一、教程简介

本教程专门为线性代数零基础的小白打造，旨在全面且细致地讲解解方程组与基础解系的相关知识，助力大家逐步扎实地掌握这一重要内容板块。

二、知识目标

1. 透彻理解非齐次与齐次线性方程组的定义、本质区别以及对应的解法。
2. 熟练掌握判断方程组解的存在性的方法，精准把握秩在其中起到的决定性作用。
3. 能够独立且准确地求解齐次线性方程组，并规范地表示出其通解。
4. 精通判断一个向量组是否为齐次线性方程组的基础解系的方法，并能灵活应用相关知识去证明矩阵秩的关系等拓展性问题。

三、知识讲解

（一）非齐次与齐次线性方程组的定义与解法

1. 定义阐述
   • 非齐次线性方程组：一般形式为$Ax=b$。这里的$A$是一个由方程组中未知数系数构成的矩阵，被称作系数矩阵；$x$是由未知数$x_1,x_2,\cdots ,x_n$组成的列向量，我们的目标就是求解出$x$中各个未知数的值；$b$是一个非零的列向量，只要$b$中至少有一个元素不为$0$，就满足非齐次的条件。例如，对于方程组$\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2=5\\ x_1-x_2=1\end{array}$，它的系数矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -1\end{array}\right)$，未知数向量$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$，常数向量$b=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$。从实际意义上讲，这类方程组可以用来描述各种实际问题中的数量关系，比如在经济学中分析成本与收益的关系，在物理学中描述力的平衡等场景。
   • 齐次线性方程组：形式为$Ax=0$，与非齐次线性方程组的关键区别就在于等号右边是零向量。例如$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=0\\ 3x_1+6x_2=0\end{array}$，这里$b$向量的每个元素都为$0$。齐次线性方程组在研究向量空间的结构、线性变换的核等方面有着重要的应用。
2. 解法思路详解
   • 非齐次线性方程组的解法：我们通常会把系数矩阵$A$和常数向量$b$组合成一个新的矩阵$(A|b)$，这个矩阵被叫做增广矩阵。然后对增广矩阵$(A|b)$进行一系列的初等行变换，其目的是将增广矩阵化为行阶梯形矩阵或者行最简形矩阵。在这个过程中，我们可以利用三种初等行变换操作：交换两行的位置，这就好比重新排列方程组中方程的顺序；用一个非零的数乘以某一行，相当于给方程两边同时乘以一个非零常数；把某一行的倍数加到另一行上，这类似于在方程组中通过方程之间的加减运算来消去一些未知数。当化为行最简形矩阵后，我们就可以清晰地看出未知数之间的关系，从而求解方程组。
   • 齐次线性方程组的解法：与非齐次线性方程组的求解过程类似，只不过我们只需要对系数矩阵$A$进行初等行变换。通过变换得到行阶梯形矩阵或行最简形矩阵后，确定哪些未知数是自由变量（可以自由取值的未知数），哪些是约束变量（其取值由自由变量决定的未知数），进而求出方程组的解。

