第六章 支持向量机

6.1 间隔与支持向量

**支持向量：**最靠近两条虚边界的向量叫做支持向量。

**间隔：**两个异类支持向量到超平面的距离之和称为间隔。

硬间隔最大化

支持向量机求的最优分离超平面，不仅要分类正确，而且要使得间隔最大化。

6.2 对偶问题

6.3核函数

非线性数据(非线性问题——>线性问题)

原理是将数据映射到高维数据，在高维空间线性可分。

从低维转换到高维，$\Phi $是转换函数。

定义

将原始空间中的向量作为输入向量，并返回特征空间（转换后的数据空间,可能是高维）中向量的点积的函数称为核函数。

构建核函数

线性核函数

高斯核函数

应用

K近邻、支持向量机

优劣

优势

• 核函数在某些特征空间通过点积的方式计算，但无需知道特征空间以及转换函数。这就是核函数的有用之处。
• 使在高维空间中以极低的计算成本寻找线性关系成为可能，这是因为在特征空间中输入图像的内积可以在原始空间中计算出来
• 不需要数据是真实的向量，可用于字符串、时序数据

劣势

• 为给定的问题选择核函数可能很困难
• 对于大型数据集，可能无法存储整个核函数矩阵，可能需要重新计算核函数

6.4 软间隔与正则化

软间隔

目的：提高模型对噪声和异常值的鲁棒性，从而获得更好的泛化能力。

正则化

防止出现过拟合现象

6.5支持向量回归（SVR）

SVM是要使到超平面最近的样本点的“距离”最大

SVR是要使到超平面最远的样本点的“距离”最小

函数间隔和几何间隔

两虚线之间的几何间隔$r=\frac{d}{\left | W \right | } $,这里的d就为两虚线之间的函数间隔。

SVR的原理

SVR在线性函数两侧制造了一个“间隔带”，间距为ϵ(也叫容忍偏差，是一个由人工设定的经验值)，对所有落入到间隔带内的样本不计算损失，也就是只有支持向量才会对其函数模型产生影响，最后通过最小化总损失和最大化间隔来得出优化后的模型。

如图所示，"管道"内样本对应$a=0$，为非支持向量；
位于“管壁”上的为边界支持向量，$0<a<ϵ$
位于"管道"之外的为非边界支持向量，$a>ϵ$ (异常检测时，常从非边界支持向量中挑选异常点)

SVR数学模型

线性硬间隔SVR

不允许样本分类错误。

线性软间隔SVR

允许一定量的样本分类错误。
原因：在现实任务中，往往很难直接确定合适的 $ϵ$ ，确保大部分数据都能在间隔带内，而SVR希望所有训练数据都在间隔带内，所以加入松弛变量$\xi$，从而使函数的间隔要求变的放松，也就是允许一些样本可以不在间隔带内。