【C++笔记】数据结构进阶之二叉搜索树(BSTree)

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前言

哈喽，各位小伙伴大家好!上期我们讲了C++三大特性之多态。今天我们来讲一下二叉搜索树(BSTree)。话不多说，我们进入正题！向大厂冲锋

一.二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树
• ⼆叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插人相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不之持插入相等值，multimap/multiset支持插如相等值

二.二叉搜索树的性能分析

二叉搜索树最多查找高度次。因此二叉搜索树的性能取决的树的高度。

• 最优情况
  最优情况下，二叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其高度为： log2 N
  

• 最坏情况
  最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N
  

所以综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)。

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

• 二分查找
  另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是而分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三.二叉搜索树的实现

3.1二叉树的中序遍历

因为_root是私有成员，所以我们可以这样多套一层调用。

void Inorder()
{_Inorder(_root);cout << endl;
}
void _Inorder(const node* root)
{if (root == nullptr){return;}_Inorder(root->left);cout << root->_key << " ";_Inorder(root->right);
}

3.2二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左左，找到空位置，插入新结点。
3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要⼀会往右走，⼀会往左走）

bool Insert(const k& x)
{if (_root == nullptr)//插入根节点{_root = new node(x);return true;}node* cur = _root;node* parent = nullptr;//记录父亲节点while (cur){//介质不冗余/*if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else{return false;}*///介质冗余if (x <= cur->_key)//相等插入左子树{parent = cur;cur = cur->left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}}if (x > parent->_key){parent->right = new node(x);}else//相等插入左子树{parent->left = new node(x);}return true;
}

介质冗余：

介质不冗余：

3.3二叉搜索树的查找

bool Find(const k& x)
{node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key)//节点在左子树{cur = cur->left;}else if (x > cur->_key)//节点在右子树{cur = cur->right;}else{return true;//找到target}}return false;
}

3.4二叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

• 要删除结点N左右孩子均为空
• 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
• 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
• 要删除的结点N左右孩子结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案：

• 左右为空
  把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

• 左空右不空
  把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点

• 右空左不空
  把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
  
  
  如果删除根节点直接修改_root。再删除节点即可。
  

• 左右均不空
  无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满足⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
  
  

bool Erase(const k& x)
{node* cur = _root;node* parent = nullptr;while (cur){if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else//找到删除节点{if (cur->left == nullptr)//左为空{if (cur == _root)//防止删除根节点{_root = cur->right;}else//判断连接父亲的左子树还是右子树{if (cur == parent->left){parent->left = cur->right;}else{parent->right = cur->right;}}delete cur;return true;}else if (cur->right == nullptr){if (cur == _root)//防止删除根节点{_root = cur->left;}else//判断连接父亲的左子树还是右子树{if (cur == parent->left){parent->left = cur->left;}else{parent->right = cur->left;}}delete cur;return true;}else{//替代节点的父亲初始化为删除节点防止不进去循环node* replaceparent = cur;//替代节点的父亲node* replace = cur->right;while (replace->left)//寻找右子树的最小节点{replaceparent = replace;replace = replace->left;}cur->_key = replace->_key;//替换根节点//判断连接父亲的左子树还是右子树if (replace == replaceparent->left){replaceparent->left = replace->right;}else{replaceparent->right = replace->right;}delete replace;return true;}}}return false;
}

四.二叉搜索树key和key/value使用场景\

4.1key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景2：检查⼀篇英文 章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

4.2key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时
查找到了英文对应的中文。

场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，⽤当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景3：统计⼀篇文章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

4.3key_value结构的实现

• 结构的定义
  把节点封装，key_value多了一个V的类型。
  同时这里using可以当成typedef使用。

//key结构
template<class k>
struct BSTNode
{using node = BSTNode<k>;k _key;node* left;node* right;BSTNode(const k& key):_key(key), left(nullptr), right(nullptr){}
};
template<class k>
class BSTree
{using node = BSTNode<k>;
public:
private:node* _root = nullptr;
};
//key_value结构
template<class k, class v>
struct BSTNode
{using node = BSTNode<k, v>;k _key;v _value;node* left;node* right;BSTNode(const k& key, const v& value):_key(key), _value(value), left(nullptr), right(nullptr){}
};
template<class k, class v>
class BSTree
{using node = BSTNode<k, v>;
public:
private:node* _root = nullptr;
};

• 查找和删除
  查找和删除的逻辑不需要改变。但是如果想知道查找的节点的value可以返回节点指针。同时如果允许介质冗余的话，那就需要查找中序的第一个，所以我们相同值时，先保留，继续去左子树查找即可。

node* Find(const k& x)
{node* ret = nullptr;node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key){cur = cur->left;}else if (x > cur->_key){cur = cur->right;}else{ret = cur;//保留当前节点cur = cur->left;//继续向左子树查找中序的第一个}}return ret;
}
、、key_value结构

• 插入

插入只需要多插入一个value值即可，逻辑不变。

bool Insert(const k& x, const v& v)
{if (_root == nullptr)//插入根节点{_root = new node(x, v);return true;}node* cur = _root;node* parent = nullptr;//保留父亲节点while (cur){/*介质不冗余*/if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else{return false;}//介质冗余//if (x <= cur->_key)//相等插入到左子树//{//	parent = cur;//	cur = cur->left;//}//else if (x > cur->_key)//{//	parent = cur;//	cur = cur->right;//}}if (x > parent->_key){parent->right = new node(x, v);}else//相等插入左子树{parent->left = new node(x, v);}return true;
}

4.4二叉搜索树的拷贝构造和析构

• 拷贝构造

直接new构造根节点，再让根节点连接递归构造的左右子树即可。注意如果按照插入的思路构造，那就必须是层序遍历节点插入，否则拷贝出来的子树就不一样。

BSTree(const BSTree<k,v>& x)
{_root = Copy(x._root);
}
node* Copy( node* x)
{if (x == nullptr){return x;}node* root = new node(x->_key, x->_value);root->left =Copy(x->left);root->right = Copy(x->right);return root;
}

• 析构
  这里先析构左右子树在析构根节点即可。

	void Destory(const node* root){if (root == nullptr){return ;}Destory(root->left);Destory(root->right);delete root;}~BSTree(){Destory(_root);_root = nullptr;}

• 赋值

这里先拷贝tmp，然后交换_root指针，函数结束后析构tmp空间。

BSTree<k, v>& operator = (BSTree<k, v> tmp)
{swap(_root,tmp._root);return *this;
}

后言

这就是数据结构进阶之二叉搜索树(BSTree)。大家自己好好消化！今天就分享到这！感谢各位的耐心垂阅！咱们下期见！拜拜~