（二）方程组解的存在性，强调秩的关系（6:00 - 24:00）

1. 秩的概念深度剖析：矩阵的秩是一个非常关键的概念，它表示矩阵中线性无关的行或列的最大数目，用$r(A)$表示系数矩阵$A$的秩，用$r(A|b)$表示增广矩阵的秩。所谓线性无关，简单来说就是一组向量中，没有任何一个向量可以由其他向量通过线性组合的方式表示出来。例如，对于向量组${\vec{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$，${\vec{v}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$，不存在实数$k_1$和$k_2$（不同时为$0$），使得$k_1{\vec{v}}_1+k_2{\vec{v}}_2=0$，所以这两个向量是线性无关的。而对于向量组${\vec{u}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$，${\vec{u}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$，因为${\vec{u}}_2=2{\vec{u}}_1$，所以它们是线性相关的。矩阵的秩反映了矩阵的一种内在属性，它在判断方程组解的情况时起着决定性作用。
2. 解的存在性判断准则及示例
   • 有唯一解的情况：当$r(A)=r(A|b)=n$（$n$是未知数的个数）时，方程组有唯一解。例如对于方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1-x_2=1\end{array}$，系数矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$，增广矩阵$(A|b)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$。我们对增广矩阵进行初等行变换：首先，$r_2-r_1$（第二行减去第一行）得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& -2& -2\end{array}\right)$，然后$r_2÷(-2)$（第二行除以$-2$）得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，最后$r_1-r_2$（第一行减去第二行）得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$。此时可以看出$r(A)=r(A|b)=2$（未知数个数也是$2$），所以这个方程组有唯一解，即$x_1=2$，$x_2=1$。从几何意义上理解，对于二元一次方程组，它的解可以看作是两条直线的交点，当$r(A)=r(A|b)=n$时，这两条直线恰好相交于一点。
   • 有无穷多解的情况：当$r(A)=r(A|b)<n$时，方程组有无穷多解。比如$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ 2x_1+2x_2+2x_3=2\end{array}$，系数矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$，增广矩阵$(A|b)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\end{array}\right)$。对增广矩阵进行初等行变换，$r_2-2r_1$（第二行减去第一行的$2$倍）得到$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，可以得出$r(A)=r(A|b)=1<3$（未知数个数是$3$）。这意味着方程组中存在自由变量，我们可以令$x_2=k_1$，$x_3=k_2$（$k_1,k_2$为任意实数），那么$x_1=1-k_1-k_2$，这样就得到了无穷多个解。从几何角度看，对于三元一次方程组，它的解可以看作是空间中的一个平面或者直线等几何图形，当$r(A)=r(A|b)<n$时，方程组的解构成的是一个维度小于未知数个数的几何图形，所以有无穷多个点满足方程组。
   • 无解的情况：当$r(A)<r(A|b)$时，方程组无解。像$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1+x_2=2\end{array}$，系数矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，增广矩阵$(A|b)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$。对增广矩阵进行初等行变换，$r_2-r_1$（第二行减去第一行）得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，此时$r(A)=1$，$r(A|b)=2$。这表明方程组中的方程之间存在矛盾，无法找到同时满足所有方程的解。从几何意义上讲，对于二元一次方程组，这种情况表示两条直线平行，没有交点，所以方程组无解。

（三）齐次线性方程组的解法与通解表示

1. 解法步骤全解析：以方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3=0\\ 2x_1+4x_2-2x_3=0\end{array}$为例来详细说明求解过程。
   • 步骤一：写出系数矩阵：先写出它的系数矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 4& -2\end{array}\right)$，这个矩阵包含了方程组中未知数的系数信息。
   • 步骤二：进行初等行变换：对$A$进行初等行变换，这里使用$r_2-2r_1$（第二行减去第一行的$2$倍），得到$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，这就是行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵的特点是：每一行的第一个非零元素（也称为首非零元）所在的列，在它下面的元素都是$0$。通过初等行变换，我们简化了矩阵的形式，使得方程组的结构更加清晰。
   • 步骤三：确定自由变量和约束变量：在得到行阶梯形矩阵后，我们可以确定自由变量和约束变量。在这个例子中，$x_2$是自由变量，因为它对应的列没有首非零元，所以$x_2$可以取任意实数；$x_1$和$x_3$是约束变量，它们的取值由自由变量$x_2$决定。由$x_1+2x_2-x_3=0$，我们可以将$x_1$用$x_2$和$x_3$表示为$x_1=x_3-2x_2$。
2. 通解表示的详细说明：令$x_2=k_1$，$x_3=k_2$（$k_1,k_2$为任意实数），这是因为自由变量可以自由取值，我们用参数$k_1$和$k_2$来表示它们的任意取值情况。那么$x_1=k_2-2k_1$，此时方程组的解$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{k}_2-2k_1\\ k_1\\ k_2\end{array}\right)$。我们进一步将其变形为$x=k_1\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，这里$k_1\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$就是通解。$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$和$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$构成了这个齐次线性方程组的基础解系。基础解系中的向量具有线性无关的性质，并且方程组的任意一个解都可以表示为基础解系中向量的线性组合。从向量空间的角度看，基础解系中的向量张成了齐次线性方程组的解空间，也就是说解空间中的每一个向量（即方程组的每一个解）都可以用基础解系中的向量通过线性组合的方式得到。

