组合

求 ${\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_{nk}^{ik+r}$ 模 $p$ 的值。

---

这道题题目非常的善良，直接把式子送给我们了，那我们直接开始推式子：
$$\begin{array}{c}{\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_{nk}^{ik+r}\\ ={\sum }_{i=0}^{\infty }{\sum }_{j=0}^w{C}_w^j\times C_{nk-w}^{ik+r-w+j}\\ ={\sum }_{j=0}^w{C}_w^j{\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_{nk-w}^{ik+r-w+j}\\ \text{ 令 }w=k\\ {\sum }_{j=0}^k{C}_k^j{\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_{(n-1)k}^{ik+r-k+j}\\ \text{ 令 }f(n,r)={\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_{nk}^{ik+r}\\ f(n,r)={\sum }_{j=0}^k{C}_k^{j}f(n-1,r-k+j)\\ \text{接着我们再来分析}n=1\text{的情况}\\ f(n,r)={\sum }_{j=0}^k{C}_k^{j}f(n-1,(r+j)\%k)\\ f(1,r)=\left(r==0?2:C_k^r\right)\end{array}$$
那么这道题目就水落石出了，先用杨辉三角预处理一遍，预处理一遍组合数，在去推 $f$ 数组就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,p,k,r,C[105][105];
int f[1005][1005];
int zuhe(int n,int r)
{if(n==1)return r==0?2:C[k][r];if(f[n][r])return f[n][r];int sum=0;for(int i=0;i<=k;i++)sum+=(LL)C[k][i]*zuhe(n-1,(r+i)%k)%p,sum%=p;return f[n][r]=sum%p;
}
int main()
{scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&k,&r);for(int i=0;i<=k;i++)//杨辉三角预处理{C[i][0]=1;for(int j=1;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%p;}printf("%d\n",zuhe(n,r));return 0;
}

但是，你会发现这个代码 RE 了。所以我们需要使用一下矩阵快速幂优化，我就不多说了，上代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int P,K,R;
long long N;
struct matrix
{int n,m,a[51][51];matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}matrix operator * (const matrix &c)const{matrix res;res.n=n;res.m=c.m;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<c.m;j++)for(int k=0;k<m;k++)res.a[i][j]=(res.a[i][j]+1LL*a[i][k]*c.a[k][j]%P)%P;return res;}
}a,b;
void Pow(matrix x,long long y)
{while(y){if(y&1)a=a*x;x=x*x;y>>=1;}
}
int main()
{cin>>N;scanf("%d%d%d",&P,&K,&R);N=1LL*N*K;a.n=1;a.m=K;a.a[0][0]=1;b.n=b.m=K;for(int i=0;i<K;i++){b.a[i][i]++;b.a[i][(i+1)%K]++;}Pow(b,N);printf("%d",a.a[0][R]);return 0;
}