Ch9 形态学图像处理

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四大算子相应性质。

腐蚀、膨胀、开闭之间的含义、关系

在二值图像中，所讨论的集合是二维整数空间 ${\mathbb{Z}}^2$中的成员。 ${\mathbb{Z}}^2$空间中，集合的每个元素都是一个二维向量(元组)，元组的坐标是图像中目标(前景)像素的坐标。

灰度数字图像可以表示为各个集合，这些集合的分量位于${\mathbb{Z}}^3$空间中：前两个值是坐标，第三个值对应离散灰度值。

在图像处理中，我们使用两类像素集合的形态学：目标元素和结构元(SE)。目标定义为前景像素集合，结构元按照前景像素和背景像素确定。

预备知识(Preliminaries)

集合的元素关系

设$A$是${\mathbb{Z}}^2$中的一个集合。如果$a=(a_1,a_2)$是$A$的一个元素，那么我们写作$a\in A$。

类似地，如果$a$不是$A$的元素，我们写作$a\notin A$。

没有元素的集合称为空集，用符号$\varnothing$表示。

集合间的关系

如果集合$A$的每个元素也是集合$B$的元素，那么$A$被称为$B$的子集，记为$A\subseteq B$。

两个集合$A$和$B$的并集，记为$C=A\cup B$，是属于$A$、$B$或两者的所有元素的集合。

两个集合$A$和$B$的交集，记为$D=A\cap B$，是属于$A$和$B$两者的所有元素的集合。

两个集合$A$和$B$如果没有共同元素，则称它们是不相交或互斥的。在这种情况下，$A\cap B=\varnothing$。

集合的运算

集合$A$的补集是不包含在$A$中的元素的集合， A c = { ω ∣ ω ∉ A } A^{c}=\{\omega|\omega\notin A\} Ac={ω∣ω∈/A}。

两个集合$A$和$B$的差，记为$A-B$，定义为 A − B = { ω ∣ ω ∈ A , ω ∉ B } = A ∩ B c A - B=\{\omega|\omega\in A,\omega\notin B\}=A\cap B^{c} A−B={ω∣ω∈A,ω∈/B}=A∩Bc。

集合的变换：反射和变换都是相对于集合的原点定义的。

集合$B$的反射，记为$\hat{B}$，定义为 B ^ = { ω ∣ ω = − b , b ∈ B } \hat{B}=\{\omega|\omega = -b,b\in B\} B^={ω∣ω=−b,b∈B}。

集合$A$通过点$z=(z_1,z_2)$的平移，记为$(A{)}_z$，定义为 ( A ) z = { c ∣ c = a + z , a ∈ A } (A)_{z}=\{c|c = a + z,a\in A\} (A)z​={c∣c=a+z,a∈A}。

膨胀和腐蚀(Dilation and Erosion)

膨胀扩展集合的组成部分、腐蚀缩小集合的组成部分。

腐蚀

一些通俗的解释：腐蚀的过程可以想象成图像中的目标“收缩”或“缩小”。具体来说，只有当结构元 B 完全覆盖在 A 的某个部分时，位置 z 才会被保留在腐蚀后的集合 $A\ominus B$ 中。

对于${\mathbb{Z}}^2$中的集合$A$和$B$，$A$被$B$腐蚀（erosion），记为$A\ominus B$，定义为：
A ⊖ B = { z ∣ ( B ) z ⊆ A } A\ominus B=\{z|(B)_{z}\subseteq A\} A⊖B={z∣(B)z​⊆A}
B是结构元。即$A$被$B$腐蚀是所有点$z$的集合，使得$B$平移$z$后包含于$A$。

集合A元素是图像I的前景像素，背景显示白色。©中的虚线边界内的实线边界是B的原点的位移界限。在这个界限内，$(B{)}_z\subseteq A$.

(d)是一个加长的结构元，它腐蚀的结果如(e)所示，是一条线。

膨胀

膨胀的过程可以想象成图像中的目标“扩展”或“增长”。具体来说，结构元 B 在图像 A 上滑动，当结构元的某部分与 A 重叠时，将该位置 z 添加到膨胀后的集合 $A\oplus B$ 中。

当$A$和$B$是${\mathbb{Z}}^2$中的集合时，$A$被$B$膨胀（dilation），记为$A\oplus B$，定义为:
A ⊕ B = { z ∣ ( B ^ ) z ∩ A ≠ ∅ } A\oplus B=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A\neq\varnothing\} A⊕B={z∣(B^)z​∩A=∅}
这个等式基于获取$B$关于原点的反射并将这个反射平移$z$。$A$被$B$膨胀就是所有位移$z$的集合，使得$\hat{B}$和$A$至少有一个元素重叠，即：
A ⊕ B = { z ∣ [ ( B ^ ) z ∩ A ] ⊆ A } A\oplus B = \{z|[( \hat{B})_{z}\cap A]\subseteq A\} A⊕B={z∣[(B^)z​∩A]⊆A}

