时间序列预测实战：指数平滑法详解与MATLAB实现

摘要

本文系统讲解指数平滑法的核心理论与实战应用，涵盖一次、二次、三次及差分指数平滑技术。通过电器销售额预测、发电量趋势分析等案例，详细解析加权系数选择、初始值设定与误差修正机制，并提供完整的MATLAB实现代码。结合预测误差评估与模型优化策略，为读者提供从基础理论到工业级应用的全流程方法论。

关键词：指数平滑法加权系数预测模型误差修正 MATLAB实现

一、指数平滑法基础理论

1.1 核心思想

指数平滑法通过对历史数据赋予指数衰减权重，构建动态预测模型。其核心公式为加权平均：
$S_t = \alpha y_t + (1-\alpha)S_{t-1}$
其中 $\alpha$ 为平滑系数（ $0<\alpha<1$ ），体现新数据与历史信息的权衡。

1.2 方法分类

类型	适用场景	数学特性
一次指数平滑	无趋势/季节性的平稳序列	单参数线性模型
二次指数平滑	线性趋势序列	双重平滑消除滞后偏差
三次指数平滑	非线性趋势/季节性序列	三次多项式拟合
差分指数平滑	非平稳序列	结合差分与平滑技术

二、一次指数平滑法

2.1 预测模型

递推公式：
$S_t^{(1)} = \alpha y_t + (1-\alpha) S_{t-1}^{(1)}$
预测方程：
$\hat{y}_{t+1} = S_t^{(1)}$

2.2 参数选择策略

2.2.1 平滑系数 $\alpha$

低 $\alpha$ 值（0.1-0.3）：适用于平稳数据，保留长期历史信息
高 $\alpha$ 值（0.6-0.8）：适用于波动数据，快速响应趋势变化

2.2.2 初始值 $S_0^{(1)}$

数据量>20：取首项 $S_0^{(1)} = y_1$
数据量<20：取前3-5项平均值 $S_0^{(1)} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k y_i$

2.3 电器销售额预测案例

2.3.1 数据样本

某市1976-1987年电器销售额（万元）：

年份	销售额	年份	销售额
1976	50	1982	51
1977	52	1983	40
1978	47	1984	48
1979	51	1985	52
1980	49	1986	51
1981	48	1987	59

2.3.2 MATLAB实现

matlab">clc, clear
y = [50, 52, 47, 51, 49, 48, 51, 40, 48, 52, 51, 59];
alpha = [0.2, 0.5, 0.8]; % 测试不同平滑系数
n = length(y);
S0 = mean(y(1:2)); % 初始值取前两项平均% 指数平滑计算
for a = 1:length(alpha)S = S0;yhat{a}(1) = S;for t = 2:nS = alpha(a)*y(t-1) + (1-alpha(a))*S;yhat{a}(t) = S;enderror(a) = sqrt(mean((y(2:end) - yhat{a}(2:end)).^2));
end% 结果可视化
plot(1976:1987, y, 'ko-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(1977:1987, yhat{1}(2:end), 'r--');
plot(1977:1987, yhat{2}(2:end), 'b-.');
plot(1977:1987, yhat{3}(2:end), 'g:');
legend('实际值','α=0.2','α=0.5','α=0.8');
xlabel('年份'); ylabel('销售额（万元）');

2.3.3 误差分析

α值	预测标准误差
0.2	4.50
0.5	4.59
0.8	4.84

结论：选择α=0.2时误差最小，1988年预测值为：
$\hat{y}_{1988} = 0.2 \times 59 + 0.8 \times 49.22 = 51.18 \text{万元}$

三、二次指数平滑法

3.1 模型原理

通过双重平滑处理线性趋势，预测公式为：
$\hat{y}_{t+m} = a_t + b_t m$
其中：
$a_t = 2S_t^{(1)} - S_t^{(2)}$
$b_t = \frac{\alpha}{1-\alpha}(S_t^{(1)} - S_t^{(2)})$

3.2 发电量预测案例

3.2.1 计算步骤

一次平滑：
$S_t^{(1)} = \alpha y_t + (1-\alpha)S_{t-1}^{(1)}$
二次平滑：
$S_t^{(2)} = \alpha S_t^{(1)} + (1-\alpha)S_{t-1}^{(2)}$

3.2.2 MATLAB实现

matlab">% 数据输入
y = [676, 825, 774, 716, 940, 1159, 1384, 1524, 1668, 1688, 1958, 2031, 2234, 2566, 2820, 3006, 3093, 3277, 3514, 3770, 4107];
alpha = 0.3;
S1 = zeros(size(y)); S2 = zeros(size(y));% 初始化
S1(1) = y(1); 
S2(1) = y(1);% 双重指数平滑
for t = 2:length(y)S1(t) = alpha*y(t) + (1-alpha)*S1(t-1);S2(t) = alpha*S1(t) + (1-alpha)*S2(t-1);
end% 计算预测参数
a = 2*S1(end) - S2(end);
b = alpha/(1-alpha)*(S1(end)-S2(end));
forecast = a + b*[1,2]; % 未来两年预测

