矩阵

定义一个 $n\times m$ 的矩阵如下：
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,m}\end{array}\right]$$

单位矩阵

单位矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & \ddots & \\ & & 1\end{array}\right]$。

矩阵乘法

一般来说，矩阵乘法需要左侧矩阵的列数要等于右侧矩阵的行数。
设两个矩阵分别为 $a\times b$ 的 $A$ 和 $b\times c$ 的 $B$
那么设 $A\times B=C$，则 $C$ 为 $a\times c$ 的。
对于 $i\in [1,a]$，$j\in [1,c]$，$C_{i,j}=\sum _{k\in [1,b]}{A}_{i,k}\cdot B_{k,j}$

一些性质

矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，读者不妨自证。

代码

就是矩阵结构体的板子

struct mtrx{int n,m,a[N][N];void init(){n=0;m=0;memset(a,0,sizeof(a));}void init_one(int x){init();n=m=x;for (int i=1;i<=x;i++) a[i][i]=1;}
}
mtrx operator*(mtrx a,mtrx b){mtrx c;c.init();c.n=a.n;c.m=b.m;for (int i=1;i<=c.n;i++) for (int k=1;k<=a.m;k++) for (int j=1;j<=c.m;j++)c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];return c;
}