本文使用的 Python 解释器与 NumPy 库的版本如下。

• Python 3.12.9
• NumPy 2.1.2

1 基础

1.1 数据类型

1.1.1 整型数组与浮点型数组

​ 为克服 Python 内置列表的缺点，一个 NumPy 数组只有 1 种数据类型，以节约内存。

​ 注意，使用 print 输出 NumPy 数组后，元素之间没有逗号。一来可以与 Python 内置列表区分，二来可以避免逗号与小数点之间的混淆。

1.1.2 元素同化

• 往整数型数组里插入浮点数，该浮点数会被自动截断为整数；
• 往浮点型数组里插入整数，该整数会被自动升级为浮点数。

1.1.3 数组类型转换

​ 整数型数组和浮点型数组之间的界限十分严格，要将整数型数组和浮点型数组相互转换，规范的方法是使用 .astype() 方法。

​ 此外，整数型数组在运算过程中也可升级为浮点型数组，示例如下。

​ 整数型数组很好升级，但浮点型数组在运算过程中一般不会降级。

1.2 数组维度

1.2.1 一维数组与二维数组

​ 深度学习三维及其以上的数组出现次数少，我们后续主要讲解。

​ NumPy 中的一维数组和二维数组，学了一维和二维后，很好类推到三维。

1. 不同维度的数组之间，从外形上的本质区别是
   • 一维数组使用1层中括号表示；
   • 二维数组使用2层中括号表示；
   • 三维数组使用3层中括号表示。
2. 有些函数需要传入数组的形状参数，不同维度数组的形状参数为
   • 一维数组的形状参数形如： x 或 (x,) ；
   • 二维数组的形状参数形如： (x, y) ；
   • 三维数组的形状参数形如： (x, y, z) 。
3. 现在以同一个序列进行举例
   • 当数组有 1 层中括号，如 [1 2 3]，则其为一维数组，其形状是 3 或 (3, ) ；
   • 当数组有 2 层中括号，如 [[1 2 3]]，则其为二维数组，其形状是 (1, 3) ；
   • 当数组有 3 层中括号，如 [[[1 2 3]]]，则其为三维数组，其形状是 (1, 1, 3) ；

​ 可以使用数组 .shape 属性查看 arr1 和 arr2 的形状。

1.2.2 数组形状变换

​ 一维数组转二维数组，还是二维数组转一维数组，均要使用的是数组的重塑方法 .reshape() ，该方法需要传入重塑后的形状（shape）参数。

​ 这个方法神奇的是，给定了其他维度的数值，剩下一个维度可以填 -1，让它自己去计算。
​ 例如，把一个 5 行 6 列的矩阵重塑为 3 行 10 列的矩阵，当列的参数 10 告诉它，行的参数直接可以用 -1 来替代，它会自己去用 30 除以 10 来计算。