3.2.3 预测结果

年份	预测值（亿度）	增长率
1986	4223.95	+5.1%
1987	4434.19	+5.0%

四、三次指数平滑法

4.1 模型方程

适用于非线性趋势与季节性叠加场景：
$\hat{y}_{t+m} = a_t + b_t m + c_t m^2$
参数计算公式：
$a_t = 3S_t^{(1)} - 3S_t^{(2)} + S_t^{(3)}$
$b_t = \frac{\alpha}{2(1-\alpha)^2}[(6-5\alpha)S_t^{(1)} - 2(5-4\alpha)S_t^{(2)} + (4-3\alpha)S_t^{(3)}]$
$c_t = \frac{\alpha^2}{2(1-\alpha)^2}[S_t^{(1)} - 2S_t^{(2)} + S_t^{(3)}]$

4.2 固定资产投资预测

4.2.1 数据样本

某省1978-1988年固定资产投资（亿元）：

matlab">investment = [20.04, 20.06, 25.72, 34.61, 51.77, 55.92, 80.65, 131.11, 148.58, 162.67, 232.26];

4.2.2 MATLAB实现

matlab">alpha = 0.3;
S1 = zeros(size(investment));
S2 = zeros(size(investment));
S3 = zeros(size(investment));% 三次指数平滑
for t = 1:length(investment)if t == 1S1(t) = mean(investment(1:3));S2(t) = S1(t);S3(t) = S1(t);elseS1(t) = alpha*investment(t) + (1-alpha)*S1(t-1);S2(t) = alpha*S1(t) + (1-alpha)*S2(t-1);S3(t) = alpha*S2(t) + (1-alpha)*S3(t-1);end
end% 计算预测参数
a = 3*S1(end) - 3*S2(end) + S3(end);
b = (alpha/(2*(1-alpha)^2)) * ((6-5*alpha)*S1(end) - 2*(5-4*alpha)*S2(end) + (4-3*alpha)*S3(end));
c = (alpha^2/(2*(1-alpha)^2)) * (S1(end) - 2*S2(end) + S3(end));% 二次曲线预测
m = [1,2]; % 预测未来两年
forecast = a + b*m + c*m.^2;

五、差分指数平滑法

5.1 一阶差分法

适用场景：线性增长趋势的非平稳序列

计算步骤：

计算一阶差分：
$\nabla y_t = y_t - y_{t-1}$
对差分序列指数平滑：
$\nabla \hat{y}_{t+1} = \alpha \nabla y_t + (1-\alpha)\nabla \hat{y}_t$
还原预测值：
$\hat{y}_{t+1} = \nabla \hat{y}_{t+1} + y_t$

5.2 燃料消耗量预测案例

5.2.1 MATLAB代码

matlab">y = [24, 26, 27, 30, 32, 33, 36, 40, 41, 44];
alpha = 0.4;
dY = diff(y); % 一阶差分% 差分序列平滑
forecast_diff = zeros(size(dY));
forecast_diff(1) = dY(1); % 初始值
for t = 2:length(dY)forecast_diff(t) = alpha*dY(t-1) + (1-alpha)*forecast_diff(t-1);
end% 还原预测值
forecast = y(end) + forecast_diff(end);

5.2.2 预测结果

$\hat{y}_{1987} = 44 + 2.49 = 46.49 \text{百吨}$

六、方法对比与工程实践

6.1 性能评估矩阵

指标	一次平滑	二次平滑	三次平滑	差分平滑
趋势捕捉能力	★★☆☆☆	★★★★☆	★★★★★	★★★☆☆
计算复杂度	★☆☆☆☆	★★☆☆☆	★★★★☆	★★☆☆☆
参数敏感性	中	较高	高	低
数据要求	>20点	>30点	>50点	>15点

6.2 实施路线图

数据预处理
- 缺失值处理：线性插值或季节插补
```
matlab">y_filled = fillmissing(y, 'linear');
```
模型选择流程

参数调优方法

网格搜索法确定最优α值

matlab">alphas = 0.1:0.1:0.9;
for i = 1:length(alphas)model = smoothdata(y, 'exponential', alphas(i));mse(i) = mean((y(2:end) - model(1:end-1)).^2);
end
[~, idx] = min(mse);
best_alpha = alphas(idx);

七、总结与扩展

指数平滑法凭借其简洁性、可解释性和良好的预测性能，在供应链管理、电力负荷预测、经济指标分析等领域广泛应用。进阶学习建议：

与ARIMA模型结合：处理复杂季节性模式
状态空间模型：Kalman滤波框架下的自适应平滑
机器学习融合：LSTM神经网络与平滑技术的混合建模

通过掌握本文介绍的核心方法，读者可构建出适用于大多数工业场景的预测系统，为决策提供可靠的数据支持。