C-5 B样条曲线

$N_{i,0}(u)=\left\{\begin{matrix} 1 , \quad u_i\le u <u_{i+1} \\0 ,\quad others \qquad \quad\end{matrix}\right.$

$N_{i,p}(u)=\frac{u -u_i}{u_{i+p}-u_i} \cdot N_{i,p-1}(u) +\frac{u_{i+p+1} -u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}} \cdot N_{i+1,p-1}(u)$

$\sum ^n_{i=1} N_{i,p}(u)\cdot ControlPoint_{(i)}$

C就是我们要求的曲线
只需要给定控制点数组和节点向量数组，我们就能根据以上公式得到一条B样条曲线。
n是给定控制点数组的长度，p是B样条的阶数，一般就直接设置为3了， $u_i$ 就算节点向量数组，可以从公式中发现，节点向量的长度等于控制点数组长度+阶数+1。（从递归公式中的 $u_{i+p+1}$ 可以看出来）
前面的参数 $N_{i,p}$ ，只需要给定节点向量和阶数就能直接提前求出来，可以写成矩阵的形式。方便后面移动控制点求解。

在Step标准中，B样条是如下定义的：


#21=B_SPLINE_CURVE_WITH_KNOTS('',3,(#118,#119,#120,#121),.UNSPECIFIED.,.F.,.F.,(4,4),(0.,1.),.UNSPECIFIED.);//相当于输入控制点 (#118,#119,#120,#121)，和节点向量(0,0,0,0,1,1,1,1)//有一个重复的节点，那里的连续性就会减一，具体可以见Games102，刘利刚老师的课//3指3阶B样条曲线，第一个F指这个曲线没有闭合，(4,4)是修饰后面的节点向量，这条曲线比较简单，一般是下面#31这样的//1阶B样条曲线的连续性是C1，也就是连连上，导数不连续。而3阶B样条曲线的连续性是C3#31=B_SPLINE_CURVE_WITH_KNOTS('',3,(#88,#89,#90,#91,#92,#93,#94),.UNSPECIFIED.,.T.,.F.,(4,1,1,1,4),(0.,0.190110440975709,0.596109450554148,
0.871779783977488,1.),.UNSPECIFIED.);

局部性

局部性：我们操控第i个控制点，只能控制有限的一段曲线而不是影响到这条曲线
我们发现，控制点i前面的参数是 $N_{i,p}$ .这个参数一递归，最多最多只能影响到 $u_i$ 到 $u_{i+p+1}$ 这P+2个节点范围内的曲线，因为递归公式中参数的范围就是这个，然后在用阶梯函数吧，一点点线性插值，构成这一段B样条曲线

代码

对于上述的#21的样条曲线，可以用如下代码求解，并将其离散化成32个点
代码和详细注释如下，代码中的t相当于公式中的u，一般是从0到1的参变量

#include <iostream>
#include <vector>
#include <array> class Point {
public:double x=0;double y=0;
};
class NubrsEdge {
public:bool ISClOSED=0;//B样条曲线的介数，一般为3int P;//控制点std::vector<Point> ControlPoints;//节点向量std::vector<double> u;//利用节点向量计算得到的参数，我们把B样条曲线统一分成32份std::vector<std::array<double, 32>> N_p;//递归计算参数Ndouble N(int i,int p,double t) {if (p == 0) {if (u[i] <= t && t < u[i + 1]) return 1;else return 0;}else{double x1 = 0;//对重复节点的处理!!!!!!!!!!//不然就出现除数等于0的情况了if (u[i + p] != u[i]) x1 = (t - u[i]) / (u[i + p] - u[i]);double x2 = 0;//对重复节点的处理if(u[i + p + 1] != u[i + 1])x2 = (u[i + p + 1] - t) / (u[i + p + 1] - u[i + 1]);return x1 * N(i, p - 1, t) + x2 * N(i + 1, p - 1, t);}}//计算参数，$N_{i,p}(u)$void calculate_N_p() {N_p.resize(ControlPoints.size());for (int i = 0; i < ControlPoints.size(); i++) {for (int t = 0; t < 32; t++) {N_p[i][t] = N(i, P, double(t)/31.00001);}}}//相当于在做矩阵的乘法std::vector<Point> Discretization() {calculate_N_p();std::vector<Point> result(32);for (int t = 0; t < 32; t++) {for(int i=0;i < ControlPoints.size(); i++){result[t].x += ControlPoints[i].x * N_p[i][t];result[t].y += ControlPoints[i].y * N_p[i][t];}}return result;}
};
int main()
{NubrsEdge e;// u.size() = 8 = ControlPoints.size + P +1 =4 + 3 + 1e.ControlPoints= {{-410.738133667533,-34.3141639975569},{-360.696916167804,124.126883382823},{-317.136530803152,125.95962808178},{-280.056977573576,-28.8159299006879}};e.u = { 0, 0, 0, 0, 1,1,1, 1 };e.P = 3;// 离散化曲线std::vector<Point> curvePoints = e.Discretization();// 打印结果for (int i = 0; i < curvePoints.size(); i++) {std::cout << "Point " << i << ": (" << curvePoints[i].x << ", " << curvePoints[i].y << ")" << std::endl;}return 0;
}