（python）快速幂算法

前言

在一个古老的魔法世界里，有一个叫做艾琳的年轻女巫，她拥有着强大的魔法天赋。然而，在这个世界中，魔法的运用需要消耗大量的能量，而艾琳却总是不满足于用传统的方式来释放魔法。

有一天，艾琳听说了一个传说中的魔法书，里面记载着一种神奇的魔法——快速幂法术。据说，这种魔法可以让施法者在短时间内释放出强大的魔法力量，而且只需要消耗较少的能量。艾琳心生向往，决定踏上寻找快速幂法术的旅程。

在她的旅途中，艾琳遇到了各种挑战和困难，但她始终坚信着自己的目标。最终，她来到了一个神秘的魔法塔，据说那里藏着传说中的魔法书。在魔法塔的深处，艾琳发现了那本古老的魔法书，书中详细记录着快速幂法术的秘密。艾琳花费了数日时间，苦心研究和实践，终于掌握了这种强大的魔法。

回到自己的家园，艾琳开始运用快速幂法术保护着她所珍爱的家园。每当敌人来袭，艾琳都能迅速释放出强大的魔法力量，将他们击退。而且，由于快速幂法术的高效性，艾琳的魔法能量消耗也大大减少，使她能够持续地保护着家园。

艾琳成为了家园中备受尊敬的魔法师，人们称她为“魔法守护者”。她用快速幂法术为家园带来了安宁和保护，成为了家园的守护神。

简介

快速幂算法（Exponentiation by Squaring，平方求幂）是一种简单而有效的小算法，它可以以O(log n)的时间复杂度计算乘方。快速幂不仅本身非常常见，而且后续很多算法也会用到快速幂。

应用场景

    数学问题的求解（如斐波那契数列的快速计算）
   计算机科学中的密码学
   量子化学中的分子动力学模拟
   图像处理
   公钥加密(RSA算法中的模幂运算)
   数字签名

步骤

(1)确定递归出口 首先，需要确定递归的出口条件。通常情况下，当指数为 0 时，任何数的 0 次方都为 1，所以递归的出口条件就是指数为 0 时返回 1。

(2)处理指数的奇偶性 对于给定的底数和指数，首先判断指数的奇偶性。如果指数为偶数，则可以将问题分解为计算底数的一半指数的平方；如果指数为奇数，则可以将问题分解为计算底数的一半指数减一的平方再乘以底数。

(3)递归调用或迭代计算 根据指数的奇偶性，分别进行递归调用或迭代计算。不断将指数减半，直至指数为 0。

(4)合并结果 最后，将递归调用或迭代计算得到的结果合并起来，得到最终的指数幂结果。

优势

优化减少运算的次数

时间复杂度

   O(log n)

空间复杂度
   (递归方式) O(log n)
   (迭代方式) O(1)

时间复杂度降低

        快速幂算法的时间复杂度为O(log b)，其中b是指数。这意味着随着指数b的增长，快速幂算法所需进行的乘法运算次数远少于传统算法，从而大幅度提高了计算效率。

空间复杂度优化

        在处理大数幂运算时，传统算法可能需要存储中间结果，导致空间复杂度较高。而快速幂算法通过减少乘法运算次数，间接降低了空间复杂度，使得算法更加适合在大规模数据上运行。

避免溢出问题

        在处理大数幂运算时，传统算法容易因为乘法运算过多而导致溢出。快速幂算法通过合理安排乘法运算顺序，避免了这种溢出问题，使得算法适用于更大范围的数值计算。

易于实现

        快速幂算法的实现相对简单，无论是递归实现还是迭代实现，都能在较少的代码行内完成，便于理解和维护。

常用模板

python">def power(x, n):if n == 0:return 1elif n % 2 == 0:half = power(x, n // 2)return half * halfelse:half = power(x, (n - 1) // 2)return x * half * half# 示例用法
base = 2
exponent = 10
result = power(base, exponent)
print(f"{base} 的 {exponent} 次方为: {result}")

范例

斐波那契数列的计算满足递归的特点,随着N的增加,运算次数是指数上升的.在这里,采用快速幂算法大大减少了运算的次数.

线性递推数列

F(n) = a * F(n-1) + b * F(n-2)

python">class Solution:@staticmethoddef Fibonacci_fast(n: int) -> int:"""现在要求输入一个正整数 n ，请你输出斐波那契数列的第 n 项斐波那契数列是一个满足fib(x)={ 1   x=1,2fib(x−1)+fib(x−2)  x>2:param n::return:"""def multiply(F, M):x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0]y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1]z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0]w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1]F[0][0] = xF[0][1] = yF[1][0] = zF[1][1] = wdef power(F, n):if n == 0 or n == 1:returnM = [[1, 1],[1, 0]]power(F, n // 2)multiply(F, F)if n % 2 != 0:multiply(F, M)F = [[1, 1],[1, 0]]if n == 0:return 0power(F, n - 1)# print(F[0][0])return F[0][0]