（四）基础解系判断与应用

1. 判断方法的详细解读：假设我们有一个向量组，要判断它是否为某个齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系，需要严格满足以下三个条件：
   • 条件一：向量组中的每个向量都是$Ax=0$的解：这是最基本的要求，因为基础解系是用来表示方程组的解的，所以其中的向量必须首先是方程组的解。我们可以通过将向量代入方程组$Ax=0$中，看等式是否成立来进行验证。例如，对于方程组$x_1+x_2=0$，如果有向量$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$，将其代入方程左边得到$-1+1=0$，等式成立，所以$\vec{v}$是该方程组的解。
   • 条件二：向量组线性无关：判断向量组线性无关有多种方法。一种常见的方法是定义法，即假设存在一组实数$k_1,k_2,\cdots ,k_s$（$s$是向量组中向量的个数），使得$k_1{\vec{v}}_1+k_2{\vec{v}}_2+\cdots +k_s{\vec{v}}_s=0$，如果只能推出$k_1=k_2=\cdots =k_s=0$，那么向量组${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\cdots ,{\vec{v}}_s$就是线性无关的。比如对于向量组${\vec{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$，${\vec{v}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$，若$k_1{\vec{v}}_1+k_2{\vec{v}}_2=0$，即$k_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$，只能推出$k_1=k_2=0$，所以它们线性无关。另外，还可以通过计算向量组构成的矩阵的秩来判断，如果矩阵的秩等于向量的个数，那么向量组线性无关。
   • 条件三：向量组所含向量的个数等于$n-r(A)$：其中$n$是未知数的个数，$r(A)$是系数矩阵$A$的秩。这个条件保证了基础解系能够完整地表示出方程组的解空间。例如，对于一个有$5$个未知数，系数矩阵$A$的秩为$3$的齐次线性方程组，$n-r(A)=5-3=2$，那么它的基础解系中应该含有$2$个线性无关的解向量。
2. 应用 - 证明矩阵秩相等的思路与示例：当要证明两个矩阵$M$和$N$的秩相等时，可以巧妙地通过与它们相关的齐次线性方程组的基础解系来证明。比如要证明$r(M)=r(N)$，我们可以尝试找到两个方程组$Mx=0$和$Nx=0$的解之间的紧密关系。如果能够证明这两个方程组的基础解系具有某种等价性，例如它们的基础解系中向量的个数相同，并且可以通过线性组合相互转换，那么就有可能证明$r(M)=r(N)$。具体来说，假设我们已经求出了$Mx=0$的基础解系为 { ξ ⃗ 1 , ξ ⃗ 2 } \{\vec{\xi}_1,\vec{\xi}_2\} {ξ ​1​,ξ ​2​}，$Nx=0$的基础解系为 { η ⃗ 1 , η ⃗ 2 } \{\vec{\eta}_1,\vec{\eta}_2\} {η ​1​,η ​2​}，并且发现${\vec{\xi }}_1$可以表示为${\vec{\eta }}_1$和${\vec{\eta }}_2$的线性组合，${\vec{\xi }}_2$也可以表示为${\vec{\eta }}_1$和${\vec{\eta }}_2$的线性组合，反之亦然，那么就可以推断出这两个方程组的解空间是相同的，从而得出$r(M)=r(N)$。

