树及其二叉树结构阐述(C语言)

文章目录

树的概念及其结构
- 树的概念
- 现实中的二叉树
- 树的相关概念
- 树的表示
- 树在实际中的应用
二叉树的概念及其结构
- 概念
- 现实世界中的二叉树
- 特殊的二叉树
- - 满二叉树
  - 完全二叉树
- 二叉树的性质
- 二叉树的存储结构
- - 顺序存储
  - 链式存储
  - - 二叉链
    - 三叉链

树的概念及其结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。
每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
因此，树是递归定义的。

现实中的二叉树

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注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

以上图片阐述了树与非树的几种情况。

树的相关概念

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树有一些相关概念，我们可结合上图来理解。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6。
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点。
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点。
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点。
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点。
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6。
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4。
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

以上即为树相关的所有概念，其中重点需要记忆的概念我已经用黄色重点标出，其余概念能够辨识即可。

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的 左孩子右兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node{struct Node* _firstChild;    // 第一个孩子结点    struct 	Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点    	DataType _data;               // 结点中的数据域
};

可以看出，该结构中我们定义了一个结构，结构内包含两个指针和一个数据位。一个指针指向第一个孩子结点，另一个指针指向其下一个兄弟结点。这样，每个结点内只需定义两个指针，就可以表示含有无穷多个节点的树了。
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树在实际中的应用

树型结构，主要用于操作系统的文件系统。我们所熟知的Windows、Linux以及macos的文件系统都是以树形结构为基础的。下图展示的是Linux系统的文件系统。
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二叉树的概念及其结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

简单来说就是，二叉树就是，每个节点的度都不超过2的一棵树。
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从上图我们可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
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现实世界中的二叉树

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这样的树对程序员来说应该值得记录吧！

特殊的二叉树

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满二叉树

对照上图：

简单理解就是，二叉树的每一层都是满的。
除了叶子结点，每个结点的度都是2.

完全二叉树

对照上图，简单来讲，完全二叉树满足 “见缝插针”。
完全二叉树的最后一个节点前不能有空位。

从上到下、从左到右一层一层地填满节点，中间不能有空缺。
只有最后一层可能没有填满，但最后一层的节点必须靠左排列。

完全二叉树是一种节点排列紧密、从左到右依次填满的二叉树。它既节省空间，又方便用数组存储，是很多算法（如堆排序）的基础结构。

二叉树的性质

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以上性质尤其重要，我们必须牢记于心。

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
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链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们一般使用二叉链，后面我们介绍到红黑树等会用到三叉链。
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二叉树二叉与三叉结构定义

二叉链

typedef int BTDataType;
struct BinaryTreeNode{ struct BinTreeNode* _pLeft;   // 指向当前节点左孩子    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子    BTDataType _data; // 当前节点值域
};

三叉链

typedef int BTDataType;
struct BinaryTreeNode{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲    struct BinTreeNode* _pLeft;   // 指向当前节点左孩子    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子    BTDataType _data; // 当前节点值域
};