膨胀与腐蚀的对偶关系

膨胀和腐蚀在集合补集和反射方面是相互对偶的，即:
$$\begin{gathered} (A\ominus B{)}^c=A^c\oplus \hat{B} \\ (A\oplus B{)}^c=A^c\ominus \hat{B} \end{gathered}$$
上式表明：B对A的腐蚀是$\hat{B}$对$A^c$的膨胀的补集，vice versa。当结构元相对于其原点对称的时候，有$\hat{B}=B$, 因此对偶性特别有用。

证明如下：
( A ⊖ B ) c = { z ∣ ( B ) z ⊆ A } c = { z ∣ ( B ) z ∩ A c = ∅ } c = { z ∣ ( B ) z ∩ A c ≠ ∅ } = A c ⊕ B ^ ( A ⊕ B ) c = { z ∣ ( B ^ ) z ∩ A ≠ ∅ } c = { z ∣ ( B ^ ) z ∩ A = ∅ } = { z ∣ ( B ^ ) z ⊆ A c } = A c ⊖ B ^ \begin{align} (A\ominus B)^{c}&=\{z|(B)_{z}\subseteq A\}^{c}\\ &=\{z|(B)_{z}\cap A^{c}=\varnothing\}^{c}\\ &=\{z|(B)_{z}\cap A^{c}\neq\varnothing\}\\ &=A^{c}\oplus\hat{B}\\\\ (A\oplus B)^c&=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A\neq\varnothing\}^c\\ &=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A=\varnothing\}\\ &=\{z|(\hat{B})_{z}\subseteq A^c\}\\ &=A^c\ominus \hat B \end{align} (A⊖B)c(A⊕B)c​={z∣(B)z​⊆A}c={z∣(B)z​∩Ac=∅}c={z∣(B)z​∩Ac=∅}=Ac⊕B^={z∣(B^)z​∩A=∅}c={z∣(B^)z​∩A=∅}={z∣(B^)z​⊆Ac}=Ac⊖B^​​

开闭操作(Opening and Closing)

• 开运算常用于平滑物体的轮廓、断开狭窄的狭颈、消除细长的突出物；
• 闭运算同样平滑轮廓，但会弥合狭窄的断裂和细长的沟壑、消除小孔、填补轮廓中的缝隙。

开运算

集合$A$被结构元素$B$的开运算（opening），记为$A\circ B$，定义为：
$$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$$
即$A$被$B$的开运算就是$A$被$B$腐蚀后再被$B$膨胀的结果。

闭运算

集合$A$被结构元素$B$的闭运算（closing），记为$A\cdot B$，定义为：
$$A\cdot B=(A\oplus B)\ominus B$$
即$A$被$B$的闭运算就是$A$被$B$膨胀后再被$B$腐蚀的结果。

开运算的另一种定义:
$$A\circ B=\bigcup \{(B{)}_z|(B{)}_z\subseteq A\}$$
开运算和闭运算在集合补集和反射方面是相互对偶的，即：
$$\begin{gathered} (A\cdot B{)}^c=(A^c\circ \hat{B}) \\ (A\circ B{)}^c=(A^c\cdot \hat{B}) \end{gathered}$$
证明：
$$
\begin{align}(A\circ B)^c&=\left[(A\ominus B)\oplus B\right]^c\
&=(A\ominus B)^c\ominus \hat B\
&=A^c\oplus \hat B\ominus \hat B\
&=(A^c\cdot \hat B)\\

(A\cdot B)^c&=\left[(A\oplus B)\ominus B\right]^c\
&=(A\oplus B)^c\oplus \hat B\
&=A^c\ominus \hat B\oplus \hat B\
&=(A^c\circ\hat{B})
\end{align}
$$

性质

开运算的性质：

• $A\circ B$是$A$的子集（子图像）。
• 如果$C$是$D$的子集，那么$C\circ B$是$D\circ B$的子集。
• $(A\circ B)\circ B=A\circ B$

闭运算的性质：

• $A$是$A\cdot B$的子集（子图像）。
• 如果$C$是$D$的子集，那么$C\cdot B$是$D\cdot B$的子集。
• $(A\cdot B)\cdot B=A\cdot B$

由开闭运算的第三个性质可知，对一个集合多次进行开运算或闭运算，在操作一次后就不再有效果。

此图展示了用于得到开运算和闭运算结果的形态学运算。

$D$的子集，那么$C\cdot B$是$D\cdot B$的子集。

• $(A\cdot B)\cdot B=A\cdot B$

由开闭运算的第三个性质可知，对一个集合多次进行开运算或闭运算，在操作一次后就不再有效果。

[外链图片转存中…(img-5c57BwfX-1735225214230)]

此图展示了用于得到开运算和闭运算结果的形态学运算。