（五）证明两个矩阵相乘等于零矩阵时，秩的关系

1. 问题描述与背景：已知$AB=0$（其中$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times l$矩阵），我们要探究并证明$r(A)+r(B)\le n$这一重要结论。在实际的线性代数应用中，比如在研究线性变换的核与像的关系、矩阵的分解等问题时，这个结论经常会被用到。
2. 证明思路详细推导：
   • 首先，把$B$按列分块为$B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_l)$，这里的${\beta }_i$（$i=1,2,\cdots ,l$）均为$n$维列向量。由于$AB=0$，那么$A({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_l)=(A{\beta }_1,A{\beta }_2,\cdots ,A{\beta }_l)=0$，这就意味着$A{\beta }_i=0$（$i=1,2,\cdots ,l$）。也就是说，${\beta }_i$都是齐次线性方程组$Ax=0$的解向量。
   • 然后，根据线性代数的知识，齐次线性方程组$Ax=0$解空间的维数是$n-r(A)$（其中$n$是未知数的个数，也就是$A$的列数，$r(A)$是系数矩阵$A$的秩）。解空间的维数表示的是解空间中极大线性无关组所含向量的个数，它决定了能够线性表示解空间中任意向量的最少向量个数。
   • 接着，因为$B$的列向量组${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_l$都是$Ax=0$的解向量，所以$B$的列向量组的极大线性无关组所含向量个数（即$r(B)$）必然不超过$Ax=0$解空间的维数$n-r(A)$。这是因为$B$的列向量组是$Ax=0$解空间中的一个向量组，而极大线性无关组所含向量个数是衡量向量组“大小”的一个重要指标，一个向量组的极大线性无关组所含向量个数不会超过它所在空间的维数。所以我们可以得到$r(B)\le n-r(A)$。
   • 最后，将不等式$r(B)\le n-r(A)$进行移项，就可以得到$r(A)+r(B)\le n$。

（六）证明$A$的秩等于$A^{T}A$的秩

1. 证明方法总体介绍：我们通过证明方程组$Ax=0$和$A^{T}Ax=0$同解来实现证明$r(A)=r(A^{T}A)$这一目标。同解意味着这两个方程组的解集合是完全相同的，而矩阵的秩与它所对应的齐次线性方程组的解空间的维数密切相关（解空间维数 \ = 未知数个数 - 矩阵的秩），所以如果两个方程组同解，那么它们系数矩阵的秩必然相等。
2. 具体证明过程：
   • 第一步：证明若$x$是$Ax=0$的解，那么$x$也是$A^{T}Ax=0$的解：已知$x$满足$Ax=0$，我们在等式两边同时左乘$A^T$，根据矩阵乘法的结合律，得到$A^{T}Ax=A^{T}0$。因为任何矩阵乘以零向量都等于零向量，所以$A^{T}0=0$，即$A^{T}Ax=0$。这就说明$Ax=0$的解一定也是$A^{T}Ax=0$的解。
   • 第二步：证明若$x$是$A^{T}Ax=0$的解，那么$x$也是$Ax=0$的解：因为$x$满足$A^{T}Ax=0$，我们对等式两边同时左乘$x^T$，得到$x^T{A}^{T}Ax=0$。根据矩阵乘法的性质，$x^T{A}^{T}Ax=(Ax{)}^{T}Ax$，设$Ax=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ \cdots \\ y_m\end{array}\right)$，则$(Ax{)}^{T}Ax=y_1^2+y_2^2+\cdots +y_m^2=0$。由于实数的平方是非负的，要使它们的和为$0$，则每一项都必须为$0$，即$y_1=y_2=\cdots =y_m=0$，所以$Ax=0$。这表明$A^{T}Ax=0$的解也一定是$Ax=0$的解。
   • 第三步：得出结论：由上述两步可知，方程组$Ax=0$和$A^{T}Ax=0$同解。因为它们的解空间相同，所以解空间的维数也相同。又因为解空间维数等于未知数个数减去矩阵的秩，所以$r(A)=r(A^{T}A)$。

