Date: 2025.01.07

Author: Xin Pan

回顾下矩阵和向量的各种乘法。

向量

点乘

又叫做点积、内积、数量积、标量积。$a=[a_1,a_2,...,a_n]$和$b=[b_1,b_2,...,b_n]$点乘的结果是一个标量，记作$a.b$

$a.b={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$

叉乘

又叫向量积、外积、叉积，叉乘，$a=[a_1,a_2,...,a_n]$和$b=[b_1,b_2,...,b_n]$叉乘的运算结果是一个向量，并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直，记作$axb$

$axb=(a_2{b}_3-b_2{a}_3,-a_1{b}_3+b_1{a}_3,a_1{b}_2-b_1{a}_2)$

元素乘（我自己起的名，为了方便理解）

对应位置元素相成，维度不变。

python">import numpy as npif __name__ == "__main__":a = np.array([1, 2, 3])b = np.array([4, 5, 6])print(f"Dot={np.dot(a,b)}")print(f"Cross={np.cross(a,b)}")print(f"@ times={a@b}")print(f"* times={a*b}")print(f"np.multiply={np.multiply(a,b)}")

结果

Dot=32
Cross=[-3  6 -3]
@ times=32
* times=[ 4 10 18]
np.multiply=[ 4 10 18]

矩阵

点乘

是矩阵各个对应元素相乘, 这个时候要求两个矩阵必须同样大小。做的事和向量的元素乘一样的。可以直接使用星号(*)进行表示。

叉乘

矩阵的乘法就是矩阵a的第m行乘以矩阵b的第n列，各个元素对应相乘然后求和作为第m行n列元素的值。使用np.dot函数执行，也可以使用@计算。

元素乘（我自己起的名，为了方便理解）

和矩阵点乘做的是一样的事情。

python">import numpy as npif __name__ == "__main__":a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])b = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])print(f"Dot={np.dot(a,b.T)}")print(f"Cross={np.cross(a,b)}")print(f"@ times={a@b.T}")print(f"* times={a*b}")print(f"np.multiply={np.multiply(a,b)}")

结果

Dot=[[ 50  68][122 167]]
Cross=[[-6 12 -6][-6 12 -6]]
@ times=[[ 50  68][122 167]]
* times=[[ 7 16 27][40 55 72]]
np.multiply=[[ 7 16 27][40 55 72]]

总结

	维度	点乘结果	叉乘结果	元素乘结果
向量	[1,N] 或 [N,1]	数	向量	向量
矩阵	[M,N] M，N可能一致	矩阵	矩阵	矩阵

	维度	点乘表示	叉乘表示	元素乘表示
向量	[1,N] 或 [N,1]	np.dot or @	np.cross	* or multiply
矩阵	[M,N] M，N可能一致	* or multiply	np.dot or @	* or multiply