​ 这里演示给 .reshape() 传入的形状参数是 (1, -1)，正常情况下一般传入 (1, 10)。

​ (1, -1) 的含义是：行的参数是 1 行，列的参数 -1 让 NumPy 自己去除着算。

​ 规定，将一维数组称为向量，二维数组称为矩阵。

2 创建数组

2.1 创建指定数组

​ 当明确知道数组每一个元素的具体数值时，可以使用 np.array() 函数，将 Python 列表转化为 NumPy 数组。

2.2 创建递增数组

​ 递增数组使用 np.arange() 函数进行创建（arange 全称是 array_range）。

2.3 创建同值数组

​ 创建同值数组时，使用 np.zeros() 函数以及 np.ones() 函数，如示例。

​ 示例中隐藏了一个细节——两个函数输出的并不是整数型的数组，这可能是为了避免插进去的浮点数被截断，所以将其设定为浮点型数组。

2.4 创建随机数组

​ 创建随机数组，可以使用 np.random 系列函数，如示例所示。

3 索引

3.1 访问数组元素

​ 与 Python 列表一致，访问 NumPy 数组元素时使用中括号，索引由 0 开始。

3.1.1 访问向量

3.1.2 访问矩阵

3.2 花式索引

​ 花式索引（Fancy indexing）又名“花哨的索引”，这里的 Fancy 应取“华丽的、巧妙的、奢华的、时髦的”之义。

​ 上一小节访问单个元素时，向量用 arr1[x]，矩阵用 arr2[x,y]。逗号在矩阵里用于区分行与列。

​ 这一小节，逗号新增一个功能，且不会与矩阵里的逗号混淆。

​ 普通索引用一层中括号，花式索引用两层中括号。

3.2.1 向量花式索引

3.2.2 矩阵花式索引

​ 根据以上实例，花式索引输出的仍然是一个向量。

3.3 数组切片

3.3.1 向量切片

​ 向量与列表切片的操作完全一致。

3.3.2 矩阵切片

3.3.3 提取矩阵行

​ 基于矩阵切片功能，可以提取其部分行。

​ 所以，有时你可能看到诸如 arr[1][2] 这样的语法，这是先提取了第 1 行，再提取该行中第 2 个元素。
​ 这种写法不是推荐。

3.3.4 提取矩阵列

​ 提取某一个单独的列时，出来的结果是一个向量。这么做是为了省空间，因为列矩阵必须用两层中括号来存储。

​ 形状为 1000 的向量，自然比形状为 (1000, 1) 的列矩阵更省空间（节约了 1000 对括号）。

​ 如果想要提取一个列矩阵出来，示例如下。

3.4 切片是视图！！！

3.4.1 切片是视图

​ 与 Python 列表和 Matlab 不同，NumPy 数组的切片仅仅是原数组的一个视图。

​ 换言之，NumPy 切片并不会创建新的变量，示例如下。

​ 习惯 Matlab 的用户可能无法理解，但其实这正是 NumPy 的精妙之处。

​ 试想一个几百万条数据的数组，每次切片时都创建一个新变量，势必造成大量内存浪费。

​ 因此，NumPy 的切片被设计为原数组的视图是极好的。

​ 深度学习中为节省内存，将多次使用 arr[:] = <表达式> 来替代 arr = <表达式>。

3.4.2 拷贝切片

3.5 数组赋值是绑定

3.5.1 数组赋值是绑定

​ 与 NumPy 数组的切片一样，NumPy 数组完整的赋值给另一个数组，也只是绑定。

​ 换言之，NumPy 数组之间的赋值并不会创建新的变量，示例如下。

3.5.2 拷贝数组

​ 如果真的需要赋给一个新数组，使用 .copy() 方法。

4 数组的变形

4.1 数组转置

​ 数组的转置方法为 .T，其只对矩阵有效，因此遇到向量要先将其转化为矩阵。

4.1.1 向量转置

4.1.2 矩阵转置

​ 行矩阵（向量）的转置刚演示了，列矩阵的转置如示例所示。

4.2 数组翻转

​ 数组的翻转方法有两个，一个是上下翻转的 np.flipud() ，表示 up-down；

​ 一个是左右翻转的 np.fliplr()，表示 left-right。

​ 其中，向量只能使用 np.flipud()。在数学中，向量并不是横着排的，而是竖着排的。

4.2.1 向量翻转

4.2.2 矩阵翻转

4.3 数组变形

​ 想要重塑数组的形状，需要用到 .reshape() 方法。

​ 前面说过，把一个 5 行 6 列的矩阵重塑为 3 行 10 列的矩阵，当列的参数 10 告诉它，行的参数直接可以用 -1 来替代，它会自己去用 30 除以 10 来计算。