（七）通过转置操作，推导相关结论

1. 操作与推导过程：设有矩阵$A$和向量$x$，根据矩阵转置的运算规则，对$Ax$进行转置操作得到$(Ax{)}^T=x^T{A}^T$。假设我们通过已知条件或者一系列的推导得出$A^T\alpha =0$（其中$\alpha$是向量），接下来我们进一步证明$A^T\alpha$是$Ax=0$的解。我们可以从矩阵运算和方程组的角度来理解这个推导过程。从矩阵运算的角度看，我们可以尝试将$A^T\alpha$代入到与$Ax=0$相关的运算中，看是否能满足解的条件。从方程组的角度看，我们可以将$A^T\alpha$所代表的向量关系与$Ax=0$所描述的方程组关系进行对比和推导。例如，我们可以通过对$A$和$\alpha$进行进一步的矩阵乘法运算，或者利用已知的矩阵性质和等式关系，来验证$A^T\alpha$是否满足$Ax=0$的解的定义。具体的推导过程可能会因具体的矩阵$A$和已知条件的不同而有所差异，但总体的思路是围绕着矩阵运算和方程组的解的概念展开的。

（八）非齐次线性方程组解的结构

1. 结构证明详细过程：对于非齐次线性方程组$Ax=b$，设${\eta }_1,{\eta }_2$是它的两个不同的解，${\xi }_1,{\xi }_2$是对应的齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系。
   • 首先，我们来证明一些关键的性质。因为$A{\eta }_1=b$，$A{\eta }_2=b$，那么$A({\eta }_1-{\eta }_2)=A{\eta }_1-A{\eta }_2=b-b=0$，这就说明${\eta }_1-{\eta }_2$是齐次线性方程组$Ax=0$的解。这一步的推导是基于矩阵乘法的分配律以及非齐次线性方程组解的定义。
   • 接下来，我们要证明非齐次线性方程组的任意解$x$都可以表示为其齐次解的线性组合加上一个非齐次特解。我们设$x$是$Ax=b$的任意一个解，令$y=x-{\eta }_1$，则$Ay=A(x-{\eta }_1)=Ax-A{\eta }_1=b-b=0$，这表明$y$是$Ax=0$的解。因为${\xi }_1,{\xi }_2$是$Ax=0$的基础解系，所以$y$可以表示为$y=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$（$k_1,k_2$为任意实数），即$x-{\eta }_1=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$，移项可得$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+{\eta }_1$。这里的${\eta }_1$就是$Ax=b$的一个特解，$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$是$Ax=0$的通解，所以非齐次线性方程组$Ax=b$的通解$x$可以写成$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\eta$（$k_1,k_2$为任意实数，$\eta$是$Ax=b$的一个特解），也就是非齐通 \ = 齐通 + 非齐特。
   • 最后，我们来强调非齐次特解$\eta$的作用。非齐次特解$\eta$就像是一个固定的“起始点”，它满足非齐次线性方程组$Ax=b$。而齐次通解$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$表示的是对应的齐次线性方程组$Ax=0$的所有解。将非齐次特解和齐次通解相加，就构成了非齐次线性方程组的所有解。从几何意义上来说，非齐次线性方程组的解空间可以看作是在齐次线性方程组解空间的基础上，沿着非齐次特解所代表的向量方向进行了平移。

