【基础算法】前缀和

1.【模板】前缀和

前缀和

思路：

板子题，思路前缀和数组记录。

虽是板子，但以后切记不要死记模版。

主要要开long long，防溢出。

#include <iostream>
using namespace std;#include<vector>int main() 
{int n = 0, q = 0;cin >> n >> q;vector<int> arr(n);for(int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i];//填充前缀和数组vector<long long> dp(n + 1);for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i] = dp[i - 1] + arr[i - 1];//q次查询while(q--){int l = 0, r = 0;cin >> l >> r;cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;}return 0;
}

2.【模板】二维前缀和

二维前缀和

思路：

二维的模板题。

此图借助理解

#include <iostream>
using namespace std;#include<vector>int main() 
{int n = 0, m = 0, q = 0;cin >> n >> m >> q;vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++)cin >> arr[i][j];//填充dp表vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1));for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++)dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] - dp[i - 1][j - 1] + arr[i][j];while(q--){int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << endl;}return 0;    
}

3.寻找数组的中心下标

寻找数组的中心下标

思路：

求解前缀和与后缀和

比较i位置的前缀和与后缀和是否相等

class Solution {
public:int pivotIndex(vector<int>& nums) {int n = nums.size();//f[i]表示：[0, i - 1]内的所有数的和//g[i]表示：[i + 1, n - 1]内的所有数的和vector<int> f(n + 1), g(n + 1);//预处理前缀和、后缀和数组for(int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] + nums[i - 1];for(int i = n - 2; i >= 0; i--) g[i] = g[i + 1] + nums[i + 1];for(int i = 0; i < n; i++){if(f[i] == g[i]) return i;}return -1;}
};

4.除自身以外数组的乘积

除自身以外数组的乘积

思路：

跟3类似，只是f[i]与g[i]的状态发生了变化，变为了乘法。

class Solution {
public:vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> ans(n);//填充dp表vector<int> f(n), g(n);//初始化f[0] = 1, g[n - 1] = 1;for(int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1];for(int i = n - 2; i >= 0; i--) g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1];for(int i = 0; i < n; i++){ans[i] = f[i] * g[i];}return ans;}
};

5.和为k的子数组

和为k的子数组

思路：

前缀和与哈希表结合，让我们求子数组和为k，即让我们求前缀和的sum - k出现的次数。

class Solution {
public:int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {int sum = 0, ret = 0;unordered_map<int, int> hash; // 记录子数组和为k的个数// 细节问题 - 子数组为0时的数量默认为1hash[0] = 1;for(auto x : nums){sum += x;// 计算当前位置的前缀和if(hash.count(sum - k)) ret += hash[sum - k];//更新结果hash[sum]++;// 统计子数组和的次数}return ret;}
};

6.和可被k整除的子数组

和可被k整除的子数组

思路：

与4类似，只是hash里面存的内容有所不同

同余定理：(sum - x) % p = 0 -> sum % p == x % p.

c++/java中的负数%正数的修正(a%b + b) % b

class Solution {
public:int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int, int> hash;//记录前缀余数出现的次数//处理细节问题hash[0 % k] = 1;//0 - 代表余数为0出现的次数默认为1int sum = 0, ret = 0;for(auto x : nums){sum += x;// 当前位置的前缀和int r = (sum % k + k) % k;// 修正后的求当前位置的余数if(hash.count(r)) ret += hash[r];// 更新结果hash[r]++;}return ret;}
};

7.连续数组

连续数组

思路：

与和为k的子数组类似

细节问题比较特殊

哈希表存放的是什么？

hash【0】应该存什么？

class Solution {
public:int findMaxLength(vector<int>& nums) {//把0都转化为-1，就可以用我们的前缀和求解了-> 实质就是求子数组为k时对应的子数组长度unordered_map<int, int> hash;// 存放的是sum的对应下标//处理细节问题hash[0] = -1;// hash表内存放的是下标，所以前缀和为0只能是-1int sum = 0, ret = 0;for(int i = 0; i < nums.size(); i++){sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1; // 计算当前位置的前缀和if(hash.count(sum)) ret = max(ret, i - hash[sum]); //更新结果else hash[sum] = i; //前缀和进入哈希表}return ret;}
};

8.矩阵区域和

矩阵区域和

思路：

二维前缀和

细节：处理映射关系上如何处理？

class Solution {
public:vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {int m = mat.size(), n = mat[0].size();//创建dp表vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));//填写dp表//注意dp表与mat矩阵的映射关系mat[i - 1][j - 1]还是mat[i][j]for(int i = 1; i <= m; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];//存放结果vector<vector<int>> ret(m, vector<int>(n));for(int i = 0; i < m; i++)for(int j = 0; j < n; j++){//使dp数组下标映射和原数组对齐int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;int x2 = min(m - 1, i + k) + 1, y2 = min(n - 1, j + k) + 1;ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x2][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1];}return ret;}
};