神聖的綫性代數速成例題3. 矩陣列數的極限、矩陣範數、行列式的計算

矩陣列數的極限：設矩陣序列 $\{A_k\}$ ，其中 $A_k=(a_{ij}^{(k)})$ ，若對每個 $i,j$ 都有 $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{ij}^{(k)} = a_{ij}$ ，則稱矩陣序列 $\{A_k\}$ 收斂於矩陣 $A=(a_{ij})$ ，記作 $\lim_{k\rightarrow\infty}A_k = A$ 。
矩陣範數：常用的矩陣範數有：行和範數 $\|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|$ ，即矩陣每行元素絕對值之和的最大值。列和範數 $\|A\|_{1}=\max_{1\leq j\leq n}\sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|$ ，即矩陣每列元素絕對值之和的最大值。2 - 範數 $\|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}$ ，其中 $\lambda_{max}(A^TA)$ 是 $A^TA$ 的最大特徵值。
行列式的計算：對於低階行列式可直接利用定義或行（列）展開定理計算。對於高階行列式，常利用行列式的性質將其化為上三角或下三角行列式，上（下）三角行列式的值等於主對角線元素之積。

例題解析：

1.已知矩陣序列 $A_k=\begin{pmatrix}\frac{1}{k}&1+\frac{1}{k^2}\\2-\frac{1}{k}&\frac{3}{k^3}\end{pmatrix}$ ，求 $\lim_{k\rightarrow\infty}A_k$ 。

解： $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{11}^{(k)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}=0$ ， $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{12}^{(k)}=\lim_{k\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{k^2}) = 1$ ， $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{21}^{(k)}=\lim_{k\rightarrow\infty}(2-\frac{1}{k}) = 2$ ， $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{22}^{(k)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{3}{k^3}=0$ 。

所以 $\lim_{k\rightarrow\infty}A_k=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$ 。

2.求矩陣 $A=\begin{pmatrix}1& - 2&3\\4&5& - 6\\7& - 8&9\end{pmatrix}$ 的行和範數 $\|A\|_{\infty}$ 。

解：第 1 行元素絕對值之和為 $|1|+|-2|+|3| = 6$ ；第 2 行元素絕對值之和為 $|4|+|5|+|-6| = 15$ ；第 3 行元素絕對值之和為 $|7|+|-8|+|9| = 24$ 。

所以 $\|A\|_{\infty}=24$ 。

3.求矩陣 $A=\begin{pmatrix}1& - 2&3\\4&5& - 6\\7& - 8&9\end{pmatrix}$ 的列和範數 $\|A\|_{1}$ 。

解：第 1 列元素絕對值之和為 $|1|+|4|+|7| = 12$ ；第 2 列元素絕對值之和為 $|-2|+|5|+|-8| = 15$ ；第 3 列元素絕對值之和為 $|3|+|-6|+|9| = 18$ 。

所以 $\|A\|_{1}=18$ 。

4.求矩陣 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ 的 2 - 範數 $\|A\|_{2}$ 。

解：先求 $A^TA=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 + 9&2+12\\2 + 12&4 + 16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&14\\14&20\end{pmatrix}$ 。

再求 $A^TA$ 的特徵值， $\vert\lambda I - A^TA\vert=\begin{vmatrix}\lambda - 10& - 14\\ - 14&\lambda - 20\end{vmatrix}=(\lambda - 10)(\lambda - 20)-196=\lambda^2 - 30\lambda + 200 - 196=\lambda^2 - 30\lambda + 4$ 。

由求根公式 $\lambda=\frac{30\pm\sqrt{900 - 16}}{2}=\frac{30\pm\sqrt{884}}{2}=15\pm\sqrt{221}$ 。

最大特徵值 $\lambda_{max}=15+\sqrt{221}$ ，所以 $\|A\|_{2}=\sqrt{15+\sqrt{221}}$ 。

5.計算行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}$ 。

解：將第 2、3、4 行都加到第 1 行，得 $\begin{vmatrix}10&10&10&10\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}$ 。

再將第 1 行乘以 $-2$ 加到第 2 行，乘以 $-3$ 加到第 3 行，乘以 $-4$ 加到第 4 行，得 $10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2& - 1\\0&1& - 2& - 1\\0& - 3& - 2& - 1\end{vmatrix}$ 。

繼續通過行運算化為上三角行列式，計算可得值為 $160$ 。

6.已知矩陣序列 $A_k=\begin{pmatrix}\frac{1}{k^2}&\frac{2}{k^3}\\ \frac{3}{k}&\frac{4}{k^4}\end{pmatrix}$ ，判斷其是否收斂。

解： $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{11}^{(k)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k^2}=0$ ， $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{12}^{(k)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{2}{k^3}=0$ ， $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{21}^{(k)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{3}{k}=0$ ， $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{22}^{(k)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{4}{k^4}=0$ 。