（九）例题解析

1. 题目内容：已知${\xi }_1,{\xi }_2$是$Ax=0$的基础解系，${\eta }_1,{\eta }_2$是$Ax=b$的两个不同的解，其中$k_1,k_2$为任意常数，问方程组$Ax=b$的通解可以是哪个选项。
   • 选项A：$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\frac{{\eta }_1-{\eta }_2}{2}$
   • 选项B：$k_1{\xi }_1+k_2({\xi }_1-{\xi }_2)+\frac{{\eta }_1+{\eta }_2}{2}$
   • 选项C：$k_1{\xi }_1+k_2({\xi }_1+{\xi }_2)+\frac{{\eta }_1-{\eta }_2}{2}$
   • 选项D：$k_1{\xi }_1+k_2({\eta }_1-{\eta }_2)+\frac{{\eta }_1+{\eta }_2}{2}$
2. 解析过程：
   • 选项A分析：对于$\frac{{\eta }_1-{\eta }_2}{2}$，因为$A(\frac{{\eta }_1-{\eta }_2}{2})=\frac{1}{2}(A{\eta }_1-A{\eta }_2)=\frac{1}{2}(b-b)=0$，所以$\frac{{\eta }_1-{\eta }_2}{2}$是$Ax=0$的解，而不是$Ax=b$的特解。根据非齐次线性方程组通解的结构“非齐通 \ = 齐通 + 非齐特”，该选项不符合要求，所以A错误。
   • 选项B分析：先看$k_1{\xi }_1+k_2({\xi }_1-{\xi }_2)$，将其变形可得$k_1{\xi }_1+k_2({\xi }_1-{\xi }_2)=(k_1+k_2){\xi }_1-k_2{\xi }_2$，这是$Ax=0$的通解，因为它是基础解系向量${\xi }_1,{\xi }_2$的线性组合。再看$\frac{{\eta }_1+{\eta }_2}{2}$，$A(\frac{{\eta }_1+{\eta }_2}{2})=\frac{1}{2}(A{\eta }_1+A{\eta }_2)=\frac{1}{2}(b+b)=b$，所以$\frac{{\eta }_1+{\eta }_2}{2}$是$Ax=b$的特解。该选项满足非齐次线性方程组通解的结构，所以B正确。
   • 选项C分析：同样，由于$A(\frac{{\eta }_1-{\eta }_2}{2})=0$，$\frac{{\eta }_1-{\eta }_2}{2}$是$Ax=0$的解，不是$Ax=b$的特解，不符合非齐次线性方程组通解的结构，所以C错误。
   • 选项D分析：虽然${\xi }_1$是$Ax=0$的解，${\eta }_1-{\eta }_2$也是$Ax=0$的解，但我们不能保证$k_1{\xi }_1+k_2({\eta }_1-{\eta }_2)$能构成$Ax=0$的通解。因为基础解系要求其中的向量线性无关且个数符合$n-r(A)$，而${\eta }_1-{\eta }_2$与${\xi }_1,{\xi }_2$的关系不确定，不一定能和${\xi }_1$一起完整表示$Ax=0$的所有解。所以该选项不符合非齐次线性方程组通解的结构，D错误。
3. 进一步验证与强调：
   • 通过初等列变换验证B选项：我们可以对相关矩阵进行初等列变换操作来验证B选项中的两个向量是$Ax=0$的基础解系。具体的变换过程如下（假设相关矩阵为$M$）：先进行某一步初等列变换，比如交换两列的位置，或者将某一列乘以一个非零常数，或者将某一列的倍数加到另一列上，然后观察矩阵的变化。经过一系列的变换后，我们可以得到一个新的矩阵$M^{\prime }$，通过分析$M^{\prime }$的结构，我们可以发现B选项中的两个向量满足基础解系的条件，即它们线性无关且都是$Ax=0$的解，并且向量个数符合$n-r(A)$。
   • 再次解释D选项错误原因：基础解系中向量的线性无关性是非常重要的性质。在判断选项时，要确保所给的向量组合能满足基础解系以及非齐次线性方程组通解的所有要求。对于D选项，由于${\eta }_1-{\eta }_2$与基础解系${\xi }_1,{\xi }_2$的关系不明确，可能存在线性相关的情况，或者无法满足基础解系向量个数的要求，所以不能保证$k_1{\xi }_1+k_2({\eta }_1-{\eta }_2)$是$Ax=0$的通解，进而整个选项不符合非齐次线性方程组通解的结构。