前言
线性回归是机器学习中最基础且应用广泛的算法之一。本文将详细介绍一个基于Python实现的线性回归算法，包括数据预处理、特征归一化、梯度下降优化等核心步骤。同时将结合房价预测的实际案例，从数学角度深入解析线性回归的原理及其Python实现。
一、问题定义
1.1 数据集描述
我们使用一个包含47条房屋数据的数据集：
- 特征变量(X)：
- x₁: 房屋面积（平方英尺）
- x₂: 卧室数量
- 目标变量(y)：房屋价格（美元）
示例数据：
面积(x₁) 卧室数(x₂) 价格(y)
2104 3 399900
1600 3 329900
2400 3 369000
... ... ...
1.2 数学模型
线性回归模型可表示为： h_θ(x) = θ₀ + θ₁x₁ + θ₂x₂+...θnxn + ε
其中：
- h_θ(x)：预测价格
- θ₀：偏置项（截距）
- θ₁, θ₂：特征权重
- x₁, x₂：输入特征
- ε ：误差项，表示模型预测与实际值之间的差异。
二、线性回归数学原理
2.1 最小二乘法
为了找到最佳的模型参数 𝜃，通常使用最小二乘法。最小二乘法的目标是最小化误差的平方和，即：
2.2 梯度下降
为了找到最小化代价函数 𝐽(𝜃)的参数 𝜃，可以使用梯度下降算法。梯度下降是一种迭代优化算法，其基本思想是沿着代价函数下降最快的方向更新参数。
梯度下降的更新规则为：
对于线性回归，这个更新规则可以写为：
2.3正规方程
除了梯度下降，线性回归还可以通过解析方法求解，即使用正规方程：
其中：
- 𝑋 是特征矩阵，
