return result;
}
n是输入数组nums的长度。dp数组用于存储以每个元素为结尾的最长连续递增子序列的长度。初始化dp[i]为 1，表示每个元素自身是一个长度为 1 的递增子序列。- 遍历数组中的每一对相邻元素，通过
i和i + 1访问。 - 如果
nums[i + 1] > nums[i]，说明nums[i + 1]可以继续延续前面的递增子序列，因此更新dp[i + 1]为dp[i] + 1。 - 更新
result为当前的dp[i + 1]和result的较大值，以保持全局的最大连续递增子序列长度。 - 最终，
result变量保存了数组中最长的连续递增子序列的长度，返回这个值。
三、最长重复子数组
题目：
给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。
示例 1：
输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7] 输出：3 解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。
示例 2：
输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0] 输出：5
思路：
有关两个数组中比较最长的公共子数组，定义dp数组以i-1为结尾的在nums1数组和以j-1为结尾nums2数组中的最长公共子数组为dp[i][j]，不难推出dp数组的递推公式
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
代码：
java">public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {// 获取两个数组的长度，并将长度加1，便于创建dp数组（包含边界情况）int n1 = nums1.length + 1;int n2 = nums2.length + 1;// 初始化结果变量为0int result = 0;// 创建dp二维数组，dp[i][j]表示以nums1[i-1]和nums2[j-1]结尾的最长公共子数组的长度int[][] dp = new int[n1][n2];// 遍历dp数组填充数据for (int i = 1; i < n1; i++) {for (int j = 1; j < n2; j++) {// 如果nums1的第i-1个元素等于nums2的第j-1个元素if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {// 更新dp[i][j]，表示在dp[i-1][j-1]的基础上增加1dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;}// 更新结果为当前dp[i][j]和已有结果的最大值if (dp[i][j] > result) {result = dp[i][j];}}}// 返回最长公共子数组的长度return result;
}
n1和n2是nums1和nums2长度加 1，用于构建dp数组（用于存储最长公共子数组的长度）。result用于保存最终的最长公共子数组的长度。dp数组的dp[i][j]存储nums1[0..i-1]和nums2[0..j-1]中的最长公共子数组的长度。- 通过双重循环遍历
dp数组。i和j分别代表nums1和nums2中的索引。 - 当
nums1[i - 1]等于nums2[j - 1]时，dp[i][j]表示以nums1[i - 1]和nums2[j - 1]为结尾的最长公共子数组的长度。 - 如果
dp[i][j]大于当前result，则更新result。 - 返回最长公共子数组的长度。
四、最长公共子序列
题目：
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def" 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
思路：
首先明确dp数组的含义，本题中dp数组为对于长度为[0，i-1]的text1数组和长度为[0，j-1]的text2数组，他们的最长公共子序列为dp[i][j]，对于对应元素值相同的情况，dp数组的递推式为
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
对于相对应元素不相同的情况
例如text1="abc"，text2="ace"此时处理起来应该取dp[i][j-1]的长度，即为text1中跳过第二个元素取第三个，或者text2中取前两个元素舍弃第三个
同理如果是text1="ace"，text2="abc"，此时处理起来应该取dp[i-1][j]的长度，即为text1中取前两个元素，或者text2舍弃第三个跳过第二个元素取第三个，两者之前取最大值，因此递推式为
dp[i][j] = max(dp[i-1][j]，dp[i][j-1])
代码：
java">public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {// 获取两个字符串的长度，并将长度加1，便于创建dp数组（包含边界情况）int n1 = text1.length() + 1;int n2 = text2.length() + 1;// 将字符串转换为字符数组char[] c1 = text1.toCharArray();char[] c2 = text2.toCharArray();// 创建dp二维数组，dp[i][j]表示text1前i个字符和text2前j个字符的最长公共子序列长度int[][] dp = new int[n1][n2];// 遍历dp数组填充数据for (int i = 1; i < n1; i++) {for (int j = 1; j < n2; j++) {// 如果text1的第i-1个字符等于text2的第j-1个字符if (c1[i - 1] == c2[j - 1]) {// 更新dp[i][j]，表示在dp[i-1][j-1]的基础上增加1dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;} else {// 否则dp[i][j]取dp[i-1][j]和dp[i][j-1]的最大值dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}// 返回最长公共子序列的长度return dp[text1.length()][text2.length()];
}
n1和n2是text1和text2的长度加 1，用于创建dp数组，以包含边界条件。c1和c2是将text1和text2转换为字符数组。dp数组的dp[i][j]存储text1[0..i-1]和text2[0..j-1]的最长公共子序列的长度。- 遍历
dp数组。i和j分别表示text1和text2中的索引。 - 当
c1[i - 1]等于c2[j - 1]时，dp[i][j]表示在dp[i-1][j-1]的基础上增加 1。 - 否则，
dp[i][j]取dp[i-1][j]和dp[i][j-1]的最大值，表示不匹配时最长公共子序列的长度。 - 返回
dp数组中最后一个元素，即text1和text2的最长公共子序列的长度。
今天的学习就到这里