4.3.1 向量变形

4.3.2 矩阵变形

4.4 数组拼接

4.4.1 向量拼接

​ 两个向量拼接，将得到一个新的加长版向量。

4.4.2 矩阵拼接

​ 两个矩阵可以按不同的维度进行拼接，但拼接时必须注意维度的吻合。

​ 最后要说明的是，向量和矩阵不能进行拼接，必须先把向量升级为矩阵。

4.5 数组拆分

4.5.1 向量拆分

​ 向量分裂，将得到若干个更短的向量。

​ np.split() 函数中，给出的第二个参数 [2,8] 表示在索引 [2] 和索引 [8] 的位置截断。

4.5.2 矩阵拆分

​ 矩阵的分裂同样可以按不同的维度进行，分裂出来的均为矩阵。

5 运算

5.1 数组与标量运算

​ Python 基础中，常用的运算符如表 5-1 所示，NumPy 的运算符与之相同。

5.2 数组与数组运算

​ 同维度数组间的运算即对应元素之间的运算，这里仅以矩阵为例，向量与向量的操作与之相同。

​ 乘法是遵循对应元素相乘的，你可以称之为“逐元素乘积”。

​ 如何实现线性代数中的“矩阵级乘法”呢？6.1 会介绍到相关函数。

5.3 广播

​ 不同形状的数组之间的运算有以下规则：

• 如果是向量与矩阵之间做运算，向量自动升级为行矩阵；
• 如果某矩阵是行矩阵或列矩阵，则其被广播，以适配另一个矩阵的形状。

5.3.1 向量广播

​ 当一个形状为 (x, y) 的矩阵与一个向量做运算时，要求该向量的形状必须为 y，运算时向量会自动升级成形状为 (1, y) 的行矩阵，该形状为 (1, y) 的行矩阵再自动被广播为形状为 (x, y) 的矩阵，这样就与另一个矩阵的形状适配了。

5.3.2 列矩阵广播

​ 当一个形状为 (x, y) 的矩阵与一个列矩阵做运算时，要求该列矩阵的形状必须为 (x, 1)，该形状为 (x, 1) 的列矩阵再自动被广播为形状为 (x, y) 的矩阵，这样就与另一个矩阵的形状适配了。

5.3.3 矩阵同时广播

​ 当一个形状为 (1, y) 的行矩阵与一个形状为 (x, 1) 的列矩阵做运算时，这俩矩阵都会被自动广播为形状为 (x, y) 的矩阵，这样就互相适配了。

6 数组函数

6.1 矩阵乘积

• 第五章中的乘法都是“逐元素相乘”，这里介绍线性代数中的矩阵乘积，本节只需要使用 np.dot() 函数。
• 当矩阵乘积中混有向量时，根据需求，其可充当行矩阵，也可充当列矩阵，但混有向量时输出结果必为向量。

6.1.1 向量与向量

​ 设两个向量的形状按前后顺序分别是 5 以及 5 。从矩阵乘法的角度，有 (1, 5) * (5, 1) = (1, 1)，因此输出的应该是形状为 1 的向量。

6.1.2 向量与矩阵

​ 设向量的形状是 5，矩阵的形状是 (5, 3)。从矩阵乘法的角度，有 (1, 5) * (5, 3) = (1, 3)，因此输出的应该是形状为 3 的向量。

6.1.3 矩阵与向量

​ 设矩阵的形状是 (3, 5)，向量的形状是 5。从矩阵乘法的角度，有 (3, 5) * (5, 1) = (3, 1)，因此输出的应该是形状为 3 的向量。

6.1.4 矩阵与矩阵

​ 设矩阵的形状是 (5, 2) 以及 (2, 8)。从矩阵乘法的角度，有 (5, 2) * (2, 8) = (5, 8)，因此输出的应该是形状为 (5, 8) 的矩阵。

6.2 数学函数

​ NumPy 设计了很多数学函数，这里列举其中最重要、最常见的几个。

6.3 聚合函数

​ 聚合很有用，这里用矩阵演示。向量与之一致，但没有 axis 参数。以下在注释中介绍了 6 个最重要的聚合函数，其用法完全一致，仅演示其中 3 个。

• 当 axis=0 时，最终结果与每一行的元素个数一致；
• 当 axis=1 时，最终结果与每一列的元素个数一致。

​ 考虑到大型数组难免有缺失值，以上聚合函数碰到缺失值时会报错，因此出现聚合函数的安全版本，即计算时忽略缺失值：np.nansum()、np.nanprod() 、np.nanmean()、np.nanstd()、np.nanmax()、np.nanmin()。

