新手村：统计量均值、中位数、标准差、四分位数

统计量定义与讲解

统计量	定义	计算公式	示例说明
均值	数据集中的所有数值之和除以数值的个数。	$\text{Mean}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$	对于数据集 [1, 2, 3, 4, 5]，均值为 $(1+2+3+4+5)/5=3$
中位数	将数据集排序后位于中间位置的数值。如果数据集长度为偶数，则取中间两个数的平均值。	排序后取中间值（或中间两个数的平均值）	对于数据集 [1, 2, 3, 4, 5]，中位数为 3；对于 [1, 2, 3, 4]，中位数为 $(2+3)/2=2.5$
标准差	衡量数据集内数值分布的离散程度。	$\text{Standard Deviation}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}{n}}$	对于数据集 [1, 2, 3, 4, 5]，标准差约为 1.414
四分位数	将数据集分为四个等份，分别对应第25%、第50%（即中位数）、第75%的位置上的值。	Q1（第一四分位数）：下四分位数；Q2（第二四分位数）：中位数；Q3（第三四分位数）：上四分位数	对于数据集 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，Q1 = 2.25, Q2 = 4.5, Q3 = 6.75

示例计算

假设我们有一个数据集：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

均值

$$\text{Mean}=\frac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}=\frac{36}{8}=4.5$$

中位数

排序后的数据集为 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
中位数是中间两个数的平均值：
$$\text{Median}=\frac{4+5}{2}=4.5$$

标准差

首先计算每个数值与均值的差的平方：
$$\begin{gathered} (1-4.5{)}^2=12.25,(2-4.5{)}^2=6.25,(3-4.5{)}^2=2.25,(4-4.5{)}^2=0.25, \\ (5-4.5{)}^2=0.25,(6-4.5{)}^2=2.25,(7-4.5{)}^2=6.25,(8-4.5{)}^2=12.25 \end{gathered}$$
然后计算这些平方差的平均值并开方：
$$\text{Standard Deviation}=\sqrt{\frac{12.25+6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25+12.25}{8}}=\sqrt{\frac{42}{8}}\approx 2.29$$

四分位数

四分位数是将数据集分为四个等份的三个分割点，分别称为第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2，即中位数）和第三四分位数（Q3）。这些分割点可以帮助我们了解数据的分布情况。以下是详细的四分位数计算步骤和示例。

四分位数的定义

• Q1（第一四分位数）：位于数据集第25%位置的值。
• Q2（第二四分位数）：位于数据集第50%位置的值，即中位数。
• Q3（第三四分位数）：位于数据集第75%位置的值。

计算步骤

1. 排序数据集：首先将数据集按升序排列。
2. 确定位置：
   • Q1的位置：$(n+1)\times 0.25$
   • Q2的位置：$(n+1)\times 0.5$
   • Q3的位置：$(n+1)\times 0.75$
     其中 $n$ 是数据集中的数值个数。
3. 插值计算：如果位置不是整数，则使用线性插值法计算四分位数。

示例

假设我们有一个数据集：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

步骤1：排序数据集

数据集已经按升序排列：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

步骤2：确定位置

• 数据集大小 $n=8$
• Q1的位置：$(8+1)\times 0.25=2.25$
• Q2的位置：$(8+1)\times 0.5=4.5$
• Q3的位置：$(8+1)\times 0.75=6.75$

步骤3：插值计算

• Q1（第一四分位数）：

  • 位置为2.25，表示在第2个和第3个数据之间。
  • 使用线性插值：$Q1=2+0.25\times (3-2)=2.25$

• Q2（第二四分位数）：

  • 位置为4.5，表示在第4个和第5个数据之间。
  • 使用线性插值：$Q2=4+0.5\times (5-4)=4.5$

• Q3（第三四分位数）：

  • 位置为6.75，表示在第6个和第7个数据之间。
  • 使用线性插值：$Q3=6+0.75\times (7-6)=6.75$

总结表格

统计量	位置公式	插值计算公式	示例（数据集 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]）
Q1	$(n+1)\times 0.25$	$L_{Q1}+F_{Q1}\times (U_{Q1}-L_{Q1})$	$2+0.25\times (3-2)=2.25$
Q2	$(n+1)\times 0.5$	$L_{Q2}+F_{Q2}\times (U_{Q2}-L_{Q2})$	$4+0.5\times (5-4)=4.5$
Q3	$(n+1)\times 0.75$	$L_{Q3}+F_{Q3}\times (U_{Q3}-L_{Q3})$	$6+0.75\times (7-6)=6.75$

解释

• 位置公式：用于确定四分位数的大致位置。
• 插值计算公式：
  • $L_{Qi}$：四分位数位置的下限值。
  • $F_{Qi}$：四分位数位置的小数部分。
  • $U_{Qi}$：四分位数位置的上限值。

通过上述步骤和公式，您可以准确地计算出任何数据集的四分位数。以下是一个Python代码示例，展示如何使用pandas库来计算四分位数：
然而，Pandas 的 quantile 方法在处理偶数个元素时会略有不同：

• Q1: $\frac{2+3}{2}+0.25\ast (3-2)=2.75$
• Q3: $\frac{5+6}{2}+0.75\ast (6-5)=6.25$
• Q2: $4.5$

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
# 数据集
data = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 创建DataFrame
df = pd.DataFrame(data, columns=['value'])
# 计算四分位数
Q1 = df['value'].quantile(0.25)
Q2 = df['value'].quantile(0.5)
Q3 = df['value'].quantile(0.75)
print(f"Q1: {Q1}, Q2: {Q2}, Q3: {Q3}")
# 绘制箱线图
plt.figure(figsize=(8, 2))
plt.boxplot(df['value'], vert=False)
plt.title('数据的箱线图')
plt.xlabel('值')
plt.yticks([1], ['数据'])
plt.grid(True)
plt.show()

输出结果应为：

Q1: 2.75, Q2: 4.5, Q3: 6.25

总结表格

统计量	公式	示例（数据集 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]）
均值	$\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$	$(1+2+3+4+5+6+7+8)/8=4.5$
中位数	排序后取中间值（或中间两个数的平均值）	$(4+5)/2=4.5$
标准差	$\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}{n}}$	$\sqrt{\frac{42}{8}}\approx 2.29$
四分位数	Q1（下四分位数），Q2（中位数），Q3（上四分位数）	Q1 = 2.75, Q2 = 4.5, Q3 = 6.5

FAQ

为什么我计算的1~8的四分位和理论上的不一致 我的时 Q1 2.75 Q2 4.5 Q3 6.25,理论上是 Q1 2.25 Q2 4.5 Q3 6.75 ?

A: 然而，Pandas 的 quantile 方法在处理偶数个元素时会略有不同：

• Q1: $\frac{2+3}{2}=2.75$
• Q3: $\frac{6+7}{2}=6.25$
• Q2: $4.5$