最小化二进制字符串中最长相同子字符串的长度
在处理二进制字符串问题时，优化字符串结构以满足特定条件是一项常见的挑战。本文将探讨一个具体的问题：给定一个长度为 n 的二进制字符串 s 和一个整数 numOps，通过最多 numOps 次位翻转操作，最小化字符串 s 中最长相同子字符串的长度。
问题描述
输入
- 字符串
s：长度为n的二进制字符串，仅由字符'0'和'1'组成。 - 整数
numOps：允许执行的最大位翻转次数。
操作
在每次操作中，你可以选择任意一个下标 i（0 <= i < n），并翻转 s[i] 的值：
- 如果
s[i] == '1'，则将其改为'0'。 - 如果
s[i] == '0'，则将其改为'1'。
目标
通过最多 numOps 次操作，最小化字符串 s 中最长相同子字符串的长度。相同子字符串指的是子字符串中的所有字符都相同。
示例
示例 1
- 输入:
s = "000001",numOps = 1 - 输出:
2 - 解释:
- 将
s[2]改为'1'，得到s = "001001"。 - 此时，最长的相同子字符串为
s[0..1]和s[3..4]，长度均为2。
- 将
示例 2
- 输入:
s = "0000",numOps = 2 - 输出:
1 - 解释:
- 将
s[0]和s[2]改为'1'，得到s = "1010"。 - 所有相同子字符串的长度均为
1。
- 将
示例 3
- 输入:
s = "0101",numOps = 0 - 输出:
1 - 解释:
- 不进行任何操作，字符串中所有相同子字符串的长度均为
1。
- 不进行任何操作，字符串中所有相同子字符串的长度均为
本题重要概念
段的分割
在优化字符串以最小化最长相同子字符串长度的过程中，段的分割是关键步骤。这里的“分割”不仅仅是简单地将字符串切开，而是通过翻转特定位置的字符，将一个连续的相同字符段划分为多个较小的段，从而减少最长段的长度。
具体来说，假设有一个长度为 k 的连续相同字符段。通过翻转其中的若干字符，可以将这个段分割成 seg + 1 个子段。每次翻转一个字符，相当于在该位置引入一个不同字符，从而将原来的段划分为两个部分。例如：
示例：考虑一个包含 10 个连续 ‘0’ 的字符串 “0000000000”。
如果我们翻转其中的 2 个 ‘0’ 为 ‘1’，例如将索引 3 和 7 位置的 ‘0’ 翻转为 ‘1’，字符串变为 “0001000100”。
这样，原本的 10 个 ‘0’ 被分割成了三个子段：“000”, “000”, 和 “00”。
经过这次分割，最长的 ‘0’ 子段长度由 10 减少到了 3。
通过这种方式，每次翻转操作都能有效地将一个较长的段分割成多个较短的段，从而逐步减少整个字符串中最长相同子字符串的长度。具体来说，一个长度为 k 的段，经过 seg 次分割后，每个子段的最大长度大约为 ceil(k / (seg + 1))。
解题思路
要最小化字符串中最长相同子字符串的长度，可以通过以下步骤进行优化：
-
检查是否可以分割为长度为1的子串：
- 首先判断是否可以通过最多
numOps次翻转操作将字符串s转换为一个交替字符串，如"1010"或"0101"。 - 如果可以实现，则返回
1，因为此时最长的相同子字符串长度为1。
- 首先判断是否可以通过最多
-
处理长度为2的字符串：
- 对于长度为2的字符串，如果无法转换为交替字符串（即已经是
"00"或"11"），则不需要进一步分割。 - 因为分割长度为2的字符串会影响前后部分，且前面已经判断了是否可以得到长度为1的结果。
- 如果当前最长的子串长度已经是2，则答案必定是2。
- 对于长度为2的字符串，如果无法转换为交替字符串（即已经是
-
分段统计：
- 将字符串
s分割成连续的相同字符段。例如，"000001"可以分为["00000", "1"]。
- 将字符串
-
优先处理最长段：
- 通过优先将最长的相同字符段进行分割，可以有效减少最长段的长度。具体而言，使用优先队列（堆）来不断选择当前最长的段进行分割。
-
段的分割：
- 每次分割一个段，将其分成更多的小段，从而降低该段的最大长度。
- 假设一个段的长度为
k，通过翻转特定位置的字符，将这个段分割seg次，成seg + 1个子段，每段的最大长度约为ceil(k / (seg + 1))。
-
迭代操作：
- 重复上述过程，直到用完所有的操作次数
numOps或者无法进一步优化。
- 重复上述过程，直到用完所有的操作次数
-
最终结果：
- 操作完成后，堆顶元素即为当前最长相同子字符串的长度。
代码实现
from heapq import heapify, heapreplace
from itertools import groupbyclass Solution:def minLength(self, s: str, numOps: int) -> int:n = len(s)# 首先检查是否可以通过 numOps 次翻转将字符串转为交替字符串# 交替字符串有两种可能："0101..." 或 "1010..."# 计算将 s 转换为这两种模式所需的翻转次数ops_to_alternate_0 = sum(1 for i, c in enumerate(s) if c != ('0' if i % 2 == 0 else '1'))ops_to_alternate_1 = sum(1 for i, c in enumerate(s) if c != ('1' if i % 2 == 0 else '0'))min_ops_to_alternate = min(ops_to_alternate_0, ops_to_alternate_1)# 如果可以通过翻转操作将字符串转为交替字符串，则最长相同子字符串长度为1if min_ops_to_alternate <= numOps:return 1# 特殊处理长度为2的字符串if n == 2:# 如果已经是交替字符串，返回1if s[0] != s[1]:return 1# 否则，需要至少1次操作将其分割为交替elif numOps >= 1:return 1else:return 2 # 无法分割，最长相同子字符串长度为2# 分组统计连续相同字符的段groups = [len(list(group)) for _, group in groupby(s)]# 如果分组中所有段的长度均为1，则已经是交替字符串if all(g == 1 for g in groups):return 1# 初始化堆，存储每个段的最大长度及分割次数# 堆中存储 (-最大长度, 原始长度, 分割次数)heap = [(-g, g, 1) for g in groups]heapify(heap)for _ in range(numOps):max_seg, k, seg = heap[0]# 如果当前最长段已经不能进一步分割if max_seg == -2:return 2# 将当前最长段进行一次分割# 新的最大长度为 ceil(k / (seg + 1))，这里用整除代替ceil# 因为 k // (seg + 1) 已经是向下取整，取负数用于最大堆new_max = -(k // (seg + 1))# 更新分割次数new_seg = seg + 1# 替换堆顶元素heapreplace(heap, (new_max, k, new_seg))# 返回操作后的最长相同子字符串长度return -heap[0][0]