7 布尔型数组

​ 除了整数型数组和浮点型数组，还有一种有用的数组类型——布尔型数组。

7.1 创建

​ 由于 NumPy 的主要数据类型是整数型数组或浮点型数组，因此布尔型数组的产生离不开：大于 >、大于等于 >=、等于 ==、不等号 !=、小于 <、小于等于 <=。

​ 首先，我们将数组与系数作比较，以产生布尔型数组，示例如下。

​ 其次，我们将同维数组作比较，以产生布尔型数组，示例如下。

​ 最后，还可以同时比较多个条件。Python 里同时检查多个条件使用的与、或、非是 and、or、not。但 NumPy 中使用的与、或、非是 & 、 | 、 ~ 。

7.2 布尔型数组中 True 的数量

​ 有三个关于 True 数量的有用函数，分别是 np.sum()、np.any()、np.all()。

​ np.sum() 数：统计布尔型数组里 True 的个数。示例如下。

​ 从结果来看，arr1 与 arr2 里含有共同元素，那就是 5。

​ np.all() 函数：当布尔型数组里全是 True 时，才返回 True，示例如下。

​ 从结果来看，尽管 3σ 准则告诉我们有 99.73% 的考生成绩高于 290 分，但仍然有最终成绩低于 250 分的裸考者。

7.3 布尔型数组作为掩码

​ 若一个普通数组和一个布尔型数组的维度相同，可以将布尔型数组作为普通数组的掩码，这样可以对普通数组中的元素作筛选。给出两个示例。

​ 第一个示例，筛选出数组中大于、等于或小于某个数字的元素。

​ 注意，这个矩阵进行掩码操作后，退化为了向量。

​ 第二个示例，筛选出数组逐元素比较的结果。

7.4 满足条件的元素所在位置

​ 现在我们来思考一种情况：假设一个很长的数组，我想知道满足某个条件的元素们所在的索引位置，此时使用 np.where() 函数。

​ np.where() 函数的输出看起来比较怪异，它是输出了一个元组。

​ 元组第一个元素是“满足条件的元素所在位置”；第二个元素是数组类型，可忽略掉。

8 数组与张量

​ PyTorch 作为当前首屈一指的深度学习库，其将 NumPy 的语法尽数吸收，作为自己处理数组的基本语法，且运算速度从使用 CPU 的数组进步到使用 GPU 的张量。

​ NumPy 和 PyTorch 的基础语法几乎一致，具体表现为：

1. np 对应 torch；
2. 数组 array 对应张量 tensor；
3. NumPy 的 n 维数组对应着 PyTorch 的 n 阶张量。

​ 数组与张量之间可以相互转换：

1. 数组 arr 转为张量 ts：ts = torch.tensor(arr)；
2. 张量 ts 转为数组 arr：arr = np.array(ts)。

NumPy函数	PyTorch函数	区别
.astype()	.type()	无
np.random.random()	torch.rand()	无
np.random.randint()	torch.randint()	不接纳一维张量
np.random.normal()	torch.normal()	不接纳一维张量
np.random.randn()	torch.randn()	无
.copy()	.clone()	无
np.concatenate()	torch.cat()	无
np.split()	torch.split()	参数含义优化
np.dot()	torch.matmul()	无
np.dot(v,v)	torch.dot()	无
np.dot(m,v)	torch.mv()	无
np.dot(m,m)	torch.mm()	无
np.exp()	torch.exp()	必须传入张量
np.log()	torch.log()	必须传入张量
np.mean()	torch.mean()	必须传入浮点型张量
np.std()	torch.std()	必须传入